1.6.1 菱形的性质-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（湘教版）

又因为BE=DF,所以四边形BFDE是平行四边形 因为DE⊥AB,所以∠DEB=90°， 所以四边形BFDE是矩形， (2)因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB∥DC,AD=BC,所以∠DFA=∠FAB. 在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC=V√FC十FB =√3+4=5，所以AD=BC=DF=5,所以∠DAF =∠DFA, 所以∠DAF=∠FAB,即AF平分∠DAB. 12.解：(1)四边形PECF是矩形.理由如下： 在△ABC中，AC=3,BC=4,AB=5, 所以AC2+BC2=32+42=52=AB2, 所以△ABC是直角三角形，且∠ACB=90° 因为PE⊥AC,PF⊥BC,所以∠PEC=∠CFP =90°， 所以四边形PECF是矩形， (2)CM的长度会改变. 如图，连接PC,过点C作CD ⊥AB于点D. 由(1)，得四边形PECF是矩 形，所以CP,EF互相平分. 因为M是EF的中点， 所以点M在CP上，且是CP的中点，所以CM= 2CP. 当CP=CD,即点P与点D重合时，PC的长度最短， 此时CP=CD=AC:BC=2.4 AB 因为点P在斜边AB上，且不与点A,B重合，所以CP <BC, 所以CP的长度的取值范围是2.4≤CP<4, 所以CM的长度的取值范围是1.2≤CM<2. 1.6菱形 1.6.1菱形的性质 1.B2.C3.A 4.62°【解析】因为点E是菱形ABCD的对称中心，所 以点E是对角线AC,BD的交点.因为四边形ABCD 是菱形，所以AC⊥BD,AC平分∠BAD,BD平分 ∠ABC.因为∠ABC=56°，所以∠ABE=2∠ABC 28°，所以∠BAE=90°-∠ABE=90°-28°=62. 5.3【解析】因为菱形ABCD的周长等于24，所以AD =6.因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.在 R△AOD中，OH为斜边上的中线，所以OH=号AD =3. 6.证明：因为四边形ABCD是菱形， 所以AB=AD,∠B=∠D. 又因为∠AEB=∠AFD,所以△ABE≌△ADF(角角 边)，所以BE=DF. 7.解：如图，连接AC交BD于点O. 因为在菱形ABCD中，∠ABC =120°， 所以∠DAB=∠ADB=∠ABD =60°，所以AB=AD=BD=4, 所以OD=2,OA=√4-2=2√3，所以AC=4√3，所 1 以菱形ABCD的面积=2AC·BD=2X4V3X4= 83. 变式题D【解析】如图，由题意可知AD =10.设AC=12,则A0=2AC=6.在 Rt△AOD中，OD=√JAD'-OAF= √10-6=8，则BD=2OD=2×8=16, 所以这个菱形的面积为2×12×16=96， 8.A【解析】因为四边形ABCD是菱形， 所以CD=CB=5,0D=OB三)BD=4,AC=2OC AC⊥BD.在Rt△COD中，OC=√CD-OD= V6-=3,所以AC=6,因为5B=AC,BD=CB 2 ·AE所以义8-5·AE解得AE- 24 9.4【解析】如图，过点C作CM⊥ AF,交AF的延长线于点M 因为BF:CE=1:2, 所以设BF=x,则CE=2x. 因为E是边CD的中点，所以CD=2CE=4x. 因为四边形ABCD是菱形，所以CD=BC=4x,CE ∥AB. 因为EF⊥AB,CM⊥AB, 所以易得四边形EFMC是矩形， 所以CM=EF=√7，MF=CE=2x,所以BM=3x. 在Rt△BCM中，BM+CM=BC2, 即(3x)2+(√7)2=(4x)2,解得x=1(负值已舍去)， 所以CD=4x=4. 故菱形ABCD的边长是4. 10.解：(1)AB⊥BD. 理由：如图，连接GH. 因为四边形ABCD是平行四 边形，所以AD=BC,AD ∥BC. 因为G,H分别是AD,BC的中点， 所以AG=号AD,BH=2BC,所以AG=BH, 所以四边形AGHB是平行四边形，所以AB∥HG. 下册参考答案 9 因为四边形GEHF是菱形，所以GH⊥EF, 所以AB⊥EF,即AB⊥BD. (2)2【解析】(2)因为AB=2,BD=2AB,所以BD =4.因为E,O,F分别是对角线BD上的四等分点， 所以EO=OF=1,所以EF=2.因为四边形AGHB 是平行四边形，所以GH=AB=2,所以菱形GEHF 的面积=2EF·GH-号×2X2=2 11.证明：(1)连接AC,如图① 因为四边形ABCD是菱形， 所以AB=BC=CD,AB∥CD. 因为∠B=60°， 所以△ABC是等边三角形，∠BCD=180°一∠B =120 因为E是BC的中点，所以AE⊥BC. 因为∠AEF=60°，所以∠FEC=90°-60°=30°， 所以∠EFC=180°-∠BCD-∠FEC=30°， 所以∠FEC=∠EFC,所以CE=CF 又因为BC=CD,所以BC-CE=CD一CF,即BE= DF. 图① 图② (2)连接AC,如图②. 由(1)，得△ABC是等边三角形， 所以AB=AC,∠BAC=∠BAE+∠EAC=60°. 因为∠EAF=∠CAF+∠EAC=6O°，所以∠BAE =∠CAF. 因为四边形ABCD是菱形，∠B=60°， 1 所以∠ACF=2∠BCD=60°=∠B, 所以△ABE≌△ACF(角边角)，所以AE=AF, 又因为∠EAF=60°，所以△AEF是等边三角形. 1.6.2菱形的判定 1.AC=BC(答案不唯一) 2.D变式题AB=CD(答案不唯一) 3.解：赞成小洁的说法.示例：补充的条件为OA=OC 证明：因为OB=OD,OA=OC, 所以四边形ABCD是平行四边形 因为AC⊥BD,所以四边形ABCD是菱形. 4.证明：因为E,F分别为AB,BD的中点， 所以EF=2AD. 同理可证EH=号BC,HG=号AD.FG=2BC. 又因为AD=BC, 所以EF=EH=HG=FG, 所以四边形EFGH是菱形. 410 八年级数学XJ版 5.C【解析】A.四条边相等的四边形是菱形，能判定为 菱形，不符合题意：B.有一组对边平行且相等的四边形 是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形，能判定 为菱形，不符合题意；C.不能判定四边形为菱形，符合 题意；D.两组对边平行的四边形是平行四边形，邻边 相等的平行四边形是菱形，能判定为菱形，不符合 题意. 6.A【解析】如图 因为四边形ABCD为矩形， 所以S△oc=SAOD,OC=OB OA=OD. 因为过点A,C作对角线BD的垂线，过点B,D作对 角线AC的垂线，所以Saoe=S△aw=2OC·BF= 1 2OB·CH=2OD·AE=20A·DG, 所以BF=CH=AE=DG,所以如果用这四条垂线段 拼成一个四边形，那么这个四边形为菱形. 7.AB⊥BC(答案不唯一)【解析】当□ABCD满足AB ⊥BC时，□ABCD是矩形，四边形EHFG是菱形. 因为四边形ABCD是矩形，所以AE∥CF,AB=CD. 因为E是AB的中点，F是CD的中点，所以AE =CF. 所以四边形AECF是平行四边形，所以AF∥CE. 同理可得DE∥BF,所以四边形EHFG是平行四 边形. 因为四边形ABCD是矩形，所以∠ABC=∠DCB =90°. 因为E是AB的中点，F是CD的中点，所以BE =CF BE=CF, 在△EBC和△FCB中，∠EBC=∠FCB, BC=CB, 所以△EBC≌△FCB(边角边)， 所以CE=BF,∠ECB=∠FBC,所以BH=CH, 所以EH=FH,所以四边形EHFG是菱形. 8.解：(1)证明：因为△ABC是等腰三角形， 所以AB=BC,∠A=∠C. 由旋转性质，得A,B=AB=BC,∠A=∠A,=∠C, ∠A,BD=∠CBF=a, 所以△BCF≌△BA,D(角边角). (2)四边形A,BCE是菱形.理由： 因为∠ADE=∠A1DB,∠A1=∠A, 所以∠AED=∠A,BD=a&. 因为∠C=a,所以∠AED=∠C,所以A,E∥BC. 因为∠A=∠C=a,∠A,BD=a, 所以∠A=∠A,BD,所以A1B∥EC, 所以四边形A,BCE是平行四边形. 又因为A,B=BC, 所以四边形ABCE是菱形.1.6菱形 1.6.1菱形的性质 提园 1.菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 2.菱形的性质： (1)菱形的性质定理1：菱形的四条边相等. (2)菱形的性质定理2：菱形的对角线互相垂直. (3)菱形是中心对称图形，对角线的交点是菱形的对称中心；菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都 是它的对称轴 3.菱形的面积：菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半 课内基础练 6.如下图，在菱形ABCD中，点E,F分别在边 知识点①菱形的定义 BC和CD上，且∠AEB=∠AFD.求证： BE=DF. 1.如图，在□ABCD中，AB= 4,BC=6,将线段AB水平 向右平移a个单位长度得 A F 第1题图 到线段EF.当四边形EC DF为菱形时，a的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 知识点②菱形的性质 知识点③ 菱形的面积 2.(2025湘乡期末)已知菱形ABCD的周长是 7.如下图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，对 8,∠A=60°，则最短对角线的长度为( 角线BD=4.求菱形ABCD的面积. A.1 B.3 C.2 D.2√3 3.如图，在菱形ABCD中，对角 线AC,BD相交于点O.若B AB=5,AC=6,则BD的长 C 是 ( ) 第3题图 A.8 B.7 C.4 D.3 4.点E是菱形ABCD的对称中心，∠B=56°， 连接AE,则∠BAE的度数为 5.如图所示，在菱形ABCD 中，对角线AC,BD相交于 变式题已知菱形的周长为40，一条对角 点O,H为AD边的中点.若 线长为12，则这个菱形的面积为 ( 菱形ABCD的周长为24，则 第5题图 A.24 B.47 C.48 D.96 OH的长等于 下册第1章 21 已课外拓展练 核心素养练 8.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC, 11.推理能力如图，在菱形ABCD中，∠B= BD相交于点O,CD=5,BD=8,AE⊥BC 60°，点E在边BC上，点F在边CD上，连 于点E,则AE的长是 ( 接AE,EF,AF. A号 B.6 C48 D.12 图①D 图② (1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF= 第8题图 第9题图 60°，求证：BE=DF 9.如图，在菱形ABCD中，E是边CD的中点， (2)如图②，若∠EAF=60°，求证：△AEF EF垂直AB交AB的延长线于点F.若 是等边三角形， BF:CE=1:2,EF=√7，则菱形ABCD的 边长是 10.如下图，在□ABCD中，对角线AC,BD相 交于点O,G,H分别是AD,BC的中点， E,O,F分别是对角线BD上的四等分点， 顺次连接点G,E,H,F,四边形GEHF是 菱形 (1)线段AB和BD有何位置关系？请说明 理由 (2)若AB=2,BD=2AB,则菱形GEHF 的面积为 2 八年级数学XJ版