05-专题十二 几何动态探究题（精讲册）-【考出好成绩】2026年山东新中考数学单元分层练习课件PPT

该初中数学中考复习课件聚焦山东中考几何动态探究重难题型，系统覆盖动点动线、图形旋转、图形折叠及动态几何与函数应用四大类型，对接中考说明分析考点权重，归纳近年高频题型如2022-2024年东营、威海等地中考真题，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题解析+素养培养”模式，通过2024东营旋转题用相似三角形证线段关系，2023枣庄折叠题构建菱形判定模型，培养学生数学思维的推理能力与数学语言的模型意识。提供全等证明、函数建模等解题技巧，助力学生掌握答题方法，教师可依此制定专题突破计划，提升复习效率。

数 学 1 2 第二部分 专题复习 高分保障 山东中考重难题型专题突破 专题三 几何动态探究题 3 类型一 动点、动线类探究 1. （2022东营25题12分）和均为等边三角形，点，分别从点 ， 同时出发，以相同的速度沿，运动，运动到点， 停止. （1）如图1，当点，分别与点，重合时，请判断：线段， 的数量关系 是_________，位置关系是_________； 4 （2）如图2，当点，不与点， 重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成 立，请给予证明；若不成立，请说明理由； 5 解：结论成立. 证明：方法一:如图2，连接 . ， 都是等边三角形， ，， ， ,即 ， ， ， . ， ， ， 是等边三角形， ， ， . 6 方法二：， 都是等边三角形， ，， . 又 ， ， ， . 如图2，设与交于点 ， 则 ，即 ， ， 四边形 是平行四边形， ， . 7 （3）当点运动到什么位置时，四边形的面积是 面积的一半，请直接写 出答案；此时，四边形 是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明. 8 解：当点是的中点时，四边形的面积是 面积的一半. 此时四边形 是菱形. 证明：如备用图，连接， . ， ， 是等边三角形. 是等边三角形， 四边形 是菱形. 9 2.（2022威海24题12分）回顾：用数学的思维思考 （1）如图1，在中， . 10 ①，是的角平分线.求证： . 证明： ， . 是 的角平分线， . 同理， . 在和中， ， . 11 ②点，分别是边，的中点，连接，.求证： . （从①②两题中选择一题加以证明） [答案] ， . 是的中点， . 同理， . 在和中， ， . 12 猜想：用数学的眼光观察 经过做题反思，小明同学认为在中，，为边 上一动点 （不与点，重合）.对于点在边上的任意位置，在另一边 上总能找到一个 与其对应的点，使得.进而提出问题：若点，分别运动到边， 的 延长线上，与 还相等吗？请解决下面的问题： （2）如图2，在中，，点，分别在边， 的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得 ，并证明. 13 解： 添加条件： （答案不唯一）. 证明： ， . ， . 在和中， ， . 14 探究：用数学的语言表达 （3）如图3，在中，， ，为边 上任意一点 （不与点，重合），为边延长线上一点.判断与能否相等.若能，求 的取值范围；若不能，说明理由. 15 解：能.如图3，在上取一点并连接，使得 . 若，则 ，反之也成立. ， ， 显然越大，就越大， 也越大， 假设 . ， ， . ， ， ， . 16 又 ， ， . 设，， . ，解得或 （舍去）， 点与点不重合， . 3.（2022济宁22题10分）如图，是等边三角形，过点作 轴的垂线，垂足为 ，点的坐标为是直线上在第一象限内的一动点，过点作 轴的垂线， 垂足为，交于点，连接，作交轴于点，交于点 ，连接 ， . （1）填空：若是等腰三角形，则点 的坐标为_ ______________； 或 18 （2）当点在线段上运动时（点不与点，重合），设点的横坐标为 . 19 ①求值最大时点 的坐标； 解：是等边三角形， ， . 在中， ， ， . 设，则 . ， . ， ， ， ， ， ，即 ， ， 当时，的最大值为 ， 当取最大值时，点的坐标为 . ②是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的 值；若不存在，请说 明理由. 解：假设存在，使 . 如图，作于点，作于点，作 于点 . ， . 是等边三角形， ， ， ， 即 . 22 由①知， . ， 四边形 是矩形， . 在 中， ， . 在 中， ， ， . ， ， ， ，解得 . 当时， . 存在这样的值，使，此时 . 7.（2024济南25题12分）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角 形的相似进行了深入研究. （一）拓展探究 如图1，在中， ， ，垂足为 . 25 （1）兴趣小组的同学得出 .理由如下： ， . ， ， ， ________. ， ， ________， . 请完成填空：①_______；②_ ___； （2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接 ，当 时，请判断 的形状，并说明理由； 26 解： 是直角三角形.理由如下： ， ， ， ， . 由（1）得， ， ， . 又， ， ， 是直角三角形. 27 （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形， ，， ，平面内 一点，满足，连接并延长至点，且，当线段 的长 度取得最小值时，求线段 的长. 解：， ， ， ， . 28 如图，以点为圆心，2为半径作，则，都在 上，延长 到，使，交于，则 ， ， ，则 . ， ， ， 点在过点且与 垂直的直线上运动. 过点作，垂足为，即为最短的，连接 . ， 四边形 是矩形， 在中, ， 当线段的长度取得最小值时， . 29 类型二 图形旋转类探究 5.（2024东营25题12分）在中， ，， . （1）问题发现:如图1，将绕点按逆时针方向旋转 得到 ，连接 ，，线段与的数量关系是___________，与 的位置关系是_______ ___； 30 （2）类比探究:将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接 ， ，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交 于 点 ，请结合图2说明理由； 31 解：线段与 的数量关系、位置关系与（1）中结论一致. 理由如下： 如图2，延长交于点 . 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到 ， ，， ， . ， ， . ， ， ， ， . 32 （3）迁移应用：如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到 边上时，连接，求线段 的长. 33 解：如图3，过点作于点 . ，， ， . ， . 又 ， ， ， ， . ， ， . 由（2）可知， . 34 6.（2024山东22题12分）一副三角板分别记作和 ，其中 ， ， ，.作 于点 ，于点 ，如图1. 35 （1）求证： ； 解：证明：设 . ， ， ， . ， . ，， ， . 36 （2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点与点 重 合记为，点与点重合，将图2中的绕按顺时针方向旋转 后，延长 交直线于点 . ①当 时，如图3，求证：四边形 为正方形； 证明： ， ， ， . ， . ， ， 四边形 为矩形. ，即，且 ， ， 四边形 为正方形. 37 ②当 时，写出线段，， 的数量关系，并证明；当 时，直接写出线段，， 的数量关系. 38 [答案] 当 时，线段，， 的数量关 系为 . 证明：如图，当 时，连接 . 由（1）可得，， . ， ， ， . ， ， . 当 时，线段，， 的数量关系为 . 39 7.（2023淄博22题13分）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题 开展探究活动. （1）操作判断：小红将两个完全相同的矩形纸片和拼成“ ”形图案，如 图1.试判断： 的形状为________________. 等腰直角三角形 （2）深入探究：小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点 旋转， 若， . 40 探究一： 当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点 ，如图2.求 的面积. 解：，， ， ， . ，， . ， ， . 在中， ， ，解得 ， ，的面积 . 41 探究二： 连接，取的中点，连接，如图3.求线段 长度的最大值和最小值. 解：如图3，设的中点为，连接 . 是的中位线， ， 在以 为圆心，1为半径的圆上. ， 的最大值为，最小值为 . 42 类型三 图形折叠类探究 8.（2023枣庄24题12分）【问题情境】如 图1，在中， ， ，是 边上的中线.如图2，将 的两个顶点，分别沿， 折叠后 均与点重合，折痕分别交，， 于点 ，，， . 43 【猜想证明】 （1）如图2，试判断四边形 的形状，并说明理由； 【思路导航】 44 解：四边形 是菱形.理由如下： ，是 边上的中线， ， . 由折叠，得， ， ， . 同理,，， ， 四边形 是菱形. 45 【问题解决】 （2）如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿折叠，使得顶点 与点 重合，折痕分别交，于点，，的对应线段交于点 ，求四边形 的面积. 【思路导航】由（1）得,, 46 解：如图3，过点作于点 ，则 . ，， ， ， ， . ， ， 47 由折叠，得 ， ， ， ， . 同理， . 由平行易得 ， ， ， . 9.（2024泰安23题12分）综合与实践 为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折 纸探究活动. 49 【探究发现】 （1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片 翻折，使矩形顶 点的对应点恰好落在矩形的一边上，折痕为，将纸片展平，连接 与 相交于点.同学们发现图形中四条线段成比例，即 ，请你判断同学们的 发现是否正确，并说明理由； 50 解： 正确.理由如下： 如图1，作于点 . ， ， . ， , . 又 ， ， . 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， . 51 【拓展延伸】 （2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如 图2，是平行四边形纸片 的一条对角线，同学们将该 平行四边形纸片翻折，使点的对应点，点的对应点 都落 在对角线上，折痕分别是和.将纸片展平，连接 ， ，.同学们探究后发现，若，那么点 恰好是对角 线的一个“黄金分割点”，即 .请你判断同学们 的发现是否正确，并说明理由. 52 解：同学们的发现正确.理由如下： ，， . 由折叠知， ， . ， . 由平行四边形及折叠知，， ， ， ， 即点为 的一个黄金分割点. 53 类型四 动态几何与函数应用 10. （2024威海23题10分）如图，在菱形中，， ， 为对角线上一动点，以为一边作 ，交射线于点 ，连接 ，.点从点出发，沿方向以每秒的速度运动至点处停止.设 的面积为，点的运动时间为 秒. 54 （1）求证： ； 55 证明：如图，设与相交于点 . 四边形 为菱形， ，， ， ， . 在和中， ， ， . ， ， ， ， . （2）求与的函数表达式，并写出自变量 的取值范围； 解：如图，过点作于点，则 . ， . 四边形为菱形， . 又 ， 为等边三角形， . ， ， ， ， ， 57 . ， ， . （3）求为何值时，线段 的长度最短. 59 解：，， . ， 为等边三角形， ， ， 线段的长度最短，即的长度最短，当 时， 取最短，如备用图. 由（2）得 为等边三角形， . ，，即 ， ， 当时，线段 的长度最短. 11.（2023青岛25题10分）如图，在菱形中，对角线，相交于点 ， ，.动点从点出发，沿 方向匀速运动，速度为 ；同时，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为.以， 为邻边的平行四边形的边与交于点.设运动时间为 ， 解答下列问题： 61 （1）当点在上时，求 的值； 解：由题意，得，，， . 如图，当点在 上时， ， ， ， ， ，则 ， 即，解得 . 62 （2）连接.设的面积为，求与的函数关系式和 的最大值； 解：， . 四边形是菱形，则 ， ， 为等腰三角形，则 ， 如题图，过点作于点 ， 则 ， 即 ， 解得 ， 63 则 ， 设中边上的高为 ， 则 . ，故有最大值，当时， 有最大值，为 10. （3）是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出 的值；若不 存在，请说明理由. 解：存在.理由如下： 如备用图，过点作于点 . 当点在的平分线上时，则 ， 在中， ， 解得 . 65 12.（2023滨州21题12分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在 轴 正半轴上，顶点的坐标为，点是边上的动点，过点作 交边 于点，作交边于点，连接，设，的面积为 . （1）求关于 的函数解析式； 66 解：如图，过点作于点，连接 . 顶点的坐标为 ， ，， ， ， . 四边形 是菱形， ，， ， 是等边三角形， . ， ， ， 67 是等边三角形， . ，， . ，，则 ， ， ， ， ， 即关于的函数解析式为 . （2）当取何值时， 的值最大？请求出最大值. 解： ， 当时，有最大值，最大值为 . 69 70 $