1.5.2 矩形的判定-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（湘教版）

=号AC=厅.因为EF上BD,∠AE0=12, 所以∠EDO=30°，所以DE=2OE.在Rt△DOE中， OD+OE2=DE2,即3+OE=4OE2,解得OE=1.由 于矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中 心，所以EF=2OE=2. 10.解：(1)证明：因为四边形ABCD是矩形， 所以AD∥BC,所以∠ADE=∠CED 因为ED平分∠AEC,所以∠AED=∠CED, 所以∠ADE=∠AED,所以AE=AD. (2)因为DF⊥AE,所以∠DFE=∠C=90°. |∠DFE=∠C, 在△DFE和△DCE中，∠FED=∠CED, DE=DE, 所以△DFE≌△DCE(角角边)，所以EC=EF=1, 所以BE=BC-EC=BC-1. 因为∠B=90°，所以AB+BE2=AE2 因为AB=4,AE=AD=BC,所以42+(BC-1) =BC2, 解得BC-号所以BC的长是号 11.解：(1)证明：因为四边形ABCD是矩形， 所以AB∥CD,AB=CD,即MB∥NC. 因为M,N分别是AB,CD的中点， 所以MB= AB,DN=NC=专CD,所以MB 1 =NC, 所以四边形MBCN是平行四边形， 所以MN∥BC,所以∠CBN=∠MNB. 因为∠PNB=3∠CBN, 所以∠PNM=∠PNB-∠MNB=2∠CBN (2)如图，连接AN 因为在矩形ABCD中，AD=BC, ∠D=∠C=90°，DN=CN, 所以△ADN≌△BCN(边角边)， 所以∠DAN=∠CBN. 因为MN∥BC,AD∥BC, 所以MN∥AD,所以∠DAN=∠ANM, 所以∠CBN=∠ANM, 由(1)知∠PNM=2∠CBN, 所以∠PNM=2∠ANM, 所以∠PNA=∠ANM, 所以∠PAN=∠PNA,所以AP=PN. 因为CD=AB=4,所以DN=2CD=2. 设AP=x,则PN=x,PD=6一x. 在Rt△PDN中，PD+DN=PN, 即(6-x)2+2=x2, 解得x=10】 3·厅以专 8 八年级数学XJ版 1.5.2矩形的判定 1.C 2.解：(1)示例：选择①. 证明：因为AB∥CD,AD∥BC,所以四边形ABCD是 平行四边形. 又因为∠ABC=90°，所以四边形ABCD是矩形 (2)因为∠ABC=90°， 所以BC=√AC-AB2=√5-32=4， 所以矩形ABCD的面积为3×4=12. 3.D4.12 5.证明：由折叠的性质可知∠AHE=∠EHD,∠DHG =∠CHG. 因为∠AHE+∠EHD+∠DHG+∠GHC=180°， 所以∠EHD+∠DHG=90°，所以∠EHG=90°. 同理可得∠HEF=90°. 因为EF是△BED的高线， 所以∠EFD=90°，所以四边形EFGH为矩形. ◆一题多解法 因为点E,H分别为△ABC中边AB,AC的 中点， 所以EH∥FG,EH=2BC, 由折叠的性质可知，BF=FD,DG=GC, 所以PG=FD+DG=号BC. 所以EH=FG,所以四边形EFGH为平行四 边形. 因为HG是△DHC的高线， 所以∠HGF=90°，所以四边形EFGH为矩形. 6.D7.2.5 8.B【解析】当□ABCD的面积最大时，AB⊥BC, 所以口ABCD是矩形，所以∠ABC=∠BAD= ∠BCD=90°，AC=BD,OA=OB=OC,所以∠BAD +∠BCD=180°.因为AB=3,BC=4,所以AC= 5 V3+4=5,所以0A=OB=2.因为0A+0B≠ AB,所以∠AOB≠90°，即AC与BD不互相垂直.故 正确的结论是①②④. 9.12 10.证明：因为在□ABCD中，对角线AC,BD相交于点 O,所以OB=OD,OA=OC. 因为AE=CF,所以OE=OF, 所以四边形EBFD是平行四边形. 因为OE=OD, 所以OE=OD=OF=OB,即EF=BD, 所以四边形EBFD是矩形 11.证明：(1)因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB∥CD,BEDF. 又因为BE=DF,所以四边形BFDE是平行四边形 因为DE⊥AB,所以∠DEB=90°， 所以四边形BFDE是矩形， (2)因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB∥DC,AD=BC,所以∠DFA=∠FAB. 在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC=V√FC十FB =√3+4=5，所以AD=BC=DF=5,所以∠DAF =∠DFA, 所以∠DAF=∠FAB,即AF平分∠DAB. 12.解：(1)四边形PECF是矩形.理由如下： 在△ABC中，AC=3,BC=4,AB=5, 所以AC2+BC2=32+42=52=AB2, 所以△ABC是直角三角形，且∠ACB=90° 因为PE⊥AC,PF⊥BC,所以∠PEC=∠CFP =90°， 所以四边形PECF是矩形， (2)CM的长度会改变. 如图，连接PC,过点C作CD ⊥AB于点D. 由(1)，得四边形PECF是矩 形，所以CP,EF互相平分. 因为M是EF的中点， 所以点M在CP上，且是CP的中点，所以CM= 2CP. 当CP=CD,即点P与点D重合时，PC的长度最短， 此时CP=CD=AC:BC=2.4 AB 因为点P在斜边AB上，且不与点A,B重合，所以CP <BC, 所以CP的长度的取值范围是2.4≤CP<4, 所以CM的长度的取值范围是1.2≤CM<2. 1.6菱形 1.6.1菱形的性质 1.B2.C3.A 4.62°【解析】因为点E是菱形ABCD的对称中心，所 以点E是对角线AC,BD的交点.因为四边形ABCD 是菱形，所以AC⊥BD,AC平分∠BAD,BD平分 ∠ABC.因为∠ABC=56°，所以∠ABE=2∠ABC 28°，所以∠BAE=90°-∠ABE=90°-28°=62. 5.3【解析】因为菱形ABCD的周长等于24，所以AD =6.因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.在 R△AOD中，OH为斜边上的中线，所以OH=号AD =3. 6.证明：因为四边形ABCD是菱形， 所以AB=AD,∠B=∠D. 又因为∠AEB=∠AFD,所以△ABE≌△ADF(角角 边)，所以BE=DF. 7.解：如图，连接AC交BD于点O. 因为在菱形ABCD中，∠ABC =120°， 所以∠DAB=∠ADB=∠ABD =60°，所以AB=AD=BD=4, 所以OD=2,OA=√4-2=2√3，所以AC=4√3，所 1 以菱形ABCD的面积=2AC·BD=2X4V3X4= 83. 变式题D【解析】如图，由题意可知AD =10.设AC=12,则A0=2AC=6.在 Rt△AOD中，OD=√JAD'-OAF= √10-6=8，则BD=2OD=2×8=16, 所以这个菱形的面积为2×12×16=96， 8.A【解析】因为四边形ABCD是菱形， 所以CD=CB=5,0D=OB三)BD=4,AC=2OC AC⊥BD.在Rt△COD中，OC=√CD-OD= V6-=3,所以AC=6,因为5B=AC,BD=CB 2 ·AE所以义8-5·AE解得AE- 24 9.4【解析】如图，过点C作CM⊥ AF,交AF的延长线于点M 因为BF:CE=1:2, 所以设BF=x,则CE=2x. 因为E是边CD的中点，所以CD=2CE=4x. 因为四边形ABCD是菱形，所以CD=BC=4x,CE ∥AB. 因为EF⊥AB,CM⊥AB, 所以易得四边形EFMC是矩形， 所以CM=EF=√7，MF=CE=2x,所以BM=3x. 在Rt△BCM中，BM+CM=BC2, 即(3x)2+(√7)2=(4x)2,解得x=1(负值已舍去)， 所以CD=4x=4. 故菱形ABCD的边长是4. 10.解：(1)AB⊥BD. 理由：如图，连接GH. 因为四边形ABCD是平行四 边形，所以AD=BC,AD ∥BC. 因为G,H分别是AD,BC的中点， 所以AG=号AD,BH=2BC,所以AG=BH, 所以四边形AGHB是平行四边形，所以AB∥HG. 下册参考答案 91.5.2矩形的判定 要闾提园 1.定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形， 2.矩形的判定定理1：三个角是直角的四边形是矩形. 3.矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 已课内基础练 C.测量一组对角是否为直角 知识点① 有一个角是直角的平行四边形是 D.测量四边形的其中三个角是否都为直角 4.如图，∠O=90°，∠O内的某A 矩形 一点P到这个角两边的距离 1.如图，已知四边形ABCD 之和为6，则图中四边形的周 是平行四边形，添加下列条 B 长为 第4题图 件，能判定平行四边形AB 第1题图 5.一题多解法如下图，在△ABC纸片中，点 CD是矩形的是 E,H分别为边AB,AC的中点.将△ABC A.∠A+∠B=180°B.∠B+∠C=180° 沿EH折叠，使点A的对称点D落在边BC C.∠A=∠B D.∠B=∠D 上，再将纸片分别沿△BED和△DHC底边 2.条件开放题如下图，四边形ABCD的对角 上的高线EF,HG折叠，折叠后的三个三角 线AC与BD相交于点O,AD∥BC,∠ABC 形刚好（无重叠）拼成一个四边形EFGH.求 =90°.有下列条件：①AB∥CD,②AD 证：四边形EFGH为矩形. =BC. (1)请从以上①②中任选一个作为条件，求 证：四边形ABCD是矩形 (2)在(1)的条件下，若AB=3,AC=5,求四 D 边形ABCD的面积. 知识点③ 对角线相等的平行四边形是矩形 6.(2025娄底双峰期中)已知四边形ABCD是 平行四边形，下列条件中，不能判定 知识点②三个角是直角的四边形是矩形 □ABCD为矩形的是 3.数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形 A.∠A=90 B.∠B=∠C 门框是否为矩形.下面是某合作学习小组的4 C.AC=BD D.AC⊥BD 位同学拟定的方案，其中正确的是( 7.四边形ABCD的对角线相交于点O,且OA A.测量对角线是否互相平分 OB=OC=2.5,则当OD的长为 B.测量对角线是否相等 时，四边形ABCD是矩形. 下册第1章 19 巴课外拓展练 (2)若CF=3,BF=4,DF=5,求证：AF平 8.在□ABCD中，AB=3,BC=4,AC,BD相 分∠DAB. 交于点O.当口ABCD的面积最大时，下列 结论正确的是 ①AC=5;②∠BAD+∠BCD=180°；③AC ⊥BD;④AC=BD. A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 核心素养练 9.（教材变式)如图，在四边形 12.推理能力如右图，已 ABCD中，对角线AC⊥BD,垂 知在△ABC中，AC= 足为O,E,F,G,H分别为边 3,BC=4,AB=5,P AD,AB,BC,CD的中点.若 第9题图 是边AB上一点（不与点A,B重合）.过点 AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积为 P作PE⊥AC,PF⊥BC,垂足分别是E, F,连接EF,M是EF的中点，连接MC 10.如下图，在□ABCD中，对角线AC,BD相 (1)判断四边形PECF的形状，并说明理由. 交于点O,点E,F在对角线AC上，且AE (2)随着点P在边AB上位置的改变，CM =CF,OE=OD.求证：四边形EBFD是 的长度是否也会改变？若不会改变，请你 矩形. 求出CM的长度；若会改变，请你求出CM 的长度的取值范围. 11.如下图，在□ABCD中，过点D作DE⊥ AB于点E,点F在边CD上，DF=BE,连 接AF,BF. (1)求证：四边形BFDE是矩形， 420 八年级数学X」版