5.3.3 分式方程的应用-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（北师大版）

当解为增根，即：十2时，解得a3,此时t 使原分式方程分母为零，无意义. 综上，a的值为一1或3. 6.x=4 变式题一1【解析】方程两边都乘(x一3)，得2一x一 m=2(x一3).，原分式方程有增根，.x一3=0，解得 x=3.把x=3代入2-x-m=2(x-3),得2-3-m =0,解得m=一1. 7.x=0【解析】方程两边都乘x(x一2)，得3x=a(x一 2)十4.该分式方程有增根，.x(x一2)=0，.x=0或 x=2.当x=0时，a=2;当x=2时，6=4，不成立，∴.x ≠2.故该分式方程的增根为x=0. 8.解：将该分式方程两边都乘(x+2)(x一1)，得2(x十2) +mx=x一1，整理，得(m+1)x=一5. (1)根据题意可知，x=1是方程(m十1)x=一5的根， ∴.1+m=-5,解得m=-6. (2)根据题意，得该方程的增根为x=一2或x=1, ∴.方程(m十1)x=一5的根为x=一2或x=1, .-2(m+1)=-5或1+m=-5, 解得m=1.5或一6. (3)根据题意可知，m十1=0或该方程有增根， 结合(2)可知m=-1或1.5或-6. 9.A【解析】原方程去分母，得x十1一m.x=0.移项，得 x一mx=一1.合并同类项，得(1一m)x=一1.两边都 1 除以1一m,得x= m“关于x的分式方程 =0的解是负数，心m-1<0且m一1≠一1，解得 m<1且m≠0. 变式题-1【解析】方程子3-可化为，” =3+气去分母，得x=3(x-1)十m,去括号，得 x=3x一3十m.x.移项、合并同类项，得(2十m)x=3, 3 解得x一2十m由方程的解是正整数，得x为正整数， 即2十m=1或2+m=3,解得m=-1或m=1(m=1 时分式无意义，舍去) 10.1 11.解：(1) （2)方程两边都乘(2x一1)，得x一2=3(2.x一1)， 1 解得x=5检验：当x=5时，2x-1≠0. 故x=号是原分式方程的解。 12.解：(1)方程两边同乘(x十3)(x一3)，得2(x十3)+ mx=5(x-3),解得x=3-m 引n由题意得引>0 21 3-m ≠士3，m<3且m≠-4. (2)3或10或一4.【解析】(2)由(1)得2(x+3)十 21=士3， mx=5(x-3),由题意，得3-m=0或3-m 解得m=3或m=10或m=一4. 13.解：(1)：点A,B在数轴上，它们对应的数分别为 一2，x十2心点A到原点的距离为2，点B到原点的 距离为千2：点A,B到原点的距离相等“千2 =2,解得x=一4. 经检验，x=一4是原分式方程的解， ∴x的值为一4. (2)点A,B到点C的距离相等， ∴点C必在点A,B之间， 1 .AC=2x+4 (-2),BC= x+22x+4' 1 1 六x十22x+42x+4（-2),解得x=-5, 经检验，x=一5是原分式方程的解， ∴.x的值为-5. 第3课时分式方程的应用 1.C 2.D【解析】设学生骑车的速度是xkm/min,则汽车的 、速度是2 km/min,由题意，得一20=2，解得x= 0.3.经检验，x=0.3是原分式方程的解，且符合题意， ,∴.2.x=0.6.故汽车的速度是0.6km/min. 3.160140 xx-10 4.40 5.解：设乙款书签单价为x元，则甲款书签单价为1.25.x元. 由题意，得0空-3，解得=16 经检验，x=16是原分式方程的解，且符合题意， ∴.甲款书签单价为1.25×16=20（元）. 答：乙款书签单价为16元，甲款书签单价为20元 6.解：(1)设A种外墙漆每千克的价格为x元，则B种外 墙漆每千克的价格为(x一2)元. 根据题意，得300x十300(x一2)=15000， 解得x=26,x-2=24. 故A种外墙漆每千克的价格为26元，B种外墙漆每 千克的价格为24元. (2)设甲每小时粉刷外墙面积为ym,则乙每小时粉 刷外培面积是ym。 根据题意，得500 50 -5= 4 ，解得y=25. y 5y 经检验，y=25是原分式方程的解，且符合题意 故甲每小时粉刷外墙的面积是25m'. 7.B【解析】实际每天生产零件x个， 实际生产1500个零件的天数为1500 x 1500150 由 x-5x =10可知，】为计划生产零作的天 数，计划天数一实际天数=10， ∴.计划每天生产零件(x一5)个，∴实际每天比计划多 生产5个，结果提前10天完成 下册参考答案 31个 8.解：设乙组同学平均每小时包x个粽子，则甲组同学平 均每小时包(x十20)个粽子. 由题意，得150一120 x十20x 解得x=80. 经检验，x=80是原分式方程的解，且符合题意， ∴.x+20=100. 故甲组同学平均每小时包100个粽子，乙组同学平均 每小时包80个粽子. 9.解：(1)设B种书架的单价为x元， 则A种书架的单价为(1十20%)x元. 180009000 由题意，(1+20%)xx =6,解得x=1000. 经检验，x=1000是原分式方程的解，且符合题意， ∴.(1+20%)x=1200. 故A种书架的单价为1200元，B种书架的单价为 1000元. (2)购买a个A种书架时，购买(20-a)个B种书架， ,∴.购买总费用为0=1200a十1000(20一a)=200a十 由题意，得a之名(20-a),解 200>0,∴w随着a的增大而增大，∴.当a=8时， 的值最小，此时购买B种书架20一8=12（个），∴.购买 A种书架8个，B种书架12个费用最少 (3)由题意，得(1200-m)×8+(1000+3m）×12= 21120,解得m=120. 章末对点导练 1.A2.D 3.一5【解析】由题意，得|x|-5=0,且5-x≠0，解得x =-5. 2 2m 4.D【解析】原式= m+n (m+n)(m-n) 2(m十n)(m-n)m-n m十n 2m 5.解：1)原式=a-1.a+2)(a-2) a+2(a-1) ·(a+1)(a-1) =(a-2)(a+1)=a2-a-2. ②)原武=D[--D] .r1-2x .1-2x-(x-1) (x-1)2 x-1 1 x-1 6解：原式=-11÷-2=x-2.(x-1) -1(x-1)-x-1·x-2=x-1 x-1≠0，x-2≠0，∴x≠1，x≠2，x只能取3.当 x=3时，原式=2 7.C 8.B【解析】方程两边都乘(x-1),得mx一1=3x-3, .(m-3)x=-2. 当m一3=0，即m=3时，原分式方程无解，符合题意； 当m一3≠0时，x3方程无解，1=0 .x=1,∴.m-3=-2,∴.m=1. 432 八年级数学BS版 综上，当m=1或m=3时，原分式方程无解. 9.(1)x=7(2)-22【解析】(1)当a=-3时，方程为 4x+3 6 -=5, x-2十2- 方程两边都乘(x一2)，可得4x+3一6=5x一10，解得 x=7.检验：当x=7时，x一2≠0， 原分式方程的解是x=7. (2)解分式方程，得x=a十10. 该方程的解是非负数，且a一1≤0， [a+10≥0， ∴.{a+10≠2，.-10≤a≤1且a≠-8， a-1≤0， .偶数a=一10，一6，一4，一2,0， ∴.所有满足条件的偶数a的值之和为-10十（一6）十 (-4)+(-2)+0=-22. 10.解：(1)方程两边都乘3(x一3)，得2x十9=3(4x一7) +2X3(x一3)，解得x=3. 经检验，x=3是分式方程的增根， 即原分式方程无解. (2)方程两边都乘(x2-1),得(x十1)2-4=x2-1,解 得x=1. 经检验，x=1是分式方程的增根，.原分式方程 无解. 11.解：(1)设《周髀算经》的单价为x元，则《孙子算经》的 单价为子x元，依题意，得00_600十5，解得=40. 3 x 4 经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意， :是×40=30（元），《周牌算经)的单价为40元， 《孙子算经》的单价为30元 (2)设购买《周牌算经》m本，则购买《孙子算经》(80一 m)本. 依题意得m>2(80-m).解得m≥26号 设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y元. 依题意，得y=40×0.8m+30×0.8(80-m)=8m+ 1920,∴.y随m的增大而增大. 又：m为整数，.当m=27时，y有最小值， .80-27=53(本). 故当购买《周髀算经》27本、《孙子算经》53本时，总费 用最少 3x-1 ≤x+2,① 12.B【解析】2 x+1≥-x十a,② 解不等式①，得x≤5， 解不等式@，得≥” ,不等式组至少有两个正整数解， 不等式组的解架为<<， :不等式组的解集至少有两个正整数解，由解集可 知=4或x=5“号<40<0.第3课时 分三 已课内基础闯关 知识点分式方程的应用 1.(教材变式)端午节期间，某商家推出“优惠 酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售.细 心的小夏发现，降价后用240元可以比降价 前多购买10袋，求每袋棕子的原价.设每袋 粽子的原价是x元，所得方程正确的是 ( A.240、240 =10 x x+2 B.240240 =10 x x-2 '、240240=10 x-2 x D.- 240240 =10 x+2 x 2.某校学生去距离学校12km的博物馆参观， 一部分学生骑自行车先走，过了20min后， 其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达. 已知汽车的速度是学生骑车速度的2倍，汽 车的速度是 () A.0.2 km/min B.0.3 km/min C.0.4 km/min D.0.6 km/min 3.甲、乙两同学进行跳绳训练，甲每分钟比乙 每分钟多跳10下，甲跳160下所用的时间与 乙跳140下所用的时间相等.甲、乙两人每 分钟分别跳多少下？设甲每分钟跳x下，则 可列分式方程为 4.某商场分别用2000元和2400元购进相同 数量的甲、乙两种商品.已知乙商品每件的 进价比甲商品每件的进价多8元，则甲商品 每件的进价为 元 5.(2025扬州，有改动)某文创商店推出甲、乙 两款具有纪念意义和实用价值的书签.已知 甲款书签单价是乙款书签单价的1.25倍， 88 八年级数学BS版 式方程的应用 且用100元购买甲款书签的数量比用128元 购买乙款书签的数量少3个，求这两款书签 的单价. 6.某工程队承接了老旧小区改造工程中1000m 的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A,B 两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半.据测算 需要A,B两种外墙漆各300kg,购买外墙漆总 费用为15000元，已知A种外墙漆每千克的价 格比B种外墙漆每千克的价格多2元. (1)求A,B两种外墙漆每千克的价格. (2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时 粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时 间比甲完成粉刷任务所需时间多5h.问甲 每小时粉刷外墙的面积是多少平方米。 已课外拓展提高 7.某工厂计划生产1500个零件，但是在实际 生产时，….求实际每天生产零件的个数 在这个题目中，若设实际每天生产零件x 个，可列方程为 1500_1500=10,则题日中 x-5 用“……”表示的条件应是 () A.每天比原计划多生产5个，结果延期10 天完成 B.每天比原计划多生产5个，结果提前10 天完成 C.每天比原计划少生产5个，结果延期10 天完成 D.每天比原计划少生产5个，结果提前10 天完成 8.真实情境为传承我国传统节日文化，端午 节前夕，某校组织了包粽子活动.已知七(3) 班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽 子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包 120个粽子所用的时间相同.甲、乙两组同学 平均每小时各包多少个粽子？ 已综合能力提升 9.【问题背景】2025年4月23日是第30个“世 界读书日”，为提供更加良好的阅读环境，学 校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现 需购进20个书架用于摆放书籍. 【素材呈现】素材一：有A,B两种书架可供选 择，A种书架的单价比B种书架单价高20%； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用 9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量 的 【问题解决】 (1)求出A,B两种书架的单价 (2)设购买a个A种书架，购买总费用为心 元，求与a的函数关系式，并求出费用最 少时的购买方案。 (3)实际购买时，商家调整了书架价格，A种书 架每个降价m元，B种书架每个涨价3m元， 按(2)中的购买方案需花费21120元，求m 的值 知识要点归纳 列分式方程解应用题的一般步骤： (1)审：审清题意，弄清已知量和未知量；(2)找： 找出题目中的等量关集；(3)设：根据题意设出未 知数：(4)列：列出分式方程；(5)解：解这个分式 方程：(6)验：检验，既要检验所求得的解是不是 所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符 合实际意义；(7)答：写出答案 下册第五章 89△