专题7.2 离散型随机变量及其分布（高效培优讲义）数学人教A版高二选择性必修第三册

本高中数学讲义聚焦离散型随机变量及其分布，从随机变量定义切入，梳理离散型与非离散型变量的辨析方法，系统讲解分布列的定义、性质，延伸到两点分布的模型特征及应用，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料通过典例与变式结合、即学即练设计，引导学生用数学眼光辨析变量类型，以数学思维分析分布列性质与模型本质，用数学语言解决实际问题。课中助力教师分层教学，课后帮助学生巩固基础、查漏补缺，提升知识应用能力。

专题7.2 离散型随机变量及其分布 教学目标 1.理解离散型随机变量的定义，能辨析离散型与非离散型随机变量，会用字母表示随机变量并写出其可能取值。 2.掌握离散型随机变量分布列的定义、性质（非负性、规范性），能根据实际问题列出分布列。 3.理解两点分布、超几何分布的模型特征，熟记其分布列形式，能识别并解决两类模型的实际问题。 4.能通过分布列计算随机变量取某一值的概率，初步体会分布列的统计意义。 教学重难点 1.重点 两点分布、超几何分布的模型识别与实际应用。 2.难点 超几何分布的模型本质理解（不放回抽样、有限总体、两类元素），区分其与古典概型的关联。 知识点01 离散型随机变量的分布列 1、随机变量：随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件． 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． 2、离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. 3、随机变量和函数的关系：随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集． 4、离散型随机变量的分布列：离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和 (1)离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为 x1，x2，…，xn ，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称为分布列． (2)可以用表格来表示X的分布列，如下表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 还可以用图形表示，如下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布图． 5、离散型随机变量的分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1，2，…，n； (2) p1＋p2＋…＋pn＝1. 【即学即练】 1．甲、乙两名同学进行做题游戏，甲同学做试题A和B，乙同学做试题C，已知甲同学做对试题A的概率为0.6，做对试题B的概率为0.4，同时做对试题A和B的概率为0.2；乙同学做对试题C的概率为0.6，且甲、乙两名同学做题结果互相不受影响. (1)求甲同学做对试题A没有做对试题B的概率； (2)求甲同学在没有做对试题A的条件下做对试题B的概率； (3)若甲、乙两名同学做对试题的题数之和为，求的分布列 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据条件概率公式求解即可； （3）根据题意，再分别计算概率，列出分布列即可． 【详解】（1）设甲同学做对试题为事件，甲同学做对试题为事件， 由题设可知，所以； （2）由题设可知，，，，， 又，所以， 故； （3）根据题意，， 分析可得， ，， ，， 可得的分布列为 0 1 2 3 0.08 0.36 0.44 0.12 2．2025年是中国共产党成立的104周年，某校为传承和弘扬革命精神特举行“党史知识”竞赛，本次比赛共分三个环节，每位参赛同学必须前两个环节均通过才有机会进入最后一个（决赛）环节，前两个环节是否通过相互独立.只要一个环节失败，即终止比赛.现有，，三位同学参加比赛，同学通过前两个环节的概率分别为和，同学和同学前两个环节中通过每一个环节的概率均为. (1)求恰有两位同学仅通过第一个环节的概率； (2)设进入决赛的同学人数为，求的分布列 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）分别计算出三位同学仅通过第一个环节的概率，再根据相互独立事件的概率求恰好两位同学仅通过第一个环节的概率； （2）分别计算出三位同学进入决赛的概率，然后分析随机变量可能的取值及相应概率，即可求出随机变量的分布列． 【详解】（1）解：三位同学仅通过第一个环节的概率分别为： ，，， 所以恰有两位同学仅通过第一个环节的概率为： ； （2）记三位同学进入决赛分别为事件， 则，，， 随机变量可能的取值为：， ， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 3．小华忘记了自家的智能门锁的数字密码，但记得大致范围，他决定尝试输入密码解锁.该门锁允许最多尝试3次，一旦输入正确，门立即打开；若连续3次都错误，门锁将自动锁定一段时间，不再接受输入.根据小华的记忆，他每次猜对密码的概率依次为0.5，0.6，0.7，且每次尝试是否成功相互独立. (1)设随机变量表示小华实际尝试输入密码的次数，求的分布列； (2)求小华在门锁被锁定前成功打开门的概率； (3)若已知小华在门锁被锁定前成功打开门，求他第3次尝试才猜对密码的概率. 【答案】(1)分布列见解析 (2) (3) 【分析】（1）先列出的所有可能取值为1，2，3，然后求出对应的概率，进而可得到分布列. （2）设“小华在门锁被锁定前成功打开门”为事件，求出其对立事件的概率进而得到结果. （3）根据条件概率公式可求得结果. 【详解】（1）由题意，的所有可能取值为1，2，3. ； ； . 因此，的分布列为 1 2 3 0.5 0.3 0.2 （2）设“小华在门锁被锁定前成功打开门”为事件， 则， 所以. （3）设“小华第3次尝试才猜对密码”为事件， 则， 所以. 知识点02 两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示 X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布． 【即学即练】 1．已知随机变量服从两点分布，且，设，则＝（    ） A．0.72 B．0.28 C．0.16 D．0.84 【答案】A 【分析】根据两点分布概率公式求解即可. 【详解】由题意可得， 故选：A. 2．已知随机变量均服从两点分布，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两点分布分别求得的概率，再由求出，由条件概率公式计算. 【详解】因为随机变量均服从两点分布，所以， 因为， 所以， 由条件概率公式， 故选：B. 3．已知随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据两点分布的性质以及概率的取值范围来确定实数的值. 【详解】因为随机变量服从两点分布，所以. . 整理得，解得，. 当时，，； 当时，，故不合题意. 综上，可得. 故选：A. 题型01 离散型随机变量的判断 【典例1】下列是离散型随机变量的是（    ） A．车载大灯的使用寿命X1 B．从1至4这4个数字随机抽取一个数字，记抽出数字1的次数为X2 C．某次物理实验测量所得的实验误差X3 D．某培养皿上的细菌个数X4 【答案】BD 【分析】根据离散型随机变量的概念，离散型随机变量是可取值为有限个或可以一一列举的随机变量，逐项判断即可． 【详解】对于A，车载大灯的使用寿命不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于B，从1至4这4个数字随机抽取一个数字，记抽出数字1的次数为能一一列举，是离散型随机变量； 对于C，某次物理实验测量所得的实验误差不能一一列举，不是离散型随机变量； 对于D，某培养皿上的细菌个数能一一列举，是离散型随机变量． 故选：BD． 判断离散型随机变量的方法 1、明确随机试验的所有可能结果． 2、将随机试验的结果数量化． 3、确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是． 【变式1】下列随机变量是离散型随机变量的个数是（    ） ①某足球队在5次点球中进球的次数； ②投篮一次的结果； ③某同学在至到校的时间； ④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的概念逐个判断即可. 【详解】①中进球的次数可能为0，1，2，3，4，5，可以一一列举出来； ②中投篮一次有两种情况，若用1表示投中，0表示不中，则也可以一一列举出来； ④中所取3件产品的合格品数可能为0，1，2，3，共4种情况，可以一一列举出来 ③中学生到校时间可以是12：00到12：30中的任意时刻，不能一一列举出来， 因此③不是离散型随机变量，故只有①②④满足． 故选：C 【变式2】（多选）下列叙述中，是离散型随机变量的是（    ） A．某座大桥一天经过的车辆数 B．某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数 C．一天之内的温度 D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射击手在一次射击中的得分 【答案】ABD 【分析】根据已知条件，结合离散型随机变量的定义，即可求解. 【详解】A，B，D中的可以取的值可以一一列举出来，可以作为离散型随机变量， 而C中的可以取某一区间内的一切值，属于连续型，不能作为离散型随机变量. 故选：ABD. 【变式3】（多选）下列叙述中，可以做离散型随机变量的是（    ） A．某座大桥未来经过的车辆数 B．某网站未来内的点击量 C．一天之内的温度 D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射击手在一次射击中的得分 【答案】ABD 【分析】根据离散型随机变量的特征判断即可. 【详解】对于ABD，ABD中的都满足离散型随机变量的四个特征，故ABD符合； 对于C，一天内的温度变化的范围是连续的，无法逐一列出，故C不符合. 故选：ABD. 题型02 利用随机变量分布列的性质解题 【典例1】甲、乙两名选手进行象棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直到一方比另一方多2分为止，多得2分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，双方平局的概率为，且每局比赛结果相互独立． (1)若，求甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率． (2)若，且比赛最多进行5局，比赛结束时的比赛局数为， （ⅰ）求的分布列（用字母表示）； （ⅱ）求的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）分布列见解析；（ⅱ） 【分析】(1)分4局中有平局和没有平局进行讨论； (2) (i)若，则比赛结果只有甲乙两种，且．又比赛最多进行5局，则的值可能为2，4，5, 计算取每个值的概率, 得分布列;    (ii)由(i)中的分布列得到．根据题目中的隐含信息，中有式子，，故尝试利用，根据基本不等式得到，再利用函数在上单调递增，即可得到最大值. 【详解】（1）若比赛中甲胜，记比赛结果为甲；比赛中乙胜，记比赛结果为乙；比赛平局，记比赛结果为平． 若4局比赛中没有平局，则比赛结果按比赛顺序分别为：甲乙甲甲，乙甲甲甲， 对应概率为； 若4局比赛中有平局，则比赛结果按比赛顺序分别为：平平甲甲，平甲平甲，甲平平甲， 对应概率为． 综上，甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率为． （2）若，则比赛结果只有甲乙两种，且． 又比赛最多进行5局，则的值可能为2，4，5. 时，比赛结果按比赛顺序分别为甲甲，乙乙，则； 时，比赛结果按比赛顺序分别为甲乙甲甲，乙甲甲甲，乙甲乙乙，甲乙乙乙， 则； 时，说明前4局没有结束比赛，即前4局甲乙打平， 则对应比赛结果按比赛顺序分别为甲乙乙甲甲，乙甲甲乙甲，乙甲乙甲甲，甲乙甲乙甲，甲乙乙甲乙，乙甲甲乙乙，乙甲乙甲乙，甲乙甲乙乙， 则． 则的分布列为 2 4 5 （ⅱ）． 注意到 则， 因为，所以，当且仅当时等号成立． 因为函数在上单调递增， 所以，故的最大值为． 【变式1】设离散型随机变量的分布列为下表，若随机变量，则（    ） 0 1 2 3 0.1 0.6 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【分析】根据离散型随机变量取各个值的概率和为1求得，由求出结果． 【详解】由分布列的性质知，所以． 因为，所以． 故选：A． 【变式2】泊松（Poissor）分布，是一种统计与概率学里常见到的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Simeon-Denis  Poisson）在1838年时发表.泊松分布适合于描述单位时间或单位面积内随机事件发生的次数的概率分布.如某一服务设施在一定时间内收到的服务请求次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的侯客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、激光的光子数分布等等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位.若随机变量X服从参数为的泊松分布（记作，则其概率分布为，，其中为自然对数 (1)对于二项分布，当n很大，p很小，而乘积大小适中，二项分布就可以近似的看作参数的泊松分布.某公司制造微型芯片，次品率为0.2%，各芯片是否为次品相互独立，以X记产品中的次品数.求在1000个产品中至多有1个次品的概率（用泊松分布近似计算）； (2)已知，为正整数，若的最大值是，求的值； (3)若，试比较与0.99的大小，并说明理由. 【答案】(1) (2)4或5 (3) 【分析】（1）根据泊松分布，计算，由概率公式计算，，再相加即可； （2）计算，比值与1比较，确定概率单调性，利用的最大值是即可得到的值； （3）利用泊松分布的概率公式，计算，，，相加再与0.99比较即可. 【详解】（1）根据题意比较大，而大小适中， 所以满足近似泊松分布， 则，， ， 在1000个产品中至多有1个次品的概率为. （2），， 则，又为正整数， 所以当时，，概率单调递减，当时，，概率单调递增， 的最大值是， 或， 综上，或. （3），则， ， ， 所以， 即. 【变式3】若随机变量X的分布列如下表所示，则的最小值为 ． X 0 1 2 3 P a b 【答案】/ 【分析】由分布列的性质得，再由基本不等式求的最小值. 【详解】由题设，可得， 由，当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 故答案为： 题型03 求离散型随机变量的分布列 【典例1】为提高学生学习数学的积极性，某校举办数学竞赛并且设置奖项.现从参加初赛的学生中选拔出男生20名、女生20名参加此次数学竞赛决赛，根据这40名学生的得分情况绘制如图所示的频率分布直方图.规定得分不低于80分即可获得奖励，其中获得奖励的男学生有7人.    (1)求图中n的值; (2)从获得奖励的学生中任取2人，求这2人中至少有1人获得奖励的概率; (3)现从获得奖励的学生中随机抽取4人，记其中女学生的人数为X，求X的分布列与期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【分析】（1）根据已知条件，结合频率分布直方图的性质，以及频率与频数的关系，即可求解； （2）根据频率分布直方图求解获得奖励的学生人数，根据对立事件与古典概型求解概率即可得所求； （3）获得奖励的女学生有3人，男学生有7人，则随机变量的所有可能取值有0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得的分布列，并结合期望公式，即可求解． 【详解】（1）由频率分布直方图可得，则； （2）由频率分布直方图可知获得奖励的学生有人， 故这2人中至少有1人获得奖励的概率为； （3）获得奖励的女学生有3人，男学生有7人，则X的所有可能取值为0，1，2，3. ， ， ， ， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 故. 求离散型随机变量分布列的步骤 1、首先确定随机变量X的取值； 2、求出每个取值对应的概率； 3、列表对应，即为分布列． 【变式1】不透明的盒中有五个大小形状相同的小球．它们分别标有数字，0，1，1，2，现从中随机取出2个小球． (1)求取出的2个小球上的数字不同的概率； (2)记取出的2个小球上的数字之积为，求的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用古典概型计算公式计算即可； （2）分析随机变量的取值，并利用古典概型分别计算随机变量取值对应的概率即可. 【详解】（1）从5个小球中随机取出2个，对5个小球进行编号，分别为， 样本空间为，共计10个样本点， 其中数字相同的情况只有一种（取出两个标有数字1的小球）， 因此数字不同的情况有 种，故取出的2个小球上的数字不同的概率为 ； （2）随机变量的取值分别为：， 当时：取出数字 和 2，取法数 1 种， ； 当时：取出数字 和 1，取法数 2 种， ； 当时：取出数字 和 0（1 种）、0 和 1（2 种）、0 和 2（1 种）， 总取法数 4 种， ； 当时：取出两个数字 1，取法数 1 种， ； 当时：取出数字 1 和 2，取法数 2 种，概率 ； 故 的分布列为：                                                             【变式2】现有一口袋内有4个黑球，3个白球和2个灰球，这些球除颜色外完全相同，现随机抽取球并进行记录，每次只抽取一个球. (1)若抽完球记录后放回口袋，进行n次抽取（），求摸到黑球的次数不超过次的概率； (2)若抽完球记录后不放回口袋. （ⅰ）若抽完所有球时抽取结束，求第二次抽到灰球且第三次抽到黑球的概率； （ⅱ）若当抽到灰球时抽取结束，记抽取次数为X，求X的分布列. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）答案见解析 【分析】（1）由已知抽到黑球次数服从二项分布，再根据二项分布的概率公式求解即可； （2）（ⅰ）只需考虑前三次抽球，记事件M：第二次抽到灰球且第三次抽到黑球，N1：第一次抽到白球，N2：第一次抽到灰球，N3：第一次抽到黑球，进而可得出答案； （ⅱ）写出随机变量的所有取值，求出对应概率，从而可得出分布列. 【详解】（1）易知抽到黑球次数服从二项分布， 于是，   ，   故所求概率； （2）（ⅰ）事实上，只需考虑前三次抽取. 记事件M：第二次抽到灰球且第三次抽到黑球， N1：第一次抽到白球，N2：第一次抽到灰球，N3：第一次抽到黑球， 则，   ， ， 可得； （ⅱ）由题意X的取值可以是， 则， ， ， ， 故可得分布列为 X 1 2 3 4 5 6 7 8 P 【变式3】离散型随机变量及其分布列 （1）离散型随机变量：取值能够 出来的随机变量，我们称为离散型随机变量. （2）概率分布列：若离散型随机变量X的可能取值为，我们称X取每一个值的概率，为离散型随机变量X的概率分布列，简称 .分布列也可以列出表： …… …… …… …… （2）分布列的性质有： ①，； ② . 【答案】 一一列举 分布列 1 【分析】略 【详解】略 题型04 分布列的性质及其应用 【典例1】某位射箭运动员命中目标的环数的分布列为： 6 7 8 9 10 0.05 0.15 0.25 0.35 0.20 如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是（    ） A．0.55 B．0.45 C．0.35 D．0.20 【答案】A 【分析】利用分布列的性质，将射中环数为9、10环对应的概率相加即可得解． 【详解】若射手射击一次为优秀，则他射中的环数为9，10环，其概率为， 故他射击一次为优秀的概率是0.55. 故选：A. 离散型随机变量的分布列的性质的应用 1、通过性质建立关系，求得参数的取值或范围，进一步求出概率，得出分布列． 2、求对立事件的概率或判断某概率是否成立． 【变式1】已知表示中最小的数，表示中最大的数.若数列，都只有项，且都是由数字，，，，，，，随机排列而成的（每个数字都出现，但不重复出现），记，，则（   ） A．X的值可能为，，， B．的值可能为，，， C．的概率为 D．的概率为 【答案】ACD 【分析】先确定满足条件的的个数，再结合定义确定的可能取值，确定取各值的方法数，由此可得取各值的概率，再求的值及取各值的概率，结合概率加法和乘法公式求结论. 【详解】将1，2，3，4，5，6，7，8平均分成组，有种分法. X的值可能为，，，，A正确； 不妨设， 若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时. 若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时. 若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时. 若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时. ，，，. ，C正确； 又的值可能为，，，，B错误； 不妨设 若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时. 若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时. 若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时. 若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时. ，，，. ，D正确. 故选：ACD. 【变式2】设为实数，若随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由随机变量分布列所有概率之和等于1，计算即可. 【详解】根据题意，，且所有概率之和等于1， ， ，解得：， . 故选：A 【变式3】甲､乙两人报名参加由某网络科技公司举办的“技能闯关”双人电子竞技比赛，比赛规则如下：每一轮“闯关”结果都采取计分制，若在一轮闯关中，一人过关另一人未过关，过关者得1分，未过关者得-1分；若两人都过关或都未过关，则两人均得0分.甲､乙过关的概率分别为和，在一轮闯关中，甲的得分记为. (1)求的分布列. (2)为了增加趣味性，系统给每位报名者基础分3分，并且规定出现一方比另一方多过关三轮者获胜，此二人比赛结束.表示“当甲的累积得分为时，最终认为甲获胜”的概率，则，其中，令.证明：点的中点的横坐标为. (3)在第（2）问的条件下求，并尝试解释游戏规则的公平性. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)0.12，答案见解析 【分析】（1）由题意得：分别求出相应的概率，由此能求出的分布列； （2）由题意得，计算出的值，推导出，根据中点公式能证明点的中点横坐标为； （3）由及，求出，由此推导出甲获胜的概率非常小，说明这种游戏规则是公平的. 【详解】（1），，， 的分布列为 -1 0 1 （2）由题意得 ， ， . 于是有，整理可得， 根据中点公式有， 故的中点的横坐标为. （3）由（2）可知，于是， 又，所以， 表示最终认为甲获胜的概率， 由计算结果可以看出，当甲过关的概率为0.5，乙过关的概率为0.6时， 当甲的累计得分为分时，认为甲获胜的概率为， 此时得出甲获胜的概率非常小，说明这种游戏规则是公平的. 题型05 两点分布 【典例1】已知离散型随机变量X的分布列服从参数为p的两点分布，且，则 . 【答案】 【分析】利用两点分布的概率和性质结合给定条件求解即可. 【详解】因为X的分布列服从参数为p的两点分布，所以，且， 所以即，∴. 故答案为： 两点分布的4个特点 1、两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的； 2、两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0； 3、由互斥事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))； 4、在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它． 【变式1】若服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照两点分布的性质计算. 【详解】依题意可得，解得. 故选：C 【变式2】若随机变量X服从两点分布，，则为（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8 【答案】C 【分析】根据两点分布性质计算即可. 【详解】由题可知：X服从两点分布，所以， 又， 所以. 故选：C 【变式3】随机变量服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两点分布的性质即可求出答案. 【详解】设，因为服从两点分布， 所以，则，解得． 故选：C． 1．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且，定义X的信息熵． 命题1：若，则随着n的增大而增大； 命题2：若，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，m，且，则． 则以下结论正确的是（    ） A．命题1正确，命题2错误 B．命题1错误，命题2正确 C．两个命题都错误 D．两个命题都正确 【答案】A 【分析】根据信息熵公式，利用对数的运算性质及对数函数的单调性判断命题1；由已知公式得到关于的展开式，应用作差法及对数的性质判断的大小判断命题2. 【详解】若，则，故随着n的增大而增大，命题1正确； ，则， 而，， ， 所以，故，命题2错误； 故选：A 2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a、b、c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a－b|的取值”，则ξ的数学期望E(ξ)为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于对称轴在轴左侧，故，故同号，基本事件有.的可能性有三种，，，.故期望值为.故选. 3．为迎接五一假期，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的5个红球和4个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到一红球一白球，可获得价值a百元代金券；摸到两红球，可获得价值b百元代金券；摸到两白球，可获得价值ab百元代金券（a，b均为整数）．已知每位员工平均可得6百元代金券，则运气最好者获得至多（   ）百元代金券 A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】根据题意可知代金券的取值，再根据随机变量的意义求概率，即可求分布列，再求期望可知，根据条件，结合基本不等式求的最大值，即可求解. 【详解】若摸到一红球一白球的概率， 若摸到2白球的概率，若摸到2红球的概率， 设可获得百元代金券为变量分布列如下， a b ab P ， 手气最好者获得百元代金券 即，， 又a，b均为正整数， 所以当时，有，即舍去； 当时，有，即， 此时运气最好者获得至多百元代金券； 当时，有，即舍去； 当时，有，即，此时运气最好者获得至多百元代金券； 当时，有，即舍去； 当时，有，即舍去； 当时，有，即舍去； 当时，有，即舍去； 当时，可得舍去； 综上，运气最好者获得至多16百元代金券. 故选：B. 4．已知盒中装有9个除颜色外其他完全相同的小球，其中有3个白球，6个红球，每次从盒中随机抽取1个小球，观察颜色后再放回盒中，直到两种颜色的球都取到，且取到的一种颜色的球比另一种颜色的球恰好多2个时停止取球，则停止取球时取球的次数为6的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分四种情况讨论，结合离散型随机变量的概率计算后再两种概率相加即可. 【详解】一共四种情况： （1）前四次，可能是白2红2（顺序任意），然后(i)抽2红或者(ii)抽2白结束. （2）前四次也可能是白4，然后抽2红结束. （3）前四次还可能是红4，然后抽2白结束. 取到白球的概率为，取到红球的概率为， （1）的两种情况的概率分别为 （i）， (ii)， （2）（3）前4红后2白或者前4白后2红的概率和为： ， 所以共有总概率为. 故选：D 5．一校园公用电话在某时刻恰有个学生正在使用或等待使用该电话的概率为，根据统计得到，其中为常数，则在该时刻没有学生正在使用或等待使用该电话的概率为（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 【答案】B 【分析】利用概率之和为1求出，然后令，即可求解. 【详解】， ，即. 故选：B. 6．已知随机变量的分布列如表：（其中为常数） 0 1 2 3 4 5 0.2 0.1 0.3 0.2 0.1 则等于（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【分析】根据分布列概率和为1求得a,再根据互斥事件的概率和公式计算即可. 【详解】根据分布列概率和为1，可得, . 故选：B. 7．已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分布列的性质，求出，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由， 得， 即，解得，故AB正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：D. 8．第33届夏季奥林匹克运动会于2024年月日至月日在法国巴黎举行．为举行这场体育盛会，某社区决定举办一次奥林匹克运动会知识竞赛，要求每组参赛队伍由两人组成，竞赛分为预赛和决赛，其中预赛规则如下： ①每组队伍先从两类问题中选择一类，并由两位选手从各随机抽取一个问题回答，答错的选手本轮竞赛结束；答对的选手再从另一类问题中随机抽取一个问题进行回答，无论答对与否，该选手本轮竞赛结束； ②若在本轮竞赛中每组队伍的两名选手合计答对问题的个数不少于3个，则可进入决赛． 市民甲与乙组成“梦幻”队参加了这次竞赛，已知甲答对A类中每个问题的概率均为0.7，答对B类中每个问题的概率均为0.5，乙答对A类中每个问题的概率均为0.4，答对B类中每个问题的概率均为0.8． (1)若“梦幻”队先回答A类问题，记X为“梦幻”队答对问题的个数，求X的分布列； (2)为使“梦幻”队进入决赛的概率最大，“梦幻”队应选择先回答哪类问题？并说明理由． 【答案】(1)分布列见解析 (2)B类问题，理由见解析 【分析】（1）根据题意得的可能取值为0，1，2，3，4，求得相应的概率，列出分布列； （2）由（1）求得先回答类问题，“梦幻”队能进入决赛的概率为，再求得先回答类问题，“梦幻”队能进入决赛的概率为，结合，即可得到答案. 【详解】（1）根据题意得X的可能取值为， 则， ， ， ， ， 所以的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.180 0.234 0.334 0.140 0.112 （2）由（1）可知，若先回答A类问题，则“梦幻”队能进入决赛的概率为：； 若先回答B类问题，记“梦幻”队答对问题的个数为Y， 则，， 则“梦幻”队能进入决赛的概率为， 所以，所以为使“梦幻”队进入决赛的概率最大，“梦幻”队应选择先回答B类问题． 9．在临床上，病毒的感染十分常见.假设某人感染病毒的概率为.若感染病毒，检测结果呈阳性的概率为；若未感染病毒，检测结果呈阴性的概率为.检测结果相互独立. (1)求某人病毒检测结果呈阴性的概率； (2)现有4人参加此项病毒检测，用，分别表示这4个人中病毒检测结果呈阳性和阴性的人数，记，求随机变量的分布列及均值. 【答案】(1) (2)分布列见解析，. 【分析】（1）分别计算感染与未感染下检测结果呈阴性的概率，再相加 （2）找出Z的所有可能取值，再分别计算对应概率，得出分布列 【详解】（1）设某人感染病毒为事件，某人病毒检测结果呈阴性为事件，则： 依题意有：，. . （2）因为，又，所以，2，， 设“这4个人中有人EB病毒检测结果呈阴性”为事件 由于与互斥，与互斥，故 . . 0 2 4 所以 10．甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，已知每局比赛相互独立，且每局比赛甲获胜的概率均为，乙获胜的概率均为. (1)若比赛为三局两胜制，设比赛结束时比赛场次为.求的分布列； (2)若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）可取2，3，按独立事件概率求解，写出分布列； （2）分别求出“甲最终获胜”和“甲经历5局获胜”的概率，再按条件概率求解即可. 【详解】（1）由题意可得所有可能的取值为2，3， ，， 所以的分布列为： 2 3 （2）设事件“甲最终获胜”，事件“共进行了5局比赛”， 则， ， 故. 故在甲最终获胜了的条件下进行了5局比赛的概率是. 23 / 29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.2 离散型随机变量及其分布 教学目标 1.理解离散型随机变量的定义，能辨析离散型与非离散型随机变量，会用字母表示随机变量并写出其可能取值。 2.掌握离散型随机变量分布列的定义、性质（非负性、规范性），能根据实际问题列出分布列。 3.理解两点分布、超几何分布的模型特征，熟记其分布列形式，能识别并解决两类模型的实际问题。 4.能通过分布列计算随机变量取某一值的概率，初步体会分布列的统计意义。 教学重难点 1.重点 两点分布、超几何分布的模型识别与实际应用。 2.难点 超几何分布的模型本质理解（不放回抽样、有限总体、两类元素），区分其与古典概型的关联。 知识点01 离散型随机变量的分布列 1、随机变量：随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件． 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． 2、离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. 3、随机变量和函数的关系：随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω 是数集． 4、离散型随机变量的分布列：离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的 (1)离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为 x1，x2，…，xn ，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称为分布列． (2)可以用表格来表示X的分布列，如下表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 还可以用图形表示，如下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布图． 5、离散型随机变量的分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1，2，…，n； (2) p1＋p2＋…＋pn＝1. 【即学即练】 1．甲、乙两名同学进行做题游戏，甲同学做试题A和B，乙同学做试题C，已知甲同学做对试题A的概率为0.6，做对试题B的概率为0.4，同时做对试题A和B的概率为0.2；乙同学做对试题C的概率为0.6，且甲、乙两名同学做题结果互相不受影响. (1)求甲同学做对试题A没有做对试题B的概率； (2)求甲同学在没有做对试题A的条件下做对试题B的概率； (3)若甲、乙两名同学做对试题的题数之和为，求的分布列 2．2025年是中国共产党成立的104周年，某校为传承和弘扬革命精神特举行“党史知识”竞赛，本次比赛共分三个环节，每位参赛同学必须前两个环节均通过才有机会进入最后一个（决赛）环节，前两个环节是否通过相互独立.只要一个环节失败，即终止比赛.现有，，三位同学参加比赛，同学通过前两个环节的概率分别为和，同学和同学前两个环节中通过每一个环节的概率均为. (1)求恰有两位同学仅通过第一个环节的概率； (2)设进入决赛的同学人数为，求的分布列 3．小华忘记了自家的智能门锁的数字密码，但记得大致范围，他决定尝试输入密码解锁.该门锁允许最多尝试3次，一旦输入正确，门立即打开；若连续3次都错误，门锁将自动锁定一段时间，不再接受输入.根据小华的记忆，他每次猜对密码的概率依次为0.5，0.6，0.7，且每次尝试是否成功相互独立. (1)设随机变量表示小华实际尝试输入密码的次数，求的分布列； (2)求小华在门锁被锁定前成功打开门的概率； (3)若已知小华在门锁被锁定前成功打开门，求他第3次尝试才猜对密码的概率. 知识点02 两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P(A)＝p，则P()＝ ，那么X的分布列如表所示 X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布． 【即学即练】 1．已知随机变量服从两点分布，且，设，则＝（    ） A．0.72 B．0.28 C．0.16 D．0.84 2．已知随机变量均服从两点分布，若，则（   ） A． B． C． D． 3．已知随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．或 题型01 离散型随机变量的判断 【典例1】下列是离散型随机变量的是（    ） A．车载大灯的使用寿命X1 B．从1至4这4个数字随机抽取一个数字，记抽出数字1的次数为X2 C．某次物理实验测量所得的实验误差X3 D．某培养皿上的细菌个数X4 判断离散型随机变量的方法 1、明确随机试验的所有可能结果． 2、将随机试验的结果数量化． 3、确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是． 【变式1】下列随机变量是离散型随机变量的个数是（    ） ①某足球队在5次点球中进球的次数； ②投篮一次的结果； ③某同学在至到校的时间； ④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（多选）下列叙述中，是离散型随机变量的是（    ） A．某座大桥一天经过的车辆数 B．某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数 C．一天之内的温度 D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射击手在一次射击中的得分 【变式3】（多选）下列叙述中，可以做离散型随机变量的是（    ） A．某座大桥未来经过的车辆数 B．某网站未来内的点击量 C．一天之内的温度 D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射击手在一次射击中的得分 题型02 利用随机变量分布列的性质解题 【典例1】甲、乙两名选手进行象棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直到一方比另一方多2分为止，多得2分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，双方平局的概率为，且每局比赛结果相互独立． (1)若，求甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率． (2)若，且比赛最多进行5局，比赛结束时的比赛局数为， （ⅰ）求的分布列（用字母表示）； （ⅱ）求的最大值． 【变式1】设离散型随机变量的分布列为下表，若随机变量，则（    ） 0 1 2 3 0.1 0.6 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【变式2】泊松（Poissor）分布，是一种统计与概率学里常见到的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Simeon-Denis  Poisson）在1838年时发表.泊松分布适合于描述单位时间或单位面积内随机事件发生的次数的概率分布.如某一服务设施在一定时间内收到的服务请求次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的侯客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、激光的光子数分布等等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位.若随机变量X服从参数为的泊松分布（记作，则其概率分布为，，其中为自然对数 (1)对于二项分布，当n很大，p很小，而乘积大小适中，二项分布就可以近似的看作参数的泊松分布.某公司制造微型芯片，次品率为0.2%，各芯片是否为次品相互独立，以X记产品中的次品数.求在1000个产品中至多有1个次品的概率（用泊松分布近似计算）； (2)已知，为正整数，若的最大值是，求的值； (3)若，试比较与0.99的大小，并说明理由. 【变式3】若随机变量X的分布列如下表所示，则的最小值为 ． X 0 1 2 3 P a b 题型03 求离散型随机变量的分布列 【典例1】为提高学生学习数学的积极性，某校举办数学竞赛并且设置奖项.现从参加初赛的学生中选拔出男生20名、女生20名参加此次数学竞赛决赛，根据这40名学生的得分情况绘制如图所示的频率分布直方图.规定得分不低于80分即可获得奖励，其中获得奖励的男学生有7人.    (1)求图中n的值; (2)从获得奖励的学生中任取2人，求这2人中至少有1人获得奖励的概率; (3)现从获得奖励的学生中随机抽取4人，记其中女学生的人数为X，求X的分布列与期望. 求离散型随机变量分布列的步骤 1、首先确定随机变量X的取值； 2、求出每个取值对应的概率； 3、列表对应，即为分布列． 【变式1】不透明的盒中有五个大小形状相同的小球．它们分别标有数字，0，1，1，2，现从中随机取出2个小球． (1)求取出的2个小球上的数字不同的概率； (2)记取出的2个小球上的数字之积为，求的分布列． 【变式2】现有一口袋内有4个黑球，3个白球和2个灰球，这些球除颜色外完全相同，现随机抽取球并进行记录，每次只抽取一个球. (1)若抽完球记录后放回口袋，进行n次抽取（），求摸到黑球的次数不超过次的概率； (2)若抽完球记录后不放回口袋. （ⅰ）若抽完所有球时抽取结束，求第二次抽到灰球且第三次抽到黑球的概率； （ⅱ）若当抽到灰球时抽取结束，记抽取次数为X，求X的分布列. 【变式3】离散型随机变量及其分布列 （1）离散型随机变量：取值能够 出来的随机变量，我们称为离散型随机变量. （2）概率分布列：若离散型随机变量X的可能取值为，我们称X取每一个值的概率，为离散型随机变量X的概率分布列，简称 .分布列也可以列出表： …… …… …… …… （2）分布列的性质有： ①，； ② . 题型04 分布列的性质及其应用 【典例1】某位射箭运动员命中目标的环数的分布列为： 6 7 8 9 10 0.05 0.15 0.25 0.35 0.20 如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是（    ） A．0.55 B．0.45 C．0.35 D．0.20 离散型随机变量的分布列的性质的应用 1、通过性质建立关系，求得参数的取值或范围，进一步求出概率，得出分布列． 2、求对立事件的概率或判断某概率是否成立． 【变式1】已知表示中最小的数，表示中最大的数.若数列，都只有项，且都是由数字，，，，，，，随机排列而成的（每个数字都出现，但不重复出现），记，，则（   ） A．X的值可能为，，， B．的值可能为，，， C．的概率为 D．的概率为 【变式2】设为实数，若随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】甲､乙两人报名参加由某网络科技公司举办的“技能闯关”双人电子竞技比赛，比赛规则如下：每一轮“闯关”结果都采取计分制，若在一轮闯关中，一人过关另一人未过关，过关者得1分，未过关者得-1分；若两人都过关或都未过关，则两人均得0分.甲､乙过关的概率分别为和，在一轮闯关中，甲的得分记为. (1)求的分布列. (2)为了增加趣味性，系统给每位报名者基础分3分，并且规定出现一方比另一方多过关三轮者获胜，此二人比赛结束.表示“当甲的累积得分为时，最终认为甲获胜”的概率，则，其中，令.证明：点的中点的横坐标为. (3)在第（2）问的条件下求，并尝试解释游戏规则的公平性. 题型05 两点分布 【典例1】已知离散型随机变量X的分布列服从参数为p的两点分布，且，则 . 两点分布的4个特点 1、两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的； 2、两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0； 3、由互斥事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))； 4、在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它． 【变式1】若服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】若随机变量X服从两点分布，，则为（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8 【变式3】随机变量服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 1．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且，定义X的信息熵． 命题1：若，则随着n的增大而增大； 命题2：若，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，m，且，则． 则以下结论正确的是（    ） A．命题1正确，命题2错误 B．命题1错误，命题2正确 C．两个命题都错误 D．两个命题都正确 2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a、b、c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a－b|的取值”，则ξ的数学期望E(ξ)为(　　) A． B． C． D． 3．为迎接五一假期，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的5个红球和4个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到一红球一白球，可获得价值a百元代金券；摸到两红球，可获得价值b百元代金券；摸到两白球，可获得价值ab百元代金券（a，b均为整数）．已知每位员工平均可得6百元代金券，则运气最好者获得至多（   ）百元代金券 A．12 B．16 C．18 D．20 4．已知盒中装有9个除颜色外其他完全相同的小球，其中有3个白球，6个红球，每次从盒中随机抽取1个小球，观察颜色后再放回盒中，直到两种颜色的球都取到，且取到的一种颜色的球比另一种颜色的球恰好多2个时停止取球，则停止取球时取球的次数为6的概率为（   ） A． B． C． D． 5．一校园公用电话在某时刻恰有个学生正在使用或等待使用该电话的概率为，根据统计得到，其中为常数，则在该时刻没有学生正在使用或等待使用该电话的概率为（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 6．已知随机变量的分布列如表：（其中为常数） 0 1 2 3 4 5 0.2 0.1 0.3 0.2 0.1 则等于（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 7．已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 8．第33届夏季奥林匹克运动会于2024年月日至月日在法国巴黎举行．为举行这场体育盛会，某社区决定举办一次奥林匹克运动会知识竞赛，要求每组参赛队伍由两人组成，竞赛分为预赛和决赛，其中预赛规则如下： ①每组队伍先从两类问题中选择一类，并由两位选手从各随机抽取一个问题回答，答错的选手本轮竞赛结束；答对的选手再从另一类问题中随机抽取一个问题进行回答，无论答对与否，该选手本轮竞赛结束； ②若在本轮竞赛中每组队伍的两名选手合计答对问题的个数不少于3个，则可进入决赛． 市民甲与乙组成“梦幻”队参加了这次竞赛，已知甲答对A类中每个问题的概率均为0.7，答对B类中每个问题的概率均为0.5，乙答对A类中每个问题的概率均为0.4，答对B类中每个问题的概率均为0.8． (1)若“梦幻”队先回答A类问题，记X为“梦幻”队答对问题的个数，求X的分布列； (2)为使“梦幻”队进入决赛的概率最大，“梦幻”队应选择先回答哪类问题？并说明理由． 9．在临床上，病毒的感染十分常见.假设某人感染病毒的概率为.若感染病毒，检测结果呈阳性的概率为；若未感染病毒，检测结果呈阴性的概率为.检测结果相互独立. (1)求某人病毒检测结果呈阴性的概率； (2)现有4人参加此项病毒检测，用，分别表示这4个人中病毒检测结果呈阳性和阴性的人数，记，求随机变量的分布列及均值. 10．甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，已知每局比赛相互独立，且每局比赛甲获胜的概率均为，乙获胜的概率均为. (1)若比赛为三局两胜制，设比赛结束时比赛场次为.求的分布列； (2)若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $