专题07 等积变形及不规则物体的体积四大类型（易错专项训练）数学苏教版六年级下册

专题07 等积变形及不规则物体的体积四大类型易错专项训练 易错专项训练一 圆柱和圆锥间的等积变形 易错专项训练二 长方体和圆锥间的等积变形 易错专项训练三 长方体和圆柱间的等积变形 易错专项训练四 测量不规则物体的体积 易错专项训练一圆柱和圆锥间的等积变形 1．把一个底面周长是12.56分米、高是3分米的圆柱形钢材熔铸成一个圆锥体。已知圆锥体的底面积是28.26平方分米，那么它的高是（ ）分米。 2．手工课上，婷婷用一块底面半径是2cm、高是6cm的圆柱形橡皮泥，捏成一个高是9cm的圆锥形橡皮泥，则这个圆锥形橡皮泥的底面积是（ ）cm2。 3．把一个底面直径是6cm、高10cm的圆锥体铁块熔铸成一个圆柱体，若圆柱的高是5cm，圆柱的底面积是（ ）cm2。 4．一个圆柱形橡皮泥，底面积12cm2，高是9cm，如果把它捏成等底的圆锥，这个圆锥的高是（ ）cm，如果捏成等高的圆锥，这个圆锥的底面积是（ ）cm2。 5．把一段底面直径是8分米、高5分米的圆柱形钢材熔铸成一个底面直径是16分米的圆锥，这个圆锥的高是多少分米？ 6．把一个底面半径是2厘米，高是10厘米的圆柱形铁块，熔铸成一个高是20厘米的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的底面积是多少平方厘米？ 易错专项训练二长方体和圆锥间的等积变形 7．一个圆锥形沙堆的底面积是10m2，高是1.2m。把这堆沙均匀铺在一个底面积为20m2的长方体沙坑里，沙坑里的沙厚（ ）cm。 8．把一个长、宽、高分别为2米，1.57米，0.5米且装满沙粒的长方体沙坑内的沙子挖出来，堆成一个圆锥形的沙堆，圆锥形状的沙堆底面周长是6.28米，则这个沙堆的高是（ ）米。 9．丁丁用一块粘土捏了一个底面积为、高为9cm的圆锥，如果把它捏成一个正方体，那么棱长应为（ ）cm；如果把它捏成一个与圆锥同样高的圆柱，那么这个圆柱的底面积是（ ）。 10．工地上有一个圆锥形沙堆，沙堆的底面半径是3米，高1.5米。把它铺在一条长31.4米，宽9米的公路上可以铺（ ）米厚。 11．把一个底面积为15平方分米、高为6分米的长方体铁块，熔铸成一个底面半径为5分米的圆锥形铁块。这个圆锥形铁块的高约是多少厘米？ 易错专项训练三长方体和圆柱间的等积变形 12．一个长方体铁块长4分米，宽3分米，高5分米，把它熔铸成一个高6分米的圆柱，这个圆柱的底面积是多少平方分米？ 13．有一个长方体铁块，长8分米，宽4分米，高3分米。把它完全铸成一个圆柱，圆柱的底面半径是5分米，高是多少分米？（保留一位小数） 14．用一个长9分米、宽6分米、高4分米的长方体钢坯，和一个棱长2分米的正方体钢坯，熔化后加工成一个底面直径是4分米的圆柱形零件，这个零件的高是多少？（结果保留一位小数） 15．甲圆柱体容器是空的，乙长方体容器中水深6.28厘米，要将容器乙中的水全部倒入甲容器，这时水深多少厘米？ 易错专项训练四测量不规则物体的体积 16．我们把一个不规则饮料瓶装满水，然后把水倒入一个内直径是8cm的圆柱形容器中，水面高度是10cm，那么这个不规则饮料瓶的容积是（ ）mL。 17．有三个规格相同的圆柱形容器，底面半径是2厘米，高5.5厘米。把大小两种玻璃球放入装有同样多水的容器中（如图所示），大球和小球的体积比是（ ）∶（ ）。如果往容器③里继续放玻璃球，使得水面上升到杯口又不溢出，可以放入（ ）。 18．一个底面半径是5cm的圆柱形容器，装有水和一块不规则石头（石头完全浸没），水面高度为8cm。将石头取出，高度变成了6cm。这块石头的体积是（ ）cm3。 19．普罗旺斯西红柿沙瓤多汁，备受人们欢迎，乐乐想要测量一个普罗旺斯西红柿的体积，他找来一个底面半径为5cm，高16cm的圆柱形容器，然后给里面注入高6cm的水，将该西红柿放入完全浸没后，水面上升至9.4cm，这个西红柿的体积是（ ）。 20．在一个长30厘米、宽25厘米、高10厘米的长方体水箱内倒入水，水面高8厘米，把一个底面半径为10厘米的圆柱形铁块全部浸入水箱，水满后还溢出了70立方厘米的水，圆柱形铁块的高是多少厘米？ 21．一个装有水的圆柱形容器，底面直径是10cm，高是10cm。一块石头完全浸在水里（如下图），量得水深是8.5cm，将石头取出后，水深是7cm。这块石头的体积是多少立方厘米？ 22．如下图，一只乌鸦口渴了，它找了很久，找到一个盛有水的圆柱形容器，这个容器高25cm，底面积为50cm2，但水面太低，乌鸦喝不到水。于是乌鸦衔来许多小石子放入容器内，水面上升后，聪明的乌鸦终于喝到了水。 （1）乌鸦一共在容器内放了多少立方厘米的小石子？ （2）乌鸦喝了多少升的水？ 23．为了测量一块石头的体积，一个学习小组进行了实验。 ①测量水的高度为19厘米。 ②把石块放入容器，使石块全部浸入水中。 ③在一个从里面量底面半径为10厘米，高25厘米的圆柱形容器中倒入一些水。 ④测量水的高度为15厘米。 （1）他们的实验步骤被打乱了，正确的排序应该是（    ）。 （2）请根据正确的实验步骤和数据，求出这块石头的体积。 24．“圆柱和圆锥”的单元学习后，小奇和小妙进行有趣的数学实验。 【实验准备】实验前，他们在圆柱形容器中倒了一些水，并测量出水面高度为15厘米。算一算，此时容器与水接触部分的面积是多少平方厘米？如果容器的厚度不计，水的体积约是多少立方厘米？ 【实验过程】小奇依次往容器内投入了不同形状的物体（均浸没），经测量发现水面高度均上升至20厘米。（如图） 对于这个实验结果，小奇和小妙进行了讨论与猜想。 （1）小奇认为，浸没的正方体、圆柱、圆锥的体积相等，因为这三个物体的体积都相当于（    ）。算一算，这三个物体的体积都是（    ）立方厘米。 （2）小妙说：“因为浸没不同的物体后，容器内水面上升的高度相同，所以我认为投入容器里的圆锥高度是圆柱高度的3倍。”你同意小妙的观点吗？写出你的理由。 25．为测得一个圆锥形零件的体积，元元将零件投入一个盛有水的圆柱形玻璃容器中，水面上升（如图）。（数据由容器内部测得） （1）圆锥形零件的体积是多少立方厘米？ （2）如果圆锥形零件的高为10厘米，这个零件的底面积是多少平方厘米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 等积变形及不规则物体的体积四大类型易错专项训练 易错专项训练一 圆柱和圆锥间的等积变形 易错专项训练二 长方体和圆锥间的等积变形 易错专项训练三 长方体和圆柱间的等积变形 易错专项训练四 测量不规则物体的体积 易错专项训练一圆柱和圆锥间的等积变形 1．把一个底面周长是12.56分米、高是3分米的圆柱形钢材熔铸成一个圆锥体。已知圆锥体的底面积是28.26平方分米，那么它的高是（ ）分米。 【答案】4 【分析】圆柱形钢材熔铸成圆锥体的过程中体积始终不变，利用圆的周长公式C＝2πr（π取3.14），结合已知的圆柱底面周长12.56分米求出底面半径；再代入圆柱体积公式V柱＝πr2h（π取3.14）求出圆柱的体积，这个体积就是圆锥的体积；最后根据圆锥体积公式V锥＝Sh变形得到求高公式h＝3V锥÷S，代入圆锥底面积28.26平方分米和已求出的体积，求出圆锥的高。 【解答】半径：12.56÷（2×3.14） ＝12.56÷6.28 ＝2（分米） 圆柱体积：3.14×22×3 ＝3.14×4×3 ＝12.56×3 ＝37.68（立方分米） 圆锥高：3×37.68÷28.26 ＝113.04÷28.26 ＝4（分米） 所以圆锥的高是4分米。 2．手工课上，婷婷用一块底面半径是2cm、高是6cm的圆柱形橡皮泥，捏成一个高是9cm的圆锥形橡皮泥，则这个圆锥形橡皮泥的底面积是（ ）cm2。 【答案】25.12 【分析】婷婷用一块底面半径是2cm、高是6cm的圆柱形橡皮泥，捏成一个高是9cm的圆锥形橡皮泥，体积不变，根据圆柱的体积公式V＝πr2h（π取3.14，r为底面半径，h为高）求出圆柱的体积，也就是圆锥的体积。根据圆锥的体积公式：V＝Sh（S为圆锥的底面积，h为圆锥的高），则S＝V÷÷h，把数据代入计算即可。 【解答】3.14×22×6 ＝3.14×4×6 ＝75.36（cm3） 75.36÷÷9 ＝75.36×3÷9 ＝25.12（cm2） 这个圆锥形橡皮泥的底面积是25.12cm2。 3．把一个底面直径是6cm、高10cm的圆锥体铁块熔铸成一个圆柱体，若圆柱的高是5cm，圆柱的底面积是（ ）cm2。 【答案】18.84 【分析】根据题意，把一个圆锥体铁块熔铸成一个圆柱体，铁块的体积不变；先根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出铁块的体积；再根据圆柱的体积公式V＝Sh可知，圆柱的底面积S＝V÷h，据此求解。 【解答】×3.14×（6÷2）2×10 ＝×3.14×32×10 ＝×3.14×9×10 ＝94.2（cm3） 94.2÷5＝18.84（cm2） 圆柱的底面积是18.84cm2。 4．一个圆柱形橡皮泥，底面积12cm2，高是9cm，如果把它捏成等底的圆锥，这个圆锥的高是（ ）cm，如果捏成等高的圆锥，这个圆锥的底面积是（ ）cm2。 【答案】27 36 【分析】根据圆柱与圆锥体积的关系，当体积相等时，若底面积相同，圆锥的高是圆柱的3倍；若高相同，圆锥的底面积是圆柱的3倍。据此解答。 【解答】（cm） （cm2） 一个圆柱形橡皮泥，底面积12cm2，高是9cm，如果把它捏成等底的圆锥，这个圆锥的高是27cm，如果捏成等高的圆锥，这个圆锥的底面积是36cm2。 5．把一段底面直径是8分米、高5分米的圆柱形钢材熔铸成一个底面直径是16分米的圆锥，这个圆锥的高是多少分米？ 【答案】3.75分米 【分析】圆柱形钢材的体积等于圆锥的体积，已知圆柱形钢材的底面直径是8分米、高5分米，先求出底面半径是8÷2＝4分米，然后根据圆柱的体积公式求出圆柱的体积，即为圆锥的体积； 已知圆锥的底面直径是16分米，求出底面半径为16÷2＝8分米，根据圆的面积公式求出底面积，再根据圆锥的体积公式V＝Sh，用圆锥的体积乘3除以底面积即可求出高。据此解答。 【解答】8÷2＝4（分米） 3.14×42×5 ＝3.14×16×5 ＝50.24×5 ＝251.2（立方分米） 16÷2＝8（分米） 3.14×82＝3.14×64＝200.96（平方分米） 251.2×3÷200.96 ＝753.6÷200.96 ＝3.75（分米） 答：这个圆锥的高是3.75分米。 6．把一个底面半径是2厘米，高是10厘米的圆柱形铁块，熔铸成一个高是20厘米的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的底面积是多少平方厘米？ 【答案】 18.84平方厘米 【分析】圆锥的体积等于圆柱的体积，利用求出圆柱的体积。圆锥，所以，据此解答。 【解答】 （平方厘米） 答：这个圆锥形铁块的底面积是18.84平方厘米。 易错专项训练二长方体和圆锥间的等积变形 7．一个圆锥形沙堆的底面积是10m2，高是1.2m。把这堆沙均匀铺在一个底面积为20m2的长方体沙坑里，沙坑里的沙厚（ ）cm。 【答案】20 【分析】已知圆锥形沙堆的底面积和高，根据圆锥的体积公式V＝Sh，求出这堆沙的体积； 把这堆沙均匀铺在一个底面积为20m2的长方体沙坑里，根据长方体的高h＝V÷S，求出沙坑里沙的厚度。注意单位的换算：1m＝100cm。 【解答】×10×1.2＝4（m3） 4÷20＝0.2（m） 0.2m＝20cm 沙坑里的沙厚20cm。 8．把一个长、宽、高分别为2米，1.57米，0.5米且装满沙粒的长方体沙坑内的沙子挖出来，堆成一个圆锥形的沙堆，圆锥形状的沙堆底面周长是6.28米，则这个沙堆的高是（ ）米。 【答案】1.5 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出长方体的体积。长方体的体积与圆锥的体积相等，圆锥底面是个圆，根据C＝2πr，先求出r，再根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，求出圆锥的高即可。 【解答】2×1.57×0.5＝1.57（立方米） 6.28÷2÷3.14＝1（米） 1.57×3÷（3.14×12） ＝1.57×3÷3.14 ＝4.71÷3.14 ＝1.5（米） 这个沙堆的高是1.5米。 9．丁丁用一块粘土捏了一个底面积为、高为9cm的圆锥，如果把它捏成一个正方体，那么棱长应为（ ）cm；如果把它捏成一个与圆锥同样高的圆柱，那么这个圆柱的底面积是（ ）。 【答案】 6 24 【分析】根据圆锥的体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥的体积，圆锥的体积等于正方体体积；根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此求出正方体棱长；圆锥的体积＝圆柱的体积；圆锥的高＝圆柱的高；根据圆柱的体积＝底面积×高；用圆锥的体积除以圆锥的高，即可求出圆柱的底面积。 【解答】72×9× ＝648× ＝216（cm3） 因为6×6×6＝216，所以正方体棱长是6cm。 216÷9＝24（cm2） 丁丁用一块粘土捏了一个底面积为72cm2、高为9cm的圆锥，如果把它捏成一个正方体，那么棱长应为6cm；如果把它捏成一个与圆锥同样高的圆柱，那么这个圆柱的底面积是24。 10．工地上有一个圆锥形沙堆，沙堆的底面半径是3米，高1.5米。把它铺在一条长31.4米，宽9米的公路上可以铺（ ）米厚。 【答案】0.05 【分析】先根据圆锥的体积＝×底面积×高，计算出圆锥形沙堆的体积。把这些沙子铺在路上后形成一个长方体，这个长方体的体积等于圆锥形沙堆的体积，求铺在公路上的厚度，即求长方体的高度，根据公式：长方体的高＝体积÷长÷宽，代入数据计算，即可解答。 【解答】×3.14×32×1.5 ＝×3.14×9×1.5 ＝14.13（立方米） 14.13÷31.4÷9＝0.05（米） 即把它铺在一条长31.4米，宽9米的公路上可以铺0.05米厚。 11．把一个底面积为15平方分米、高为6分米的长方体铁块，熔铸成一个底面半径为5分米的圆锥形铁块。这个圆锥形铁块的高约是多少厘米？ 【答案】34.4厘米 【分析】“长方体体积＝底面积×高”，已知长方体铁块底面积是15平方分米，高是6分米，所以长方体体积是15×6＝90立方分米；把长方体铁块熔铸成圆锥形铁块，只是形状改变，体积不变，即圆锥体积为15×6＝90立方分米；圆锥的底面是圆，圆的面积公式“S＝πr2”，已知圆锥底面半径为5分米，则圆锥底面积为（3.14×52）平方分米；圆锥体积＝×底面积×高，变形可得“高＝圆锥体积×3÷底面积” ；最后题目问的是高约是多少厘米，因为1分米＝10厘米，所以还要进行单位换算，分米换算为厘米是大单位换算为小单位要乘进率10。 【解答】15×6×3÷（3.14×52）×10 ＝15×6×3÷（3.14×25）×10 ＝15×6×3÷78.5×10 ＝90×3÷78.5×10 ＝270÷78.5×10 ≈3.44×10 ＝34.4（厘米） 答：这个圆锥形铁块的高约是34.4厘米。 易错专项训练三长方体和圆柱间的等积变形 12．一个长方体铁块长4分米，宽3分米，高5分米，把它熔铸成一个高6分米的圆柱，这个圆柱的底面积是多少平方分米？ 【答案】10平方分米 【分析】根据题意，把长方体熔铸成圆柱，则长方体的体积等于圆柱的体积，先根据长方体的体积＝长×宽×高列式求出长方体的体积，再根据圆柱的底面积＝体积÷高列式求出圆柱的底面积即可。 【解答】4×3×5 ＝12×5 ＝60（立方分米） 60÷6＝10（平方分米） 答：这个圆柱的底面积是10平方分米。 13．有一个长方体铁块，长8分米，宽4分米，高3分米。把它完全铸成一个圆柱，圆柱的底面半径是5分米，高是多少分米？（保留一位小数） 【答案】1.2分米 【分析】铁块的体积不变，即熔铸成的圆柱的体积＝长方体体积，要求熔铸成的圆柱体的高，先要计算出长方体的体积，运用长方体的体积＝长×宽×高求出长方体的体积，然后根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据即可解答。 【解答】 （立方分米） （分米） 答：高是1.2分米。 14．用一个长9分米、宽6分米、高4分米的长方体钢坯，和一个棱长2分米的正方体钢坯，熔化后加工成一个底面直径是4分米的圆柱形零件，这个零件的高是多少？（结果保留一位小数） 【答案】17.8分米 【分析】长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，圆柱的体积＝底面积×高，则圆柱的高＝体积÷底面积。先分别求出长方体钢坯和正方体钢坯的体积，再根据两者体积之和等于圆柱形零件的体积，结合圆柱体积公式求出零件的高。 【解答】9×6×4＋2×2×2 ＝54×4＋4×2 ＝216＋8 ＝224（立方分米） 4÷2＝2（分米） 224÷（3.14×22） ＝224÷（3.14×4） ＝224÷12.56 ≈17.8（分米） 答：这个零件的高是17.8分米。 15．甲圆柱体容器是空的，乙长方体容器中水深6.28厘米，要将容器乙中的水全部倒入甲容器，这时水深多少厘米？ 【答案】8厘米 【分析】从图中可以得知乙容器（长方体）中水的长、宽、高（水深），根据长方体的体积公式：，代入数值计算可以求出水的体积。图甲为圆柱形容器，已知底面半径，根据圆的面积公式：，代入数值计算可求底面积。因为水的体积不变（相等），所以根据，代入数值计算，即可求出水深。 【解答】10×10×6.28 ＝100×6.28 ＝628（立方厘米） 628÷（3.14×52） ＝628÷78.5 ＝8（厘米） 答：这时水深8厘米。 【点睛】此题重点考查立体图形的容积和底面积、高、容积之间的关系。 易错专项训练四测量不规则物体的体积 16．我们把一个不规则饮料瓶装满水，然后把水倒入一个内直径是8cm的圆柱形容器中，水面高度是10cm，那么这个不规则饮料瓶的容积是（ ）mL。 【答案】502.4 【分析】把一个不规则饮料瓶装满水，然后把水倒入圆柱形容器中，水的容积不会发生变化，那么这个不规则饮料瓶的容积就是圆柱形容器中水的容积，利用圆柱体积＝底面积×高计算，然后进行单位换算即可。 【解答】 这个不规则饮料瓶的容积是502.4mL。 17．有三个规格相同的圆柱形容器，底面半径是2厘米，高5.5厘米。把大小两种玻璃球放入装有同样多水的容器中（如图所示），大球和小球的体积比是（ ）∶（ ）。如果往容器③里继续放玻璃球，使得水面上升到杯口又不溢出，可以放入（ ）。 【答案】 2 1 2个大球 【分析】圆柱体积公式为V＝πr2h（r为底面半径，h为高，π取3.14）。容器②中放入1个大球后，水面从2厘米上升到3厘米，上升了3－2＝1厘米，所以大球的体积是3.14×22×1＝3.14×4×1＝12.56立方厘米。容器③中放入1个大球和1个小球后，水面从2厘米上升到3.5厘米，上升了3.5－2＝1.5厘米，那么1个大球和1个小球的总体积为3.14×22×1.5＝3.14×4×1.5＝18.84立方厘米。小球的体积为18.84－12.56＝6.28立方厘米。那么大球和小球的体积比为12.56∶6.28，然后化简即可。 容器高5.5厘米，此时水面高3.5厘米，还能上升5.5－3.5＝2厘米。上升2厘米的水的体积（即还能容纳球的体积）为：3.14×22×2＝3.14×4×2＝25.12立方厘米。因为大球体积是12.56立方厘米，12.56×2＝25.12，所以可以放入2个大球。（答案不唯一）。 【解答】3－2＝1（厘米） 3.14×22×1 ＝3.14×4×1 ＝12.56×1 ＝12.56（立方厘米） 3.5－2＝1.5（厘米） 3.14×22×1.5 ＝3.14×4×1.5 ＝12.56×1.5 ＝18.84（立方厘米） 18.84－12.56＝6.28（立方厘米） 大球和小球的体积比：12.56∶6.28 12.56∶6.28 ＝（12.56÷6.28）∶（6.28÷6.28） ＝2∶1 5.5－3.5＝2（厘米） 3.14×22×2 ＝3.14×4×2 ＝12.56×2 ＝25.12（立方厘米） 12.56×2＝25.12（立方厘米） 大球和小球的体积比是2∶1。如果往容器③里继续放玻璃球，使得水面上升到杯口又不溢出，可以放入2个大球。（第二空答案不唯一） 18．一个底面半径是5cm的圆柱形容器，装有水和一块不规则石头（石头完全浸没），水面高度为8cm。将石头取出，高度变成了6cm。这块石头的体积是（ ）cm3。 【答案】157 【分析】圆柱的体积公式为V＝πr2h（r表示底面半径，h表示高，π取3.14）。当把石头取出后，水面从8cm下降到6cm，下降的这部分水的体积就等于石头的体积。下降的高度为8－6＝2cm。已知圆柱形容器底面半径为5cm，把半径5cm高2cm代入圆柱公式计算即可。 【解答】8－6＝2（cm） 3.14×52×2 ＝3.14×25×2 ＝78.5×2 ＝157（cm3） 这块石头的体积是157cm3。 19．普罗旺斯西红柿沙瓤多汁，备受人们欢迎，乐乐想要测量一个普罗旺斯西红柿的体积，他找来一个底面半径为5cm，高16cm的圆柱形容器，然后给里面注入高6cm的水，将该西红柿放入完全浸没后，水面上升至9.4cm，这个西红柿的体积是（ ）。 【答案】 266.9 【分析】西红柿放入水中后，水面上升部分的体积等于西红柿的体积。水面从6cm上升到9.4cm，上升了3.4cm，即西红柿的体积等于一个底面半径为5cm，高3.4cm的圆柱的体积，根据圆柱的体积，代入数据计算。 【解答】3.14×52×（9.4－6） ＝3.14×25×3.4 ＝3.14×85 ＝266.9（cm3） 则这个西红柿的体积是266.9cm3。 20．在一个长30厘米、宽25厘米、高10厘米的长方体水箱内倒入水，水面高8厘米，把一个底面半径为10厘米的圆柱形铁块全部浸入水箱，水满后还溢出了70立方厘米的水，圆柱形铁块的高是多少厘米？ 【答案】 5厘米 【分析】水箱长30厘米、宽25厘米，原水面高8厘米，水箱高10厘米，剩余空间高度为10－8＝2厘米，根据“长方体体积（容积）＝长×宽×高”可求出剩余空间的容积； 铁块浸入后，水填满剩余空间并溢出70立方厘米，用剩余空间容积加上溢出水的体积即可求出铁块的体积； 已知圆柱形铁块的底面半径是10厘米，根据圆的面积公式求出圆柱的底面积，根据“圆柱体积＝底面积×高”，用铁块的体积除以底面积即可求出高。据此解答。 【解答】10－8＝2（厘米） 30×25×2 ＝750×2 ＝1500（立方厘米） 1500＋70＝1570（立方厘米） 3.14×102＝3.14×100＝314（平方厘米） 1570÷314＝5（厘米） 答：圆柱形铁块的高是5厘米。 【点睛】用水箱剩余空间的容积加上溢出水的体积求出圆柱形铁块的体积，再根据圆柱的体积公式求出圆柱形铁块的高。 21．一个装有水的圆柱形容器，底面直径是10cm，高是10cm。一块石头完全浸在水里（如下图），量得水深是8.5cm，将石头取出后，水深是7cm。这块石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】117.75立方厘米 【分析】根据题意，石头的体积等于下降的那部分水的体积，首先求出下降的水的高度，再利用圆柱的底面积乘下降的水的高度就是石头的体积。 【解答】 （立方厘米） 答：这块石头的体积是117.75立方厘米。 22．如下图，一只乌鸦口渴了，它找了很久，找到一个盛有水的圆柱形容器，这个容器高25cm，底面积为50cm2，但水面太低，乌鸦喝不到水。于是乌鸦衔来许多小石子放入容器内，水面上升后，聪明的乌鸦终于喝到了水。 （1）乌鸦一共在容器内放了多少立方厘米的小石子？ （2）乌鸦喝了多少升的水？ 【答案】（1）700立方厘米 （2）0.3升 【分析】（1）小石子的体积等于水面从8厘米上升到22厘米的体积，即底面积为50平方厘米，高为厘米的圆柱体积，根据圆柱的体积＝底面积×高，列式解答即可。 （2）乌鸦喝水的体积等于水面从22厘米下降到 16厘米的体积，即底面积为50平方厘米，高为厘米的圆柱体积，根据圆柱的体积＝底面积×高，列式解答，再换算成升即可。 【解答】（1） （立方厘米） 答：乌鸦一共在容器内放了700立方厘米的小石子。 （2） （立方厘米） 答：乌鸦喝了0.3升的水。 23．为了测量一块石头的体积，一个学习小组进行了实验。 ①测量水的高度为19厘米。 ②把石块放入容器，使石块全部浸入水中。 ③在一个从里面量底面半径为10厘米，高25厘米的圆柱形容器中倒入一些水。 ④测量水的高度为15厘米。 （1）他们的实验步骤被打乱了，正确的排序应该是（    ）。 （2）请根据正确的实验步骤和数据，求出这块石头的体积。 【答案】（1）③④②① （2）1256立方厘米 【分析】（1）水面上升的体积＝石头的体积，因此应该先测量容器的底面半径和高，再测量倒入的水的高度，然后将石块浸入水中，再测量水的高度，据此确定实验步骤； （2）圆柱底面积＝圆周率×底面半径的平方，圆柱形容器的底面积×水面上升的高度＝石头的体积，据此列式解答。 【解答】（1）他们的实验步骤被打乱了，正确的排序应该是③④②①。 （2）3.14×102×（19－15） ＝3.14×100×4 ＝1256（立方厘米） 答：这块石头的体积是1256立方厘米。 24．“圆柱和圆锥”的单元学习后，小奇和小妙进行有趣的数学实验。 【实验准备】实验前，他们在圆柱形容器中倒了一些水，并测量出水面高度为15厘米。算一算，此时容器与水接触部分的面积是多少平方厘米？如果容器的厚度不计，水的体积约是多少立方厘米？ 【实验过程】小奇依次往容器内投入了不同形状的物体（均浸没），经测量发现水面高度均上升至20厘米。（如图） 对于这个实验结果，小奇和小妙进行了讨论与猜想。 （1）小奇认为，浸没的正方体、圆柱、圆锥的体积相等，因为这三个物体的体积都相当于（    ）。算一算，这三个物体的体积都是（    ）立方厘米。 （2）小妙说：“因为浸没不同的物体后，容器内水面上升的高度相同，所以我认为投入容器里的圆锥高度是圆柱高度的3倍。”你同意小妙的观点吗？写出你的理由。 【答案】1256平方厘米；4710立方厘米 （1）上升部分水的体积；1570 （2）不同意。理由见详解 【分析】求容器与水接触部分的面积就是把水看作一个圆柱体，求这个圆柱的侧面积与下底的和，根据圆柱的侧面积公式，圆的面积公式，代入数据计算即可。 求水的体积就是求这个圆柱的体积，根据圆柱的体积公式，代入数据计算即可。 （1）浸没的正方体、圆柱、圆锥的体积分别等于上升部分水的体积，因为水面高度均上升至20厘米，所以它们的体积都相等，根据圆柱的体积公式，代入数据计算上升部分的水的体积即可。 （2）浸没的圆柱、圆锥的体积相等，只有当圆柱和圆锥底面积也相等时，圆锥的高是圆柱的高的3倍，据此解答。 【解答】【实验准备】 （厘米） （平方厘米） （立方厘米） 答：此时容器与水接触部分的面积是1256平方厘米；水的体积约是4710立方厘米。 【实验过程】 （1） （立方厘米） 小奇认为，浸没的正方体、圆柱、圆锥的体积相等，因为这三个物体的体积都相当于上升的水的体积。算一算，这三个物体的体积都是1570立方厘米。 （2）答：我不同意小妙的观点；因为浸没的圆柱、圆锥的体积相等，只有当圆柱和圆锥底面积也相等时，圆锥的高是圆柱的高的3倍，但不知圆柱与圆锥的底面积是否相等，所以圆锥高度不一定是圆柱高度的3倍。 25．为测得一个圆锥形零件的体积，元元将零件投入一个盛有水的圆柱形玻璃容器中，水面上升（如图）。（数据由容器内部测得） （1）圆锥形零件的体积是多少立方厘米？ （2）如果圆锥形零件的高为10厘米，这个零件的底面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）628立方厘米 （2）188.4平方厘米 【分析】（1）圆锥形零件投入圆柱容器中使水面上升，则上升水的体积等于圆锥形零件的体积。已知圆柱容器底面直径20厘米，用直径长度除以2计算出半径长度，水面上升高度为12－10＝2厘米；然后根据圆柱的体积（容积）公式计算出上升水的体积，即为圆锥形零件的体积。 （2）由（1）可知圆锥形零件的体积，又已知圆锥形零件的高为10厘米，根据“圆锥的体积＝×底面积×高”可得“圆锥的底面积＝体积×3÷高”，用该圆锥形零件的体积乘3除以高即为它的底面积。 【解答】（1）20÷2＝10（厘米） 3.14×102×（12－10） ＝3.14×100×2 ＝314×2 ＝628（立方厘米） 答：圆锥形零件的体积是628立方厘米。 （2）628×3÷10 ＝1884÷10 ＝188.4（平方厘米） 答：这个零件的底面积是188.4平方厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $