1.4.2 向量线性运算的坐标表示同步练习 2025-2026学年高二下学期数学湘教版必修第二册

1.4.1　向量线性运算的坐标表示 一、必备知识基础练 1.若a=(6,6),b=(5,7),c=(2,4),则下列结论成立的是(　　) A.a-c与b共线 B.b+c与a共线 C.a与b-c共线 D.a+b与c共线 2.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a+3b=(　　) A.(-4,-8) B.(-8,-16) C.(4,8) D.(8,16) 3.设向量a=(m,1),b=(1,m),如果a与b共线且方向相反,则m的值为(　　) A.-1 B.1 C.-2 D.2 4.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若a-2b与非零向量ma+nb(m,n∈R)共线,则等于(　　) A.-2 B.2 C.- D. 5.(2025甘肃兰州高一月考)已知向量=(5,1),=(m,9),=(8,5).若A,C,D三点共线,则m=(　　) A. B.-11 C.11 D.- 6.(多选题)已知λ,μ∈R,=(λ,1),=(-1,1),=(1,μ),那么(　　) A.=(λ-1,1-μ) B.若,则λ=2,μ= C.若A是BD中点,则B,C两点重合 D.若点B,C,D共线,则μ=1 7.已知平面向量a=(2,1),b=(m,2),且a∥b,则3a+2b=　　　　　　　.  8.已知=(-2,m),=(n,1),=(5,-1),若点A,B,C在同一条直线上,且m=2n,则m+n=　　　　　.  9.已知点A(-1,2),B(2,8),=-,求点C,D和的坐标. 10.已知点A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x). (1)求实数x的值,使向量共线; (2)当向量共线时,点A,B,C,D是否在一条直线上? 11.已知点A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,=-2b. (1)求3a+b-3c; (2)求满足a=mb+nc的实数m,n; (3)求点M,N的坐标及的坐标. 12. (北师大版教材例题)已知A(2,-4),B(-1,3),C(3,4),且=2+3,求点M的坐标. 二、关键能力提升练 13.(2025甘肃兰州高一月考)已知点A(3,-4)与B(-1,2),点P在直线AB上,且||=2||,则点P的坐标为(　　) A.(-5,8) B.(,0) C.(7,-10) D.(,0)或(-5,8) 14.设向量绕点O逆时针旋转得向量,且2=(7,9),则向量=　　　　　. 15.已知O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设=a,=b,=c且|a|=2,|b|=1,|c|=3,求向量的坐标. 三、学科素养创新练 16.已知点O(0,0),A(1,2),B(3,4),+t(t∈R). (1)若点P在第二象限,求t的取值范围. (2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由. 17.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2). (1)若=0,求的坐标; (2)若=m+n(m,n∈R),且点P在函数y=x+1的图象上,求m-n 的值. 参考答案 1.C　∵b=(5,7),c=(2,4),∴b-c=(3,3). ∴b-c=a.∴a与b-c共线. 故C正确.同理可得A,B,D错误. 2.A　∵a∥b,∴1×m=2×(-2),∴m=-4, ∴b=(-2,-4),∴2a+3b=(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8).故选A. 3.A　向量a与b共线且方向相反,故由共线向量基本定理可设a=λb(λ<0),则有解得m=±1, 由于λ<0,则m=-1.故选A. 4.C　因为向量a=(2,3),b=(-1,2), 所以a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1),ma+nb=(2m-n,3m+2n).因为a-2b与非零向量ma+nb共线,所以,解得14m=-7n,=-. 5.C　因为向量=(5,1),=(m,9), 所以=(m+5,10). 因为A,C,D三点共线,=(8,5),则, 所以5(m+5)=8×10,解得m=11.故选C. 6.AC　=(λ,1)-(1,μ)=(λ-1,1-μ),故A正确;若,则λ·μ=1,故可取λ=3,μ=,故B错误;若A是BD的中点,则=-,即(λ,1)=(-1,-μ)⇒λ=μ=-1,所以=(-1,1),所以B,C两点重合,故C正确;因为B,C,D三点共线,所以=(-1,1)-(λ,1)=(-1-λ,0),=(1-λ,μ-1),则(-1-λ)×(μ-1)=0×(1-λ)⇒λ=-1或μ=1,故D错误.故选AC. 7.(14,7)　因为向量a=(2,1),b=(m,2),且a∥b, 所以1·m-2×2=0,解得m=4. 所以b=(4,2). 故3a+2b=(6,3)+(8,4)=(14,7). 8.9或　　=(n,1)-(-2,m)=(n+2,1-m),=(5,-1)-(n,1)=(5-n,-2). 因为A,B,C共线,所以共线, 所以-2(n+2)=(1-m)(5-n). ① 又m=2n, ② 解①②组成的方程组得 所以m+n=9或m+n=. 9.解设点C,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则=(x1+1,y1-2),=(3,6),=(-1-x2,2-y2),=(-3,-6). ∵=-,∴(x1+1,y1-2)=(3,6),(-1-x2,2-y2)=-(-3,-6), 即(x1+1,y1-2)=(1,2),(-1-x2,2-y2)=(1,2). ∴ ∴点C,D的坐标分别为(0,4)和(-2,0). 故=(-2,-4). 10.解(1)=(x,1),=(4,x). ∵,∴x2=4,x=±2. (2)由已知得=(2-2x,x-1), 当x=2时,=(-2,1),=(2,1), ∴不平行,此时A,B,C,D不在一条直线上. 当x=-2时,=(6,-3),=(-2,1), ∴,此时A,B,C三点共线. 又,∴A,B,C,D四点在一条直线上. 综上,当x=2时,A,B,C,D不在一条直线上; 当x=-2时,A,B,C,D四点在一条直线上. 11.解a==(5,-5),b==(-6,-3),c==(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)∵a=mb+nc, ∴(5,-5)=m(-6,-3)+n(1,8). ∴ (3)设M(x1,y1),由=3c, 得(x1+3,y1+4)=3(1,8),∴ ∴x1=0,y1=20.∴M(0,20). 设N(x2,y2),由=-2b, 得(x2+3,y2+4)=-2(-6,-3). ∴解得 ∴N(9,2).∴=(9,-18). 12.解 根据题意,得=(2-3,-4-4)=(-1,-8),=(-1-3,3-4)=(-4,-1). 于是=2+3=2(-1,-8)+3(-4,-1)=(-2,-16)+(-12,-3)=(-14,-19). 设点M的坐标为(x,y),则=(x-3,y-4). 因此解得 所以点M的坐标为(-11,-15). 13.D　令P(x,y),由点P在直线AB上,||=2||, 则=±2, 所以(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y), 则可得 或(x-3,y+4)=-2(-1-x,2-y), 则可得 所以点P的坐标为,0或(-5,8).故选D. 14.　设=(m,n),则=(-n,m), 所以2=(2m-n,2n+m)=(7,9), 即解得因此. 15.解如图所示,以点O为原点,所在直线为x轴,建立平面直角坐标系. ∵||=1,∠AOB=150°, ∴B(-cos 30°,sin 30°), ∴B. ∵||=3, ∴C(-3sin 30°,-3cos 30°), 即C. 又A(2,0), ∴-(2,0)=, =. 16.解(1)+t=(1,2)+t(2,2)=(2t+1,2t+2), 由题意,得解得-1<t<-, 即t的取值范围是. (2)四边形OABP不能成为平行四边形. 理由:若四边形OABP是平行四边形,则,而=(2,2),=(2t+1,2t+2),因此需要但此方程组无实数解,所以四边形OABP不可能是平行四边形. 17.解(1)设点P的坐标为(x,y), 因为=0, 又=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y), 所以解得 所以点P的坐标为(2,2),故的坐标为(2,2). (2)设点P的坐标为(x0,y0), 因为A(1,1),B(2,3),C(3,2), 所以=(2,3)-(1,1)=(1,2),=(3,2)-(1,1)=(2,1). 因为=m+n, 所以(x0,y0)=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n), 所以 两式相减,整理得m-n=y0-x0, 又因为点P在函数y=x+1的图象上, 所以y0-x0=1,所以m-n=1. 5 学科网（北京）股份有限公司 $