07-专题七 综合与实践（精讲册）-【考出好成绩】2026年山东新中考数学单元分层练习课件PPT

该初中数学中考复习课件聚焦综合与实践、方案设计、跨学科实践等核心考点，对接中考命题新方向，分析矩形分割、函数应用、三角函数测量等高频考点权重，归纳“动手操作-几何推理”“实际问题-数学建模”等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于中考真题训练与素养培养结合，如2025河北中考矩形分割题，通过尺规作图与几何证明，培养数学眼光与推理思维；二次函数“最优纵横值”问题，指导建立函数模型，提升数学语言表达能力。助力学生掌握解题技巧，教师可依此设计专题复习，高效冲刺中考。

研究山东新考情 更懂中考新方向 河北新中考 数学 精讲册 2 第二部分 专题复习 高分保障 山东中考命题新方向专题突破 专题六 综合与实践 3 解题指导： 以图形操作 (拼接、折叠、旋转、测 量 )为载体，考查从实践操作中抽象数学规律、 提炼几何性质的能力，强调“动手 → 观察 → 归纳”的思维过程. 类型一 综合与探究 1. (2025河北23题11分)综合与实践 【情境】要将矩形铁板切割成相同的两部分， 焊接成直角护板(如图1),需找到合适的切割线. 【模型】已知矩形ABC D(数据如图2所示) .作 一 条直线 MN, 使 MN 与 BC 所 夹 的 锐 角 为 45°,且将矩形ABCD 分成周长相等的两部分. 【操作】嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题. 如图3,嘉嘉的思路如下： ①连接AC,BD交于点O; ②过点O作EF⊥BC,分别 交BC,AD于点 E,F 图3 如图4,淇淇的方法如下： ①在边BC上截取BG=AB,连接AG; ②作线段GC的垂直平分线l,交BC于点M; ③在边AD上截取AN=GM,作直线MN 图4 【探究】根据以上描述，解决下列问题. (1)图2中，矩形ABCD 的周长为 ; (2)在图3的基础上，用尺规作图作出直线MN (作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法); 10 (3)根据淇淇的作图过程，请证明图4中的直线 MN符合要求. 证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B=90°,AD//BC. ∵BG=AB, ∴∠AGB=45°. ∵AN=MG,     四边形AGMN  是平行四边形， ∴MN//AG, ∴∠NMG=∠AGB=45°. ∵ 直 线l是 GC 的垂直平分线，∴ GM=CM, ∴GM=CM=AN, ∴BM=BC-CM,DN=AD-AN, ∴BM=DN, ∴AN+AB+BM=CM+CD+DN, ∴MN 把矩形ABCD分成了周长相等的两部分， ∴直线MN 符合要求. 【拓展】操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题. (4)如图5,若直线PQ  将矩形ABCD 分成周长 相等的两部分，分别交边AD,BC  于 点P,Q,   过 点 B 作BH⊥PQ 于点H, 连 接CH. ①当∠PQC=45° 时，求tan∠BCH 的 值 ； 解：如图所示，过点H 作 HG⊥BC,  连 接AC交 PQ 于点0,过点P 作 PK⊥BC  于 点K,过点O 作OT⊥BC, ∵ 四边形ABCD 是矩形，且直线 PQ  将矩形 ABCD 分成周长相等的两部分，则点O是矩形 ABCD的对角线AC 与 BD 的交点， ∴点O是AC的中点，∴BT=CT= BC =2 , ∴AP=CQ,PD=BQ,AB=DC=PK=1. ∵∠PQC=45°, ∴PQK 是等腰直角三角形，∴ PK=QK=1, ∴PQ===. ∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AD//BC, ∴∠APQ=∠CQP=45°,在AOP 和COQ 中, ∴AOP ≌COQ（AAS）, ∴PO=QO= ,OT=QT= , ∴CQ=CT+QT=2+ = , ∴ BQ=BC-CQ=4 = ,∠BOH=∠PQC=45°. ∵BH⊥PQ 于点 H, ∴∠BHQ=90°, ∴BHQ 是等腰直角三角形， ∴HG=GQ= BQ= × = ,CG=CQ+GQ= + = , tan∠BCH = = = . ②当∠BCH 最大时，直接写出CH 的长 . 解：CH=2 . 2. 情境  图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的.该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示. (说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余) 操作  嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成 了钻石型五边形. 如图3,嘉嘉沿虚线EF,GH裁剪，将该纸片剪成①,②,③三块，再按照图4所示进行拼接. 根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： (1)直接写出线段EF  的长； 解：如图4,过点 G′作 G'K⊥FH'于点 K,则四边形FOG'K   为矩形，∴ FO=KG'.由拼接，得 HF=FO, 由正方形的性质，得∠A=45°, ∴AHG,H'G'D,AFE   为等腰直角三角形， ∴G'KH′  为等腰直角三角形. 设H'K=KG'=x, ∴H'G′=H'D=x,∴AH=H'G′=x,HF=FO=x. ∵正方形的边长为2, ∴对角线的长为 =2 ,∴ OA=, ∴x+x+x=,          解得x=1, ∴EF=AF=x+x=1. (2)直接写出图3中所有与线段BE 相等的线段，并计算BE 的长 . 解：∵AFE 为等腰直角三角形， ∴EF=AF=1, ∴AE=EF=, ∴BE=2. ∵GE=H'G'=x=(1)=2, AH=GH=x=2, ∴BE=GE=AH=GH. 探究  淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪， 剪成两块，就可以拼成钻石型五边形. 请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的BC 边上找一点P (可以借助刻度尺或圆规),画出裁剪线(线段PQ) 的位置，并直接写出BP  的长 . 解：如图5,以 B 为圆心，BO为半径画弧交BC 于点 P′, 交 AB 于 点 Q', 则直线P'Q′ 为分割线， ∴BQ′=BP′=, ∴P'Q'==2, 符合要求； 或以C 为圆心，CO为半径画弧，交BC 于点P, 交 CD于点Q, 则直线PQ 为分割线. ∴CP=CQ=, ∴PQ=+2=2, ∴BP=2. 综上所述，BP的长为或2. 3 . (2025深圳模拟)【定义】在平面直角坐标系 中，对“纵横值”给出如下定义： 点A(x,y)是函数图象上任意一 点，纵坐标y  与横坐标 x 的差“yx” 称为点A 的“纵横 值”. 函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵值”. 【举例】已知点 A(1,3)  在函数y=2x+1图象上 . 点 A(1,3)   的“纵横值”为y-x=31=2; 函数y=2x+1  图象上所有点的“纵横值”可以 表示为 yx=2x+1x=x+1, 当 3 ≤x≤6  时 ，x+1 的最大值为6+1=7,所以函数y=2x+1（3≤x≤6）的“最优纵横值”为7. 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)①点B(-6,2)的“纵横值”为 ; ②求出函数 y= + (2≤x≤4) 的“最优纵横值”; 8 解：y-x= + ∵2≤x≤4，∴1≤y≤2， ∴函数 y= + (2≤x≤4) 的“最优纵横值”为2. (2)若二次函数y=-x²+bx+c 的顶点在直线上，且最优纵横值为5,求c 的 值 ； 解：∵抛物线的顶点在直线x= 上， ∴b=3, ∴y=-x²+3x+c, ∴yx=x²+2x+c=(x1)²+c+1. ∵最优纵横值为5,c+1=5,   解得c=4. 解：∵y-x=x²+2bxb²+3=(xb)²+3, ∴ 当x=b 时 ，yx 有最大值3, 当 b>4  时，16+8bb²+3=2,       解得b=5   或b=3 (舍去); 当 b<1 时， 1 2bb²+3=2,         解 得 b=0(舍去)或b =2. 综上所述，b 的值为5或2 . (3)若二次函数y=x²+(2b+1)x-b²+3, 当 - 1 ≤x≤4 时，二次函数的最优纵横值为2, 直接写出b 的值 . 类型二   方案主题类实践 解题指导：围绕生活实际需求(省钱、省资源、 最优决策),考查建立数学模型解决问题的能力，侧重“需求 →模型 →优化”的应用思维. 4. (2025兰州中考)天文学家运用三角函数解决 了曾困扰古人数百年的难题.某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离.具体研究方法与过程如表： 根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离 PH. ( 结果精确到 1 万千米 ) ( 参考数据 ：  tan89°25'37.43'≈100.00,tan89°22'38.09'≈92.00,sin89°25'37.43''≈0.99995,  sin89°22'38.09'≈0.99994,cos89°25'37.43'≈0.00999,  cos89°22'38.09''≈0.01087) 解：设PH=x  万千米 . ∵ 在RtPHB  中，∠PHB=90°,∠ABP=89°25'37.43'', ∴BH= = ≈ . ∵ 在Rt△PHA 中，∠PHA=90°,∠BAP=89°22'38.09", ∴AH= = ≈ . ∵AH+BH=AB≈0.8 万千米，∴+=0.8,解得x ≈ 38，即PH ≈ 38万千米. 答：月球与地球之间的近似距离 PH 约为 38万千米. 5. (2025广东中考)综合与实践  【阅读材料】如图1,在锐角ABC 中，∠A,∠B,∠C  的 对边长分别为 a,b,c,    则有 = = . 这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题 . 【问题提出】 万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用 水水源地.某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A,B  两岛间的实际距离. 由于地形原因，无法利用洲距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究. .  【方案设计】工具：测角仪、测距仪、无人机(只能测角度、水平面高度). 测量过程： 步骤1:如图2,在空旷地找一点C; 步骤2:利用无人机多次测量并取平均值测得 ∠A≈43°,∠B≈51°; 步骤3:利用测距仪多次测量并取平均值测得 BC≈341m,AC≈388.5m. 【问题解决】 (1)请你利用【阅读材料】中的结论计算A,B 两岛间的距离. ( 参考数据 ：sin43°≈0.682,sin51°≈0.777, sin86°≈0.998) 解：∵∠A≈43°,∠B≈51°, ∴∠C=180°∠A∠B≈180°43°51°=86°. 由题意，得 = . 又∵BC≈341m， ∴AB= = ≈ =499(m). 答 ：A,B 两岛间的距离为499 m. 【评价反思】 (2)设计其他方案计算A,B 两岛间的距离. 要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识. 解：工具：测角仪、测距仪、无人机(只能测角度、水平面高度). 测量过程：步骤1:如图，在空旷地找一点C,使得ABC 是锐角三角形； 步骤2:利用无人机多次测量并取平均值测得 ∠C 的度数； 步骤3:利用测距仪多次测量并取平均值测得BC=am,AC=bm. 计算过程：过点A 作 AD⊥BC, 则 ∠ADC =∠ADB=90°. ∵在RtACD中，sinC= , cosC= ,∴AD=bsinCm,CD=bcosCm, ∴BD=BCCD=(abcosC)m. ∵ 在RtABD 中 ，AD²+BD²=AB²,∴AB=. 答 ：A,B 两岛间的距离为m. 6. (2025广东模拟)【项目式学习】  项目主题：人工智能视觉识别 项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一 个重要分支，它让计算机能够“看懂”图象，目标矩形(BoundingBox) 是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、图象分割、物体跟踪等. 目标矩形是一种用于表示图象中目标物体位置和大小的矩形框，在常规的目标检测任务中， 如图1,一般使用边与轴平行的矩形框. 概念学习：在平面直角坐标系xOy 中，图形的目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行 于x 轴 ，y 轴，图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小.设矩形的竖直边与水平边的比为k,我们称常数k 为图形的纵横比.举例：如图2,矩形ABCD  为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比 k= = . 任务一： ①如图3-1,足球经过计算机识别后的图形 为圆，其目标矩形的纵横比k=       ; ②如图3-2,铅笔经过计算机识别后的图形 为线段 OK, 表达式为 y= x（0≤x≤8）， 其目 标矩形的纵横比 k= . 1 任务二：如图4- 1和图4-2,拱桥经过计算机 识别后的图形为抛物线，该抛物线关于y 轴对称，最高点C 与水面的距离 CD 为5米，其目标矩形的纵横比k =  ,求抛物线的表达式 .(不必写出自变量的取值范围) 解：如图4-2. ∵最高点 C 与水面的距离 CD 为 5 米  ∴C(0,5). ∵抛物线目标矩形的纵横比k = ， ∴ = , ∴AB=20. ∵抛物线关于y 轴对称， ∴A(-10,0),B(10,0). 设抛物线的表达式为y=a(x+10)(x10), 把 C(0,5) 代入，得5= 100a, 解得a= ， ∴抛物线的表达式为y= (x+10)(x10)= x2 +5 任务三：如图5 - 1和图5 - 2,高速公路经过计算机识别后的图形为双曲线，表达式为y= ，(1≤x≤m),  其中点M(1,8),  其目标矩形的纵横比k=,    直接写出m 的值为      .   4  类型三  跨学科类实践 解题指导：融合物理、化学、生物、文化等学科 知识，考查提取跨学科情境中数学要素、转化 为数学问题的能力，体现数学的工具性. 7. [项目式学习] 项目主题：进入光线和离开光线夹角与两块镜 子夹角的关系. 项目背景：自行车尾灯是由若干个两个互相垂直 的平面镜构成，当光线经过镜子反射时，进入车尾灯的光线与离开车尾灯的光线互相平行(如图 1).某校综合与实践小组受自行车尾灯设计的启发，以探究“进入光线和离开光线夹角与两块镜 子夹角的关系”为主题展开项目式学习. 驱动任务：探究进入光线和离开光线夹角度数与两块镜子夹角度数的关系. 项目素材：平面镜反射光线规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的 角相等. 研究步骤：(1)将两块平面镜AB,BC  竖直放置在桌面上，并使它们镜面间夹角的度数为α (0°<α<90°); (2)在同一平面内，用一束激光射到平面镜AB 上，分别经过平面镜AB,BC 两次反射后，进入光线m 与离开光线 n 形成的夹角度数为β(如 图2); (3)多次调整两块平面镜的夹角，并进行测量，得到多组α和β的值； (4)数据分析，形成结论. 问题解决：请根据项目实施的相关材料完成下 列任务. (1)根据表中信息可知，β是α的          函数(填“一次”“二次”或“反比例”),β与α的 函数关系式为                      (0°<α <90°); (2)请你在图2中用学过的物理原理和几何知识验证(1)中的函数关系式. 一次 β=-2α+180° 解：如图2,∵ ∠1=∠2, ∴∠5=180°∠1∠2, ∴∠5=180°2∠2. 同理，∠6=180°2∠3. ∴∠5+∠6=360°-2(∠2+∠3). ∵∠5+∠6=180°β,∠2+∠3=180° α, ∴180°β=360°2(180° α), 即180°β=2α, ∴β=2α+180°. 8. (2024贵州中考)综合与实践：小星学习解直 角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习. 【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在 水平桌面上，一束光线从水槽边沿A 处投射到底部 B 处，入射光线与水槽内壁 AC 的夹角为∠A; 第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点 E 处时，停止注水. (直线NN′为法线，AO 为入射 光线，OD 为折射光线) 【测量数据】如图，点A,B,C,D,E,F,O,N,N′在同 一平面内，测得AC=20cm,∠A=45°,折射角 ∠ DON=32°. 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数 据，解答下列问题： (1)求BC 的长； 解：在RtABC中，∠A=45°,  ∴∠B=45°, ∴BC=AC=20cm. (2)求B,D 之间的距离.(结果精确到0.1 cm) ( 参考数据 ：sin32°≈0.52,cos32°≈0.84, tan32°≈0.62) 解：由题可知，ON=EC= AC=10cm， ∴NB=ON=10 cm. 又∵∠DON=32°, ∴DN=ON·tan ∠DON=10·tan32°≈10×0.62=6.2(cm), ∴BD=BNDN=106.2=3.8(cm) 9.【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况. 在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼 苗，都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 45 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3，建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数 图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点 的坐标； 解： 抛物线过原点， ，解得 ， 抛物线的解析式为 顶点的坐标为 . 46 【探究二】研究心形叶片的宽度 （2）如图3，心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于， 两点，抛物线与 轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点 ．求叶片 此处的宽度 ； 47 解：令，则,解得，, 点的坐标为 ． 心形叶片的对称轴是直线，点， 是叶片上的一对对称点， 设的解析式为 ． 把代入，得，解得 ， 的解析式为 ． 联立解得 点的坐标为 , , ． 48 【探究三】探究幼苗叶片的长度 （3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是 二次函数 图象的一部分.如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好 对应探究1中的二次函数．已知直线（点为叶尖）与水平线的夹角为 ，求 幼苗叶片的长度 ． 49 解：如图4，过点作 抛物线的对称轴于点，则 ． 直线与水平线的夹角为 ， ． 设点的横坐标为 . 抛物线的对称轴为直线 ， ． 顶点的坐标为 ， 点的纵坐标为 ． 在抛物线 上， 50 ,解得, , 点的坐标为 , ． $