专题02 圆柱圆锥的认识及展开图、包装问题六大类型（易错专项训练）数学苏教版六年级下册

专题02 圆柱圆锥的认识及展开图、包装问题六大类型易错专项训练 易错专项训练一 圆柱的特点及认识 易错专项训练二 圆锥的特点及认识 易错专项训练三 旋转问题（圆柱圆锥） 易错专项训练四 圆柱的展开图 易错专项训练五 蛋糕捆绳问题 易错专项训练六 包装问题 易错专项训练一圆柱的特点及认识 1．一个长方体仓库从里面量长26m，宽8m，高6m。仓库最多可以放（    ）个底面半径是1.5m、高是3m的圆柱形油桶。 A．46 B．40 C．32 D．31 【答案】C 【分析】先计算圆柱形油桶的底面直径，再分别确定仓库底面长，宽方向能摆放的油桶数量，以及高度方向能摆放的层数，最后计算总数量。 圆柱形油桶的底面是圆形，已知半径为1.5米，根据直径与半径的关系：直径＝半径×2，可求出底面直径，即米；仓库底面长为26米，油桶底面直径为3米，用仓库长度除以油桶底面直径，商即为长方向可摆放的数量（余数部分不够再放一个，舍去）即 （个）（米），取整数部分为8个； 仓库底面宽为8米，油桶底面直径为3米，用仓库宽度除以油桶底面直径，商即为宽方向可摆放的数量（余数部分不够再放一个，舍去）即（个）（米），取整数部分为2个； 油桶竖放，其高度为3米，仓库高度为6米，用仓库高度除以油桶高度，得到可摆放的层数，即（层）；再计算每层可摆放的油桶数量等于长方向摆放数量乘以宽方向摆放数量，即（个），最后计算总数量等于每层摆放数量乘以层数，即（个），据此解答。 【解答】由分析可知，一个长方体仓库从里面量长26m，宽8m，高6m。仓库最多可以放32个底面半径是1.5m、高是3m的圆柱形油桶。 故答案为：C 【点评】分别确定仓库底面长，宽方向能摆放的油桶数量，以及高度方向能摆放的层数，是解题的关键。 2．一个高是6厘米的圆柱，从正面看正好是一个正方形，说明这个圆柱的（    ）也是6厘米。 A．底面周长 B．底面直径 C．底面半径 D．无法确定 【答案】B 【分析】圆柱从正面看，看到的图形一般是长方形（特殊情况是正方形），长方形的一边长度为圆柱的高，另一边长度为圆柱底面直径（当圆柱的高和底面直径相等时，看到的是正方形）。 【解答】圆柱从正面看正好是一个正方形，意味着圆柱的高和从正面看到的图形的另一条边长度相等，圆柱的高是6厘米，而从正面看到的图形的另一条边长度就是圆柱的底面直径。所以这个圆柱的底面直径也是6厘米。 故答案为：B 3．如图，圆柱①和圆柱②都从点A滚动到点B，圆柱①正好滚动4圈，圆柱②正好滚动3圈，圆柱①的底面半径是9厘米，则圆柱②的底面半径是（    ）厘米。 A．6 B．12 C．15 D．4 【答案】B 【分析】圆柱从点A滚动到点B，滚动的距离就是A、B之间的长度，且滚动距离＝圆柱底面周长×滚动圈数。圆柱①的底面半径为9厘米，滚动圈数4；根据圆的周长公式C＝2πr（π取3.14），圆柱①的底面周长2×3.14×9＝56.52厘米。因为圆柱①滚动4圈的距离就是A、B之间的距离S，所以A、B的距离是56.52×4＝226.08厘米。 圆柱②滚动3圈的距离也是226.08厘米，那么圆柱②的底面周长为226.08÷3＝75.36厘米。根据r＝C÷（2π）（C＝75.36厘米，π取3.14），把数据代入公式即可求得圆柱②的底面半径。 【解答】圆柱①的底面周长：2×3.14×9＝56.52厘米 A、B之间的距离：56.52×4＝226.08厘米 圆柱②的底面周长：226.08÷3＝75.36厘米 圆柱②的半径： 75.36÷（2×3.14） ＝75.36÷6.28 ＝12（厘米） 所以圆柱②的底面半径是12厘米。 故答案为：B 4．从正面观察一个圆柱，看到的是一个边长为6厘米的正方形，则这个圆柱的高与底面周长的比是（    ）。 A．1∶1 B．π∶2 C．π∶1 D．1∶π 【答案】D 【分析】从正面观察一个圆柱，看到的是一个边长为6厘米的正方形，说明这个圆柱的高与底面直径都是6厘米。根据圆的周长公式：C＝πd，求出圆柱的底面周长，再求出圆柱的高与底面周长的比。注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数。 【解答】6∶π×6 ＝6∶6π ＝（6÷6）∶（6π÷6） ＝1∶π 则这个圆柱的高与底面周长的比是1∶π。 故答案为：D 5．1包饼干包装后为圆柱形，将12包这种饼干放入一个长24cm，宽18cm的长方体纸盒内（如图）。每包饼干的底面直径是（    ）cm。 A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】由图可知三个圆柱的底面直径之和为18cm，所以每个圆柱的底面直径为：（cm），据此解答。 【解答】由分析可知： （cm） 所以每包饼干的底面直径是6cm。 故答案为：B 易错专项训练二圆锥的特点及认识 6．下图是等底等高的圆柱和圆锥，从不同方向看，会看到不同的形状。从上面看到的形状是（    ），从左面看到的形状是（    ）。 ①   ②  ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】单独观察圆柱时，从侧面看到是一个长方形或正方形，从上下面看到的是两个相同的圆形；单独观察圆锥时，从侧面看到是一个三角形，从上面看到一个有圆心的圆形，从下面看到一个圆形；题中，圆柱在左，圆锥在右，所以，从上面看到的形状是：左边是一个无圆心的圆形，右边是一个有圆心的圆形；从左面看，圆柱挡住了圆锥，所以只能看到一个长方形；据此解答。 【解答】题中，圆柱在左，圆锥在右，所以，从上面看到的形状是：左边是一个无圆心的圆形，右边是一个有圆心的圆形，选②符合；从左面看，圆柱挡住了圆锥，所以只能看到一个长方形，选③符合； 故答案为：B 7．海海用如图所示的方法测量圆锥，量出长度是6cm，可见圆锥的高（    ）。 A．等于6cm B．大于6cm C．小于6cm D．无法确定 【答案】C 【分析】根据圆锥的高的含义：从圆锥顶点到底面圆心的距离就是圆锥的高；并结合圆锥高的测量方法进行解答即可。 【解答】如图，圆锥的高是指顶点到圆心的距离，因此图示中的圆锥的高要小于6cm。 故答案为：C 8．如下图所示的圆锥，从前面看到的图是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆锥的特征可知：圆锥有一个顶点，两个面，曲面叫做圆锥的侧面，下面是一个圆形，叫做圆锥的底面。从前面或侧面观察圆锥，看到的都是一个等腰三角形，从上面看到的是一个圆，据此即可解答。 【解答】 根据分析可知，圆锥从前面看到的图是。 故答案为：C 9．将一个圆锥如图所示切开，剖面一定是一个（    ）三角形。 A．等边 B．直角 C．锐角 D．等腰 【答案】D 【分析】圆锥是由一个底面（圆）和一个曲面（侧面）组成的；圆锥从顶点到底面圆心的距离就是圆锥的高；当我们沿着圆锥的高把它切开时，切面会经过圆锥的顶点和底面圆上的两个点，这样就形成了一个三角形；圆锥的顶点到底面圆周上的任意一点的距离相等，也就是说形成的三角形的两条边相等，即剖面是有两条边相等的三角形，这样的三角形是等腰三角形。 【解答】由分析可知：将一个圆锥如图所示切开，剖面一定是一个等腰三角形。 故答案为：D 10．一个圆锥形容器的侧面展开如图，现给它配上一个底，配上的圆锥底面半径应为（    ）厘米。 A．2 B．3 C．18 D．18.84 【答案】B 【分析】圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面周长，所以根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，求出侧面展开图的半圆的弧长，也就是圆锥的底面周长；再根据半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆锥的底面半径，据此解答。 【解答】3.14×6×2÷2 ＝18.84×2÷2 ＝37.68÷2 ＝18.84（厘米） 18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（厘米） 一个圆锥形容器的侧面展开如图，现给它配上一个底，配上的圆锥底面半径应为3厘米。 故答案为：B 易错专项训练三旋转问题（圆柱圆锥） 11．以长方体的长所在的直线为轴旋转一周，就得到一个（    ）。 A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．以上都有可能 【答案】B 【分析】圆柱的特征：有两个底面，是圆形，一个侧面，是曲面；以长方形的一条边所在的直线为轴，把长方形旋转一周可以得到一个圆柱。 【解答】以长方体的长所在的直线为轴旋转一周，就得到一个圆柱。 故答案为：B 12．如图，将四边形绕边所在的直线旋转一周，形成的图形是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】圆锥是绕着直角三角形直角边旋转一周； 圆柱是由长方形绕着长或者宽所在的直线旋转一周 【解答】四边形ABCD是由长方形和直角三角形组成，则旋转一周的立体图形就是圆柱和圆锥的组合体。 故答案为：A 13．在数学课上，老师向学生们展示了如何通过旋转一个长方形来创建一个三维形状，他们可以得到一个（    ）。 A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．长方体 【答案】A 【分析】我们知道，点运动构成线，线运动构成面，而面运动构成体，以长方形或正方形的一边为轴，旋转一周，长方形或正方形的另外两个顶点绕轴旋转构成两个等圆，这两个圆面是圆柱的两个底，与轴平行的一边构成一个曲面，这就是圆柱的侧面，长方形或正方形这个面就构成圆柱；以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；通过旋转一个圆可以得到球，据此分析。 【解答】根据分析，一个长方形绕其一条边旋转一周，可以得到一个圆柱。 故答案为：A 14．下图中，以直线为轴旋转一周，可以得出圆柱体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以长方形或正方形的一边所在的直线为轴旋转一周，由于长方形或正方形的特征，它的上、下两个面是以长方形或正方形的另一条边为半径的两个完全一样的圆，与轴平行的一边通过旋转形成一个曲面，这样就得到一个圆柱，据此解答。 【解答】 根据分析可知，以直线为轴旋转一周，可以得出圆柱体的是。 故答案为：C 15．下列小棒上都粘有一定形状的纸板。以小棒为轴旋转一周，能形成圆柱的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】长方形或正方形绕一边旋转一周得到一个圆柱，由此解答即可。 【解答】 以小棒为轴旋转一周，能形成圆柱的是。 故答案为：C 【点评】此题主要考查面动成体的意义及在实际当中的运用。 易错专项训练四圆柱的展开图 16．下面（    ）图形是圆柱的展开图。（单位：cm） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形（特殊情况下是正方形），长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高；已知圆柱的底面直径或半径，根据圆柱的底面周长公式C＝πd，代入数据计算求出底面周长，再与长方形的长相比较，如果相等，就是圆柱的展开图；反之，如果不相等，就不是圆柱的展开图。 【解答】A．3×3.14＝9.42（cm），是圆柱的展开图； B．4×3.14＝12.56（cm），不是圆柱的展开图； C．2×3.14＝6.28（cm），不是圆柱的展开图； D．3×2×3.14 ＝6×3.14 ＝18.84（cm），不是圆柱的展开图。 故答案为：A 17．某工厂生产了一种饮料桶，尺寸如图所示（单位：厘米）。下面有三种饮料桶侧面的商标纸，你认为哪种纸与饮料桶侧面积最接近？（    ） A． B． C． D．以上都可以 【答案】C 【分析】圆柱侧面沿高展开得到一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高；将已知数据代入圆的周长公式：C＝πd求出底面周长（也就是长方形的长），再结合选项选择即可。 【解答】3.14×8＝25.12（厘米） 饮料桶侧面沿高展开是一个长25.12厘米，宽12厘米的长方形，观察各选项可知：与饮料桶侧面展开最接近，也就是与饮料桶侧面积最接近。 故答案为：C 18．如图，笑笑准备用长方形硬纸板做一个无盖笔筒的侧面，她可以选用（    ）作底面。（单位：cm，接缝处忽略不计） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】用长方形硬纸板做一个无盖笔筒的侧面，长方形硬纸板的长和宽都可以是圆柱形或长方体笔筒的底面周长，根据圆柱底面周长＝圆周率×直径＝2×圆周率×半径，正方形的周长＝边长×4，分别计算出4个底面的底面周长，等于长方形硬纸板的长或宽即可。 【解答】①2×3.14×4＝25.12（cm） ②3.14×4＝12.56（cm） ③3.14×4＝12.56（cm） ④2×3.14×3＝18.84（cm） 她可以选用②③④作底面。 故答案为：C 19．设计后港古街灯笼。 灯笼为圆柱形，底面直径25厘米，高40厘米，在方格纸上画出侧面展开图，标出长和宽（或底和高）。 （1格代表10cm） 【答案】见详解 【分析】已知圆柱体底面直径25cm，可求出底面半径为12.5cm,根据圆的周长，可求出底面圆周长为cm，约等于78.5cm，圆柱体的侧面展开图的长和宽分别为圆柱体的底面周长和高，即可画出圆柱体的侧面展开图。 【解答】作图如下： 20．在下面的方格图中画出圆柱的展开图。（每个小方格的边长均为1厘米） 【答案】图见详解 【分析】题目给出的圆柱的底面直径是3厘米，高是3厘米，圆柱的展开图上、下底面是直径是3厘米的圆，侧面沿高展开得到的长方形，长是底面周长（3×3.14）厘米，宽是圆柱的高3厘米，据此作图。 【解答】3.14×3＝9.42（厘米） 作图如下： 易错专项训练五蛋糕捆绳问题 21．用彩带捆扎一个圆柱形蛋糕盒（如图），打结处正好是底面圆心，打结用去彩带28厘米。捆扎这个蛋糕盒至少要用彩带多少厘米？合多少米？    【答案】468厘米；4.68米 【分析】由图可知：所用彩带的长＝圆柱直径×8＋高×8＋打结处的长度，代入数据计算即可。 【解答】40×8＋15×8＋28 ＝320＋120＋28 ＝468（厘米） 468厘米＝4.68米 答：捆扎这个蛋糕盒至少要用彩带468厘米，合4.68米。 【点评】本题主要考查圆柱的特征，明确有几条直径、几条高是解题的关键。 22．用塑料绳捆扎一个圆柱形的蛋糕盒（如图），打结处正好是底面圆心，打结用去绳子12厘米。扎这个盒子至少用塑料绳多少厘米？ 【答案】252厘米 【分析】由图可知：塑料绳的长度等于4条直径＋4条高＋打结用去的长度；据此解答。 【解答】40×4＋20×4＋12 ＝160＋80＋12 ＝252（厘米） 答：扎这个盒子至少用塑料绳252厘米。 【点评】本题主要考查圆柱的特征，明确有几条直径、几条高是解题的关键。 23．用丝带捆扎一个圆柱形的蛋糕盒（如图），打结处正好是底面圆心，打结处用去丝带20厘米。捆扎这个蛋糕盒一共用去丝带多少厘米？ 【答案】380厘米 【分析】观察图形，发现用去丝带的长度就是4个高和4个直径的长度的和再加上20厘米。 【解答】 （厘米） 答：捆扎这个蛋糕盒一共用去丝带380厘米。 易错专项训练六包装问题 24．要用一个长方体纸箱包装12瓶圆柱形橙汁罐，每个橙汁罐的底面直径是6厘米，高是10厘米，纸箱的长、宽、高各可以是多少？请画出纸箱草图，并说明怎样放置橙汁罐。 【答案】24cm，18cm，高10cm；见详解，沿着宽摆3行橙汁罐，沿着长摆4列橙汁罐。 【分析】12瓶橙汁罐如果摆成两层,那么每层6瓶,放起来就比较高,容易倒；因此建议直接摆成一层,一层的话,那么最好的就是摆成3行4列,长是4瓶橙汁罐的直径,宽是3瓶橙汁罐的直径,高就是橙汁罐的高；因此纸箱的长24cm、宽18cm、高10cm；根据长宽高画出长方体纸箱。 【解答】6×4=24（厘米） 6×3=18（厘米） 10×1=10（厘米） 沿着宽摆3行橙汁罐，沿着长摆4列橙汁罐。 25．每节电池底面半径为2.5厘米，高为5厘米。六节电池一组放在一个长方体包装盒里，做这个包装盒至少需要多少平方厘米硬纸板？ 【答案】550平方厘米 【分析】根据题意，六节电池一组放在一个长方体包装盒里，那么这个长方体包装盒的长等于三节电池的直径和，宽等于两节电池的直径和，高等于一节电池的直径； 求做这个包装盒至少需要硬纸板的面积，就是求长方体的表面积；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算求解。 【解答】长： 2.5×2×3＝15（厘米） 宽： 2.5×2×2＝10（厘米） （15×10＋15×5＋10×5）×2 ＝（150＋75＋50）×2 ＝275×2 ＝550（平方厘米） 答：做这个包装盒至少需要550平方厘米硬纸板。 26．一种圆柱形的饮料罐，底面直径7厘米，高12厘米。将24罐这样的饮料放入一个长方体的纸箱。 （1）这个长方体的纸箱的长、宽、高至少各是多少厘米？ （2）这个纸箱的容积至少是多少？ （3）做一个这样的纸箱，至少要用硬纸板多少平方厘米？（纸箱盖和箱底的重叠部分按2000平方厘米计算） 【答案】（1）长42厘米；宽28厘米；高12厘米 （2）14112立方厘米 （3）6032平方厘米 【分析】（1）根据题意得：要求纸箱最小的尺寸，可将饮料罐放4排，每排6瓶。则长方体的长是6个圆柱体的底面直径；长方体的宽是4个圆柱体的底面直径；长方体的高等于圆柱体的高，据此得出答案。 （2）根据长方体的体积公式：，代入数据计算即可求解。 （3）依据长方体的表面积公式：，再加上重叠部分的2000平方厘米，代入数据计算即可求解。 【解答】（1）长方体的长是：（厘米）， 长方体的宽是：（厘米），高是12厘米。 答：这个纸箱的长、宽、高至少各是42厘米，28厘米，12厘米。 （2）长方体体积为：（立方厘米）。 答：这个纸箱的容积至少是14112立方厘米。 （3） （平方厘米） 答：做一个这样的纸箱，至少要用硬纸板6032平方厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆柱圆锥的认识及展开图、包装问题六大类型易错专项训练 易错专项训练一 圆柱的特点及认识 易错专项训练二 圆锥的特点及认识 易错专项训练三 旋转问题（圆柱圆锥） 易错专项训练四 圆柱的展开图 易错专项训练五 蛋糕捆绳问题 易错专项训练六 包装问题 易错专项训练一圆柱的特点及认识 1．一个长方体仓库从里面量长26m，宽8m，高6m。仓库最多可以放（    ）个底面半径是1.5m、高是3m的圆柱形油桶。 A．46 B．40 C．32 D．31 2．一个高是6厘米的圆柱，从正面看正好是一个正方形，说明这个圆柱的（    ）也是6厘米。 A．底面周长 B．底面直径 C．底面半径 D．无法确定 3．如图，圆柱①和圆柱②都从点A滚动到点B，圆柱①正好滚动4圈，圆柱②正好滚动3圈，圆柱①的底面半径是9厘米，则圆柱②的底面半径是（    ）厘米。 A．6 B．12 C．15 D．4 4．从正面观察一个圆柱，看到的是一个边长为6厘米的正方形，则这个圆柱的高与底面周长的比是（    ）。 A．1∶1 B．π∶2 C．π∶1 D．1∶π 5．1包饼干包装后为圆柱形，将12包这种饼干放入一个长24cm，宽18cm的长方体纸盒内（如图）。每包饼干的底面直径是（    ）cm。 A．4 B．6 C．9 D．12 易错专项训练二圆锥的特点及认识 6．下图是等底等高的圆柱和圆锥，从不同方向看，会看到不同的形状。从上面看到的形状是（    ），从左面看到的形状是（    ）。 ①   ②  ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 7．海海用如图所示的方法测量圆锥，量出长度是6cm，可见圆锥的高（    ）。 A．等于6cm B．大于6cm C．小于6cm D．无法确定 8．如下图所示的圆锥，从前面看到的图是（    ）。 A． B． C． D． 9．将一个圆锥如图所示切开，剖面一定是一个（    ）三角形。 A．等边 B．直角 C．锐角 D．等腰 10．一个圆锥形容器的侧面展开如图，现给它配上一个底，配上的圆锥底面半径应为（    ）厘米。 A．2 B．3 C．18 D．18.84 易错专项训练三旋转问题（圆柱圆锥） 11．以长方体的长所在的直线为轴旋转一周，就得到一个（    ）。 A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．以上都有可能 12．如图，将四边形绕边所在的直线旋转一周，形成的图形是（    ）。 A． B． C． 13．在数学课上，老师向学生们展示了如何通过旋转一个长方形来创建一个三维形状，他们可以得到一个（    ）。 A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．长方体 14．下图中，以直线为轴旋转一周，可以得出圆柱体的是（    ）。 A． B． C． D． 15．下列小棒上都粘有一定形状的纸板。以小棒为轴旋转一周，能形成圆柱的是（    ）。 A． B． C． D． 易错专项训练四圆柱的展开图 16．下面（    ）图形是圆柱的展开图。（单位：cm） A． B． C． D． 17．某工厂生产了一种饮料桶，尺寸如图所示（单位：厘米）。下面有三种饮料桶侧面的商标纸，你认为哪种纸与饮料桶侧面积最接近？（    ） A． B． C． D．以上都可以 18．如图，笑笑准备用长方形硬纸板做一个无盖笔筒的侧面，她可以选用（    ）作底面。（单位：cm，接缝处忽略不计） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 19．设计后港古街灯笼。 灯笼为圆柱形，底面直径25厘米，高40厘米，在方格纸上画出侧面展开图，标出长和宽（或底和高）。 （1格代表10cm） 20．在下面的方格图中画出圆柱的展开图。（每个小方格的边长均为1厘米） 易错专项训练五蛋糕捆绳问题 21．用彩带捆扎一个圆柱形蛋糕盒（如图），打结处正好是底面圆心，打结用去彩带28厘米。捆扎这个蛋糕盒至少要用彩带多少厘米？合多少米？    22．用塑料绳捆扎一个圆柱形的蛋糕盒（如图），打结处正好是底面圆心，打结用去绳子12厘米。扎这个盒子至少用塑料绳多少厘米？ 23．用丝带捆扎一个圆柱形的蛋糕盒（如图），打结处正好是底面圆心，打结处用去丝带20厘米。捆扎这个蛋糕盒一共用去丝带多少厘米？ 易错专项训练六包装问题 24．要用一个长方体纸箱包装12瓶圆柱形橙汁罐，每个橙汁罐的底面直径是6厘米，高是10厘米，纸箱的长、宽、高各可以是多少？请画出纸箱草图，并说明怎样放置橙汁罐。 25．每节电池底面半径为2.5厘米，高为5厘米。六节电池一组放在一个长方体包装盒里，做这个包装盒至少需要多少平方厘米硬纸板？ 26．一种圆柱形的饮料罐，底面直径7厘米，高12厘米。将24罐这样的饮料放入一个长方体的纸箱。 （1）这个长方体的纸箱的长、宽、高至少各是多少厘米？ （2）这个纸箱的容积至少是多少？ （3）做一个这样的纸箱，至少要用硬纸板多少平方厘米？（纸箱盖和箱底的重叠部分按2000平方厘米计算） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $