回归教材三 角形中位线运用专练&基本功通关练三-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（湘教版）

回归教材三角 教材母题 如右图，在四边形ABCD中， P是对角线AC的中点，E,F 分别是AD,BC的中点，AB B =DC,∠PEF=18°，求∠EPF的度数. 【思路点拨】当题目中出现线段的中点时，一般 在构造的三角形中，考虑用三角形的中位线定 理来求得PE=2CD,PF=2AB,从而得到 △PEF为等腰三角形，再利用等腰三角形的性 质、三角形内角和性质可求得∠EPF的度数. 【我的解答】 变式训练 1.如右图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，AC=6,BC= 8,N是BC边上一点，M 为AB边上的动点，D,E分别为CN,MN 的中点.求DE的最小值. 102 八年级数学XJ版 形中位线运用专练 2.如下图，在等边三角形ABC中，D,E分别 为AB,AC的中点，延长BC至点F,使CF =BC,连接CD,EP. (1)求证：CD=EF (2)试判断△ABC的面积与四边形BDEF 的面积的关系，并说明理由 基本功通关练三矩形的性质与判定 (建议用时：30分钟) 1.如下图，在矩形ABCD中，点E在AD边3.如下图，在△ABC中，AB=AC,AD,AE分 上，且EC平分∠BED.若AB=1,BC=√2， 别平分∠BAC和∠BAF,BE⊥AE. 求∠ECD的度数. (1)填空：∠DAE的度数为 (2)试判断AB与DE是否相等，并证明你的 结论 4.如下图，线段DE与AF分别为△ABC的中 位线与中线， (1)求证：AF与DE互相平分 (2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系 时，四边形ADFE为矩形？请说明理由， 2.如下图，已知E,F为□ABCD对角线BD 上的两点，且BE=DF,∠AEC=90°.求证： 四边形AECF为矩形， 下册限时周测 103所以∠CND=90°，所以∠ANC=90° 因为四边形AMCN是平行四边形， 所以∠AMC=∠ANC=90°. 10.解：(1)因为BP平分∠ABC, 所以∠CBP-名∠ABC 因为CP平分△ABC的外角∠ACD, 所以∠DCP-古∠ACD=合（∠A+∠ABC) 3∠A+5∠ABC 因为∠DCP=∠CBP+∠P=∠ABC+∠P. 所以2∠A+方∠ABC=号∠ABC+∠P, 所以∠P-号∠A-号×40-20 (2)因为∠ABC+∠DCB=360°-(a+B),∠ABC+ (180°-∠DCE)=2∠PBC+(180°-2∠ECP)= 180°-2（∠ECP-∠PBC)=180°-2∠P, 所以360°-(a十B)=180°-2∠P, 所以2∠P=a+B-180°， 所以∠P=2(a+B)-90, 11.解：(1)证明：因为△ABC是等边三角形，D是BC边的 中点，所以AB=AC,∠B=∠BAC=∠ACB=60°， AD1BC.且∠BAD=∠BAC=30 因为△ADE是等边三角形，所以AD=ED,∠ADE =60°. 所以∠EDB=90°-∠ADE=90°-60°=30° 因为ED∥CF,所以∠FCB=∠EDB=30°， 所以∠ACF=∠ACB-∠FCB=30°， 所以∠ACF=∠BAD, 所以△ABD≌△CAF(角边角)，所以AD=CF. 因为AD=ED,所以ED=CF. 又因为EDCF, 所以四边形EDCF是平行四边形， 所以EF=CD. (2)成立. 证明：因为ED∥CF, 所以∠EDB=∠FCB, 因为∠AFC=∠B+∠BCF=6O°+∠BCF,∠BDA =∠ADE+∠EDB=6O°+∠EDB, 所以∠AFC=∠BDA. 又因为∠B=∠FAC,AB=CA, 所以△ABD≌△CAF(角角边)，所以AD=CF, 因为AD=ED,所以ED=CF 又因为ED∥CF, 所以四边形EDCF是平行四边形，所以EF=CD. 38 八年级数学XJ版 回归教材三角形中位线运用专练 教材母题 解：因为P是AC的中点，E是AD的中点， 所以EP是△ACD的中位线，所以EP=号DC 因为P是AC的中点，F是BC的中点， 所以PF是△ABC的中位线，所以PF=AB. 因为AB=DC,所以EP=PF, 所以∠PFE=∠PEF=18. 在△EFP中，∠EPF+∠PFE+∠PEF=180°， 所以∠EPF=180°-∠PEF-∠PFE=180°-18°-18° =144°. 变式训练 1.解：如图，连接CM.因为D,E分别为 1 CN,MN的中点，所以DE=2CM, 当CM⊥AB时，CM的值最小（垂线 段最短)，此时DE有最小值. 因为∠ACB=90°，AC=6,BC=8, 所以AB=√AC2+BC=10. 因为Sax=2AC·BC=2AB·CM,所以CM 24 =5 所以DE=名cM-=号 12 故DE的最小值是5： 2.解：(1)证明：因为D,E分别为AB,AC的中点， 所以DE为△ABC的中位线，所以DE∥BC,DE= C. 因为CF=2BC,所以DE=FC. 因为DE∥FC,所以四边形DCFE是平行四边形， 所以CD=EF. (2)△ABC的面积等于四边形BDEF的面积.理由 如下： 因为E是AC的中点，所以S△ADE=S△Dc, 因为四边形DCFE是平行四边形， 所以S△DEc=S△BP,所以S△ADE=S△CF, 所以SAABC=S四边形BDEc十S△ADE=S四边形BDBc十S△BCF= S四边形mEF,即△ABC的面积等于四边形BDEF的 面积. 基本功通关练三矩形的性质与判定 1.解：过点C作CM⊥BE交BE于点M,如图. 因为四边形ABCD是矩形，所以∠EDC=∠EMC =90°. 因为EC平分∠BED, 所以∠CEM=∠CED. 在△EMC和△EDC中， I∠EMC=∠EDC, ∠CEM=∠CED, EC=EC, 所以△EMC≌△EDC(角角边)，所以∠MCE= ∠DCE,MC=DC=AB=1.在Rt△BMC中，因为 BM=VBC2-MCT=V(2):-12=1=MC. 所以△BMC为等腰直角三角形，所以∠BCM=45°， 所以∠MCD=45°，所以∠ECD=22.5°. 2.证明：如图，连接AC交BD于点O. 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以OA=OC,OB=OD.因为BE 0 =DF,所以OE=OF,所以四边形B AECF是平行四边形.又因为∠AEC=90°，所以四边 形AECF为矩形. 3.解：(1)90° (2)相等.证明：因为AD,AE分别平分∠BAC和 ∠BAF,所以∠BAD=2∠BAC,∠BAE=∠BAF,所 以∠DAE=∠BAD+∠BAE=2(∠BAC+∠BAP) =90°.因为BE⊥AE,所以∠AEB=90°.因为AB= AC,AD平分∠BAC,所以∠ADB=90°，所以∠ADB =∠DAE=∠AEB=90°，所以四边形ADBE是矩形， 所以AB=DE. 4.解：(1)证明：因为D是AB的中点， 所以AD-号A服， 因为E是AC的中点，F是BC的中点， 所以EF是△ABC的中位线， 所以EFAB,且EF=号AB,所以EF=AD. 所以四边形ADFE是平行四边形， 所以AF与DE互相平分， (②)当AF=号BC时，四边形ADFE为矩形. 理由：因为线段DE为△ABC的中位线， 所以DE=号BC 又因为AF7BC,所以AP=DE 由(1)，得四边形ADFE是平行四边形， 所以口ADFE为矩形， 周测二(1.3~1.5) 1.D2.C 3.C【解析】A.因为AB∥DC,AB=DC,所以四边形 ABCD是平行四边形.又因为AC=BD,所以四边形 ABCD是矩形.B.因为AB=DC,AC=BD,BC=CB, 所以△ABC≌△DCB(边边边)，所以∠ABC=∠DCB =90°，所以∠ABC+∠DCB=180°，所以AB∥DC.因 为AB=DC,AB∥DC,所以四边形ABCD是平行四 边形.因为∠ABC=90°，所以四边形ABCD是矩形. C.由OA=OC,OB=OD可得四边形ABCD是平行四 边形，但增加条件AB=DC,不能得出四边形ABCD 是矩形.D.因为OA=OC,OB=OD,所以四边形AB CD是平行四边形.又因为∠ABC=90°，所以四边形 ABCD是矩形. 4.D【解析】因为∠C=90,AC= 3,BC=1 所以根据勾股定理，得AB=V√AC+BC=2 3 因为该图形为中心对称图形， 所以BA=B'A,所以BB'=BA+B'A=2BA=4y3 3 5.B【解析】如图，过点C作CE⊥DH于点 E,则∠CEH=∠CED=90°.因为DH⊥ AB,所以∠AHD=∠BHE=90°.又因为 ∠ABC=90°，所以四边形BCEH是矩形， 所以HE=BC=1.在Rt△AHD中，∠A =60°，所以∠ADH=90°-∠A=30°.又因为∠ADC =90°，所以∠CDE=90°-∠ADH=60°，所以∠DCE =90°-∠CDE=30,所以DE-号CD=5,所以DH =HE+DE=1+5=6. 6.①②③④⑤ 7.42【解析】因为四边形ABCD各边中点分别是E,F, G,H,所以EF,FG,GH,HE分别为△ABC,△BCD, △ADC,△ABD的中位线， 所以EP=号AC=2×24=12.GH=合AC=12.FG 1 =2BD=×18=9.HE=5D=9. 所以四边形EFGH的周长为12十9十12十9=42. 8.3s或6s或9s【解析】根据题意可知，当点P到达点 D时，点Q的运动轨迹为C一B一C一B.因为四边形 ABCD是矩形，所以AD∥BC,∠D=90°，所以PD∥ CQ.若PD=CQ,则四边形PQCD是矩形.设运动时 间为ts.由题意，得DP=(12一t)cm.分三种情况讨 论：①当0≤t≤4时，CQ=3tcm,所以12-t=3t,解得 t=3:②当4<t≤8时，CQ=(24-3t)cm,所以12-t =24-3t,解得t=6:③当8<t≤12时，CQ=(3t- 24)cm,所以12-t=3t-24,解得t=9.综上所述，当 运动时间为3s或6s或9s时，以P,Q,C,D四点为顶 点可以组成矩形. 9.解：（答案不唯一）(1)如图①，△ACE即为所求 (2)如图②，四边形ABCD即为所求. (3)如图③，四边形MNPQ即为所求， 下册参考答案 39Λ