5.3.1 分式方程的概念&5.3.2 分式方程的解法-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（北师大版）

1000m+1000n=m十”（元），乙两次购买饲料的平 1000×2 2 800X2=2mm(元). 均单价为800800m十n m 15.解：(1)原式=a+2 a+3_1 a(a+3)a+2a (2)由题意，得口=a+2÷ 1 5 a2+3a÷a(a-2)-a+3 a+2 a(a+3)·a(a-2)- 5 干32二4一5 a十3a+3= (a+3)(a-3) =a-3. a+3 计算技巧专题分式化简求值中的技巧 1.C【解折Ja+=5(a+日）)广=25a2+2+ 4=25,a2+ 1 a23. 2解-a=2(日-)=4，即-2+。=4 +a=4+2=6(+a)-6，即 +2+a 1 =36,.十a=34. 3.解：1)：原式的倒数为（十8++3）÷十3 Nx十2x-2 x2-4 [+”] x+2)(x-2)=x+3 x-2 x+3 x+2 (x+2)(x-2)+x(x+3).(x+2)(x-2=（x-2) x+3 x-2 x+3 十x(.x+2)=x2十3x-2, 1 1=x2+3x-2 (2) a+2025 =2025,.a+2025= 2025 1 2026 六a+2026=a+2025+1=2025+1=2025 1 2025 ·4+20262026 7 y 43【解析】设g中3=k≠0)，x=2,yP 3k,2=4k,原式=3X(2k+2×(3k)2-(4k)2 2k·3k+3k·4k+4k·2k 12k2+18k2-16k214k27 6k2+12k2+8k2-26k2=13 6 变式题29 【解析】：x:y:之=2：3：4，.设x= 2a(a≠0)，则y=3a,x=4a,∴.原式= 2a·3a+2×3a·4a-3×2a·4a_6a26 (2a)2+(3a)2+(4a)2 29a2=29 5.A【解析】x2十x-2=0,.x2+x=2, 原式-8号- 6.解：m2+2m一1=0，.m2+2m=1, 430 八年级数学BS版 原式=m+2》.m(m2》=m+2m=1. m-2 m+2 7.解：xyg=1,x≠0，y≠0,2≠0， xy 'yz+y+1 zyz+ry+x zy+x+1' xyE x之十之+1xy·x之十xyz十xyxy十x+1 y+x+1Ty+x+1+xy+r+=1. .原式= xy 3分式方程 第1课时分式方程的概念 1.C263.D4B5.A6. 300300 1.25=3 7解：由题意，得2-1-2、 9+x5 12-x2 即x满足的分式方程为9十元=5 第2课时分式方程的解法 1.A 2.D【解析】方程两边都乘x(x+3),得x+3=5x, 3 3 解得x=子，检验：当x=时，x(x+3》≠0. 故工=是原分式方程的解。 3 37【解桥由题意，得十2二1去分母，得3(x 1)=2(x十2).去括号，得3x一3=2x十4.移项，得3x 一2.x=4十3，解得x=7.经检验，x=7是原分式方程 的解. 12 变式题 2 【解析】根据题意，得，一2十2-3=0.方 程两边都乘(5-x)(2-3.x),得2-3.x十2(5-x)=0, 解得吕经检验-号是原分式方程的解。 12 4.解：(1)方程两边都乘x(2x+1),得2x+1=3x. 移项，得2x一3x=一1. 合并同类项，得-x=一1. 系数化为1，得x=1. 经检验，x=1是原分式方程的解， 5 1 (2)原方程变形为xx十Dx(x-D=0, 方程两边都乘x(x+1)(x一1)，得5(x一1)一(x十1) =0.去括号，得5.x-5-x-1=0. 移项、合并同类项，得4x=6. 3 系数化为1，得x=2 经检验=是原分式方程的解 5.D【解析】原方程两边同乘(x-2),得一(3一ax)=a 一(x-2). 化简，得ax一3=a-x十2，即(a十1)x=a+5. 当整式方程无解，即a十1=0且a十5≠0时，a=-1, 此时方程无解； 当解为增根，即x一。十2时，解得a=3,此时 使原分式方程分母为零，无意义. 综上，a的值为-1或3. 6.x=4 变式题一1【解析】方程两边都乘(x一3)，得2一x一 m=2(x一3).原分式方程有增根，∴x-3=0,解得 x=3.把x=3代人2-x-m=2(.x-3),得2-3-m =0,解得m=一1. 7.x=0【解析】方程两边都乘x(x一2)，得3.x=a(x一 2)十4.，该分式方程有增根，.x(x一2)=0，.x=0或 x=2.当x=0时，a=2;当x=2时，6=4，不成立，∴.x ≠2.故该分式方程的增根为x=0. 8.解：将该分式方程两边都乘(x+2)(x一1)，得2(x十2) +mx=x一1，整理，得(m+1)x=一5. (1)根据题意可知，x=1是方程(m十1)x=一5的根， ∴.1+m=一5，解得m=-6. (2)根据题意，得该方程的增根为x=一2或x=1, .方程(m十1)x=一5的根为x=一2或x=1, ∴.-2(m+1)=-5或1十m=-5, 解得m=1.5或一6. (3)根据题意可知，m十1=0或该方程有增根， .结合(2)可知m=一1或1.5或-6. 9.A【解析】原方程去分母，得x十1一mx=0.移项，得 x-mx=一1.合并同类项，得(1一m)x=一1.两边都 除以1一m,得x= m一“关于x的分式方程 1 ,=0的解是负数，m-1<0且m-1≠-1，解得 m<1且m≠0. 变式题-1【解析1方程号-3一可化为 =3十学去分母，得x=3(x-10十mx.去括号，得 x=3x一3十m.x.移项、合并同类项，得(2十m)x=3, 3 解得x一2十m·由方程的解是正整数，得x为正整数， 即2+m=1或2+m=3,解得m=一1或m=1(m=1 时分式无意义，舍去) 10.1 11.解：(1) (2)方程两边都乘(2x一1)，得x一2=3(2x一1)， 解得=号检验：当x时2：-1≠0 故x=号是原分式方程的解。 12.解：(1)方程两边同乘(x十3)(x一3)，得2(x十3)十 m.x=5(x一3)，解得x= 引0由愿意得>0， 21 3-m ≠±3，.m<3且m≠-4. (2)3或10或-4.【解析】(2)由(1)得2(x+3)+ mx=5(x一3，由题意，得3-m=0或21=士3， 3-m 解得m=3或m=10或m=一4. 13.解：(1)点A,B在数轴上，它们对应的数分别为 一2，x十2心点A到原点的距离为2，点B到原点的 距离为千2：点A,B到原点的距离相等心千2 =2,解得x=一4. 经检验，x=一4是原分式方程的解， ∴x的值为-4. (2)点A,B到点C的距离相等， 点C必在点A,B之间， 1 .AC=2x+4 (-2),BC= x+22x+4 1 1 六x十22x十42x十4（-2)，解得x=-5, 经检验，x=一5是原分式方程的解， .x的值为-5. 第3课时分式方程的应用 1.C 2.D【解析】设学生骑车的速度是xkm/min,则汽车的 速度是2xkm/min,由题意，得，-20=2，解得xs 0.3.经检验，x=0.3是原分式方程的解，且符合题意， ∴.2x=0.6.故汽车的速度是0.6km/min. 3.160140 xx-10 4.40 5.解：设乙款书签单价为x元，则甲款书签单价为1.25x元. 由题意得028解得-16 经检验，x=16是原分式方程的解，且符合题意， ,.甲款书签单价为1.25×16=20（元）. 答：乙款书签单价为16元，甲款书签单价为20元 6.解：(1)设A种外墙漆每千克的价格为x元，则B种外 墙漆每千克的价格为(x一2)元. 根据题意，得300x十300(x一2)=15000， 解得x=26,∴.x一2=24. 故A种外墙漆每千克的价格为26元，B种外墙漆每 千克的价格为24元. (2)设甲每小时粉刷外墙面积为ym,则乙每小时粉 4 刷外墙面积是5ym, 根据题意，得50 -5=500 4 解得y=25. y 5y 经检验，y=25是原分式方程的解，且符合题意。 故甲每小时粉刷外墙的面积是25m2 7.B【解析】，实际每天生产零件x个， 实际生产1500个零件的天数为1500. x 2001500=10可知，1500为计划生产零件的 x-5x 数，计划天数一实际天数=10， ∴.计划每天生产零件(x一5)个，.实际每天比计划多 生产5个，结果提前10天完成. 下册参老答案 313 分 第1课时 分 色课内基础闯关 知识点①分式方程的概念 1.下列关于x的方程是分式方程的是( A.x十1=2 B.VFT 2 3 x c=2 3 D. -=2 aF 知识点② 分式方程的根 2.若x=4是分式方程工=x一3的根，则Q 的值为 知识点③根据实际问题列分式方程 3.(2025桂林模拟)某班级开展活动共花费 2300元，但有4位同学因时间冲突缺席.若 总费用由实际参加的同学平均分摊，则每人 比原来多支付4元.设原来有x人参加活 动，由题意可列方程为 () A.2300-230+4B.2300+4=2300 x十4x ”x十4 C.2300=2300 4D. 2300. 2300 -十4= x-4 x-4 4.小宇妈妈上午在某水果超市买了16.5元的 葡萄，晚上散步经过该水果超市时，发现同 一批葡萄在打七五折降价处理，小宇妈妈又 买了16.5元的葡萄，结果恰好比早上多了 0.5kg.若设该水果超市早上葡萄的价格是 x元/kg,则可列方程为 () A.16.5=16.5 x+0.50.75.x B.16.5+0.5= 16.5 0.75.x c品 D.16.5-0.5= 16.5 0.75x 式方程 式方程的概念 已课外拓展提高 5.古代数学文化(2025菏泽模拟)“孔子周游列 国”是流传很广的故事.有一次他和学生到离他 们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发 1h后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的 1.5倍，孔子和学生们同时到达书院.设学生每 小时步行x里，则可列方程为 A.30-30+1 B. 301.5 +1 x1.5x x1.5x+1 C.30-30-1 30 30 x=1.5x D.= x1.5x-1 6.某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一 处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活 动.据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是 菜苗基地的1.25倍，用300元在市场上购买 的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆.设 菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，则可 列方程为 7.小明家原来有12公顷地种植粮食，9公顷地 种植西瓜.为了增加经济收入，计划将部分 种植粮食的地改为种植西瓜，使得粮食的种 植面积与西瓜的种植面积之比为2：5.设有 x公顷种植粮食的地改为种植西瓜，那么x 满足怎样的分式方程？ 知识要点归纳 1.分母中含有未知数的方程叫作分式方程.如 x +1=0. 2.分式方程的两个重要特征：一是方程；二是分 母中含有未知数， 下册第五章 85/ 第2课时 分 已课内基础闯关 知识点①分式方程的解法 1.解分式方程1 5 3x一1=一2-62时，去分母 变形正确的是 () A.2-6x+2=-5B.6x-2-2=-5 C.2-6x-1=5 D.6x-2+1=5 2.分式方程上=5 2x十3的解是 ( 3 A.3 B.2 C.2 p. 3代数式，2与代数式，名7的值相等则 2 变式题当x= 时，分式5一 2 与分式2-3x的值互为相反数. 4.解下列分式方程： 5 (2) 1 x2+x x2-x 三0 486 八年级数学B$版 式方程的解法 知识点②分式方程的增根 5.12025遂宁)若关于x的分式方程3- -2一1无解，则a的值为 a () A.2 B.3 C.0或2D.-1或3 6.若关于x的分式方程一4一4-x 1 m =1(m为 常数)有增根，则增根是 变式题若关于x的分式方程2。十 x-3 工十m=2有增根，则m的值为 3-x 7.若关于x的分式方程3=“+4 x-2xx(x-2) 有增根，则该分式方程的增根为 已知关于x的分式方程二 mx 1 (x-1)(x+2)x+2 (1)若该方程的增根为x=1,求m的值. (2)若该方程有增根，求m的值. (3)若该方程无解，求m的值. 巴课外拓展提高 -0 9.如果关于x的分式方程-m xx+1 =0的解是 负数，那么实数m的取值范围是 A.m<1且m≠0 B.m<1 C.m>1 D.m<1且m≠-1 变式题若分式方程，乙1=3一的解 是正整数，则整数m的值为 10.若方程a=1一x x-22-x 3无解，则a的值是 山.到错题小安在解分式方程2二一2x2 =3的过程中出现了错误，其过程如下： 解：方程两边都乘(2x一1)，得x一2=3， 第一步 解得x=5.第二步 检验：当x=5时，2x一1≠0.第三步 故x=5是原分式方程的解.第四步 (1)小安的解答是从第 步开始 出错的. (2)请写出正确的解答过程. 12.已知关于x的分式方程一3十x2-9 2 5 x十3 (1)若这个方程的解是正数，请求出m的取 值范围。 (2)若这个方程无解，请你直接写出m 的值. 已综合能力提升 13.如下图，点A,B在数轴上，它们对应的数 分别为-2，千2 (1)若点A,B到原点的距离相等，求x的值. (2)若点C在数轴上对应的数为2x十4且 点A,B到点C的距离相等，求x的值. -20 知识要点归纳 1.解分式方程的一般方法和步骤：(1)去分母； (2)解整式方程：(3)检验」 2.若分式方程化为整式方程后，所求得的值使最 简公分母的值为0，则这个值是原分式方程的 增根。 下册第五章 87△