1.5.1 矩形的性质-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（湘教版）

又因为AC+BD=24cm,所以OA十OB=12cm. 因为△OAB的周长是18cm,所以AB=6cm. 因为E,F分别是线段AO,BO的中点， 所以EF是△OAB的中位线，所以EF=号AB= 3 cm. 5.解：(1)证明：因为D,E,F分别是AC,AB,BC的 中点， 所以DE,DF为△ABC的中位线， 所以DE∥BC,DF∥AB, 所以四边形EBFD是平行四边形，所以OE=OF. (2)BD=EF.理由如下： 因为D是AC的中点，∠ABC=90°，所以BD= 1 C. 因为E,F分别是AB,BC的中点，所以EF= 所以BD=EF. 6.C 7.A【解析】因为E,F分别是AP,RP的中点，所以EF =2AR.因为当点P从点B向点C移动，点R从点D 向点C移动（点P,R与点C不重合）时，AR的长度逐 渐增大，所以线段EF的长逐渐增大.S四边形AR= Sm边形ABCD一S△ADR,因为DR随着点R的运动逐渐增 大，所以S△ADR逐渐增大，所以S网边形ABR逐渐减小. 8.2一【解析】记原来三角形的面积为S,第一个小三 角形的面积为S1,第二个小三角形的面积为S2,… 1 11 2·S,,所以S.=2·S=2X2×2X2 1 =2 9.证明：因为△EFG为等边三角形，所以EG=FG. 因为E,F分别是对角线AC,BD的中点，G为BC的 中点，所以EG是△CBA的中位线，FG是△BCD的 中位线，所以CD=2FG,AB=2EG,所以CD=AB, 所以四边形ABCD是“等对边四边形” 10.解：(1)证明：延长AF交BC于点M,延长AG交BC 于点N,如图①.因为AF⊥BD,所以∠AFB= ∠MFB.因为BD是△ABC的外角平分线，所以 ∠ABF=∠MBF. (∠AFB=∠MFB, 在△ABF和△MBF中，BF=BF, ∠ABF=∠MBF, 所以△ABF≌△MBF(角边角)， 所以MB=AB,AF=MF 同理可得CN=AC,AG=NG, 所以FG是△AMN的中位线，所以FG=2MN= 1 1 (MB+BC+CN)=(AB+BC+AC). 图① 图② (2)猜想：FG=2(AB+AC-BC). 证明：如图②，延长AG,AF,分别与直线BC相交于 点M,N.同(1)可证得△ABF≌△NBF, 所以NB=AB,AF=NF 同理可得MC=AC,AG=MG, 所以FG=2MN,所以MN=2FG, 所以BC=BN+MC-MN=AB+AC-2FG, 所以FG=2(AB+AC-BC). 1.5矩形 1.5.1矩形的性质 1.(2)平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行 四边形 (3)矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形 2.C3.B 4.2√5【解析】因为在矩形ABCD中，AB=4,AD=6, 所以BC=AD=6,∠A=∠ABC=90. 因为BE=BC,所以BE=6,所以AE=√BE-AB =2√5. 因为CF⊥BE,∠ABC=90°， 所以∠BFC=∠A=90°，∠ABE=90°-∠EBC=∠FCB. ∠A=∠BFC, 在△ABE和△FCB中，∠ABE=∠FCB, BE=CB. 所以△ABE≌△FCB(角角边)，所以BF=EA=2√5. 5.解：因为四边形ABCD是矩形， 所以CD=AB=6,AC=BD,∠BCD=90°. 又因为∠DBC=30°，所以BD=2CD=2×6=12, 所以AC=12. 6.47.B 8.D【解析】在矩形ABCD中，∠ADC=90°，OC=OD. 因为∠ADE：∠EDC=3:2,∠ADE+∠EDC=90°， 所以∠EDC=36° 因为DE⊥AC,所以∠DCE=90°-36°=54°. 因为OC=OD,所以∠ODC=∠OCD=54°， 所以∠BDE=∠BDC-∠EDC=54°-36°=18°. 9.2【解析】根据矩形的对角线互相平分且相等，得OD 下册参考答案 (⑦△ =号AC=厅.因为EF上BD,∠AE0=12, 所以∠EDO=30°，所以DE=2OE.在Rt△DOE中， OD+OE2=DE2,即3+OE=4OE2,解得OE=1.由 于矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中 心，所以EF=2OE=2. 10.解：(1)证明：因为四边形ABCD是矩形， 所以AD∥BC,所以∠ADE=∠CED 因为ED平分∠AEC,所以∠AED=∠CED, 所以∠ADE=∠AED,所以AE=AD. (2)因为DF⊥AE,所以∠DFE=∠C=90°. |∠DFE=∠C, 在△DFE和△DCE中，∠FED=∠CED, DE=DE, 所以△DFE≌△DCE(角角边)，所以EC=EF=1, 所以BE=BC-EC=BC-1. 因为∠B=90°，所以AB+BE2=AE2 因为AB=4,AE=AD=BC,所以42+(BC-1) =BC2, 解得BC-号所以BC的长是号 11.解：(1)证明：因为四边形ABCD是矩形， 所以AB∥CD,AB=CD,即MB∥NC. 因为M,N分别是AB,CD的中点， 所以MB= AB,DN=NC=专CD,所以MB 1 =NC, 所以四边形MBCN是平行四边形， 所以MN∥BC,所以∠CBN=∠MNB. 因为∠PNB=3∠CBN, 所以∠PNM=∠PNB-∠MNB=2∠CBN (2)如图，连接AN 因为在矩形ABCD中，AD=BC, ∠D=∠C=90°，DN=CN, 所以△ADN≌△BCN(边角边)， 所以∠DAN=∠CBN. 因为MN∥BC,AD∥BC, 所以MN∥AD,所以∠DAN=∠ANM, 所以∠CBN=∠ANM, 由(1)知∠PNM=2∠CBN, 所以∠PNM=2∠ANM, 所以∠PNA=∠ANM, 所以∠PAN=∠PNA,所以AP=PN. 因为CD=AB=4,所以DN=2CD=2. 设AP=x,则PN=x,PD=6一x. 在Rt△PDN中，PD+DN=PN, 即(6-x)2+2=x2, 解得x=10】 3·厅以专 8 八年级数学XJ版 1.5.2矩形的判定 1.C 2.解：(1)示例：选择①. 证明：因为AB∥CD,AD∥BC,所以四边形ABCD是 平行四边形. 又因为∠ABC=90°，所以四边形ABCD是矩形 (2)因为∠ABC=90°， 所以BC=√AC-AB2=√5-32=4， 所以矩形ABCD的面积为3×4=12. 3.D4.12 5.证明：由折叠的性质可知∠AHE=∠EHD,∠DHG =∠CHG. 因为∠AHE+∠EHD+∠DHG+∠GHC=180°， 所以∠EHD+∠DHG=90°，所以∠EHG=90°. 同理可得∠HEF=90°. 因为EF是△BED的高线， 所以∠EFD=90°，所以四边形EFGH为矩形. ◆一题多解法 因为点E,H分别为△ABC中边AB,AC的 中点， 所以EH∥FG,EH=2BC, 由折叠的性质可知，BF=FD,DG=GC, 所以PG=FD+DG=号BC. 所以EH=FG,所以四边形EFGH为平行四 边形. 因为HG是△DHC的高线， 所以∠HGF=90°，所以四边形EFGH为矩形. 6.D7.2.5 8.B【解析】当□ABCD的面积最大时，AB⊥BC, 所以口ABCD是矩形，所以∠ABC=∠BAD= ∠BCD=90°，AC=BD,OA=OB=OC,所以∠BAD +∠BCD=180°.因为AB=3,BC=4,所以AC= 5 V3+4=5,所以0A=OB=2.因为0A+0B≠ AB,所以∠AOB≠90°，即AC与BD不互相垂直.故 正确的结论是①②④. 9.12 10.证明：因为在□ABCD中，对角线AC,BD相交于点 O,所以OB=OD,OA=OC. 因为AE=CF,所以OE=OF, 所以四边形EBFD是平行四边形. 因为OE=OD, 所以OE=OD=OF=OB,即EF=BD, 所以四边形EBFD是矩形 11.证明：(1)因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB∥CD,BEDF.1.5矩形 1.5.1矩形的性质 点提园 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，也称为长方形. 2.矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角」 矩形的性质定理2：矩形的对角线相等. 3.矩形的对称性：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；矩形是轴对称图形，过每一组对边 中点的直线都是矩形的对称轴. 已课内基础练 知识点① 矩形的定义 1.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤 第2题图 第3题图 3.(2025洪江期中)如图，在矩形ABCD中，对 进行： 角线AC与BD相交于点O.已知∠BAC= 35°，则∠BOC的度数是 E G A.65° B.70 C.759 D.80° 图① 图② 图③ 图④ 4.如图，在矩形ABCD中，AB (1)先截出两对符合规格的铝合金窗料（如 =4,AD=6.在边AD上取 图①)，使AB=CD,EF=GH 一点E,使BE=BC,过点C (2)摆放成如图②所示的四边形，则这时窗 作CF⊥BE,垂足为F,则 第4题图 框的形状是 ,依据的数 BF的长为 学原理是 5.如下图，在矩形ABCD中，已知AB=6, ∠DBC=30°，求AC的长 (3)将直角尺紧靠窗框的一个角（如图③）， 0 调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与 30° 窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这 时窗框的形状是 ,依据的数学 原理是 知识点③ 矩形的对称性 知识点② 矩形的性质 6.转化思想如图，矩形ABCD 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相 的对角线AC,BD相交于点O, 交于点O,则下列结论一定正确的是( 过点O的直线分别交AD,BC 第6题图 A.AB=AD B.AC⊥BD 于点E,F.若AB=2,BC=4,则图中阴影部 C.AC=BD D.∠ACB=∠ACD 分的面积为 下册第1章 已课外拓展练 核心素养练 7.如图，在矩形ABCD中，AB=2,AE垂直平 11.推理能力如下图，在矩形ABCD中，AB= 分OB于点E,则BC的长为 ( 4,AD=6,M,N分别是AB,CD的中点， A.2√/5 B.23 连接MN,P是AD上的点，且∠PNB= C.4 D.2 3/CBN. (1)求证：∠PNM=2∠CBN. (2)求线段AP的长. 第7题图 第8题图 8.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E, 且∠ADE:∠EDC=3:2,则∠BDE的度 数为 A.36 B.9° C.27 D.18° 9.(教材变式)如图，矩形 A ABCD的对角线AC与BD 相交于点O,过点O作BD 的垂线分别交AD,BC于E, 第9题图 F两点.若AC=2√3，∠AEO=120°，则EF 的长为 10.如下图，在矩形ABCD中，E是BC上 点，连接AE,DE,ED平分∠AEC (1)求证：AE=AD. (2)过点D作DF⊥AE于点F,若AB=4, EF=1,求BC的长， 个18 八年级数学XJ版