1.3.1 直角三角形的性质与判定-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（北师大版）

3直角 第1课时直角三 课内基础闯关 知识点①直角三角形的性质 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则 ∠A的度数为 A.34° B.44° C.124° D.134 2.跨物理学科如图，平面镜MN放置在水平 地面CD上，墙面PD⊥CD于点D,一束光 线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB, 点B在PD上.若∠AOC=35°，则∠OBD 的度数为 A.35 B.45 C.55° D.65° C M O N 第2题图 第3题图 3.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°， 分别以AC,CB为边向外作正方形ACDE 与正方形CBGF.若图中两个正方形的面积 之和S1十S2=36,则AB= 知识点②直角三角形的判定 4.(2025抚州临川区月考)△ABC的三边分别 为a,b,c,下列条件不能判断△ABC为直角 三角形的是 ( A.a=b=√2，c=2 B.∠A=∠B+∠C C.(b+c)(b-c)=a2 D.∠A:∠B:∠C=3:4:5 5.如下图，在边长为1的小正方形组成的网格 中，△ABC的顶点A,B,C恰好在格点（网 三角形 角形的性质与判定 格线的交点)上.判断△ABC的形状，并求 △ABC的面积. 知识点③互逆命题 6.(2025合肥瑶海区月考)下列命题的逆命题 是假命题的是 () A.等腰三角形的两底角相等 B.全等三角形的对应角相等 C.直角三角形两条直角边的平方和等于斜 边的平方 D.三个角都是60°的三角形是等边三角形 7.(1)如下图，直线AB,CD,EF被直线BF所 截，∠1=∠2，∠3=∠4.求证：∠1=∠F. (2)你在(1)的证明过程中应用了哪两个互 逆的真命题？ 下册第一章 15△ 已课外拓展提高 8.一个直角三角形的斜边长和一条直角边长 是两个连续的偶数，另一条直角边长为10， 则斜边长为 ( A.18 B.24 C.26 D.32 9.如图，在△ABC中，∠ACB =90°，将△ABC沿CD折 D 叠，使点B恰好落在AC边 第9题图 上的点E处.若∠A=24°，则∠EDC= 10.如下图，在△ABC中，∠A=30°，∠B= 60°，CE平分∠ACB交AB于点E. (1)求∠ACE的度数. (2)若CD⊥AB于点D,F 是CE上一点，且∠CDF= ED 75°.求证：△CFD是直角三角形 已综合能力提升 11.创新意识小颖在学习过程中，对一个有趣 的问题做了如下探究： 【问题回顾】(1)如图①，在△ABC中， ∠ACB=90°，AE平分∠BAC,CD是AB 边上的高，AE,CD相交于点F.求证： ∠CFE=∠CEF 【变式思考】(2)如图②，在△ABC中，若点 D在AB上，∠ACD=∠B,∠BAC的平分 线AE交CD于点F,则∠CFE与∠CEF 还相等吗？请说明理由。 16 八年级数学BS版 【探究延伸】(3)如图③，在(2)的条件下， △ABC的外角∠BAG的平分线所在的直 线MN与BC的延长线交于点M.试判断 ∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由. G CE B 图① 图② 图③ 知识要点归纳 1.直角三角形的性质：(1)直角三角形的两个锐 角互余；(2)直角三角形两条直角边的平方和等 于斜边的平方（勾股定理） 2.直角三角形的判定：(1)有两个角互余的三角 形是直角三角形：(2)如果三角形两条边的平方 和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角 三角形. 3.互逆命题和互逆定理：(1)在两个命题中，如果 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结 论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，如果 把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就 称为它的逆命题；(2)如果一个定理的逆命题经 过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一 个定理称为另一个定理的逆定理。3.解：(1)如图①，△ABC即为所求（答案不唯一）. (2)如图②，△ABD即为所求. 图① 图② 4.解：(1)如图，△ABC即为所求， [al B .1. (2)Sm=6×4-号×6×2-2×4X2 1 2 ·×4×2 =10. 5.解：（答案不唯一）(1)如图①，△ABD即为所求. (2)如图②，△ADF即为所求. 图① 图② 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 1.A2.C3.64.D 5.解：根据题意可得，AB=√2+4=2√5， AC=√22+1℉=5，BC=√4+32=5， ∴.AB+AC2=BC2, ∴△ABC为直角三角形，∠BAC=90°， 六△ABC的面积为2AB·AC=5. 6.B 7.解：(1)证明：∠1=∠2，.AB∥CD. ∠3=∠4，∴.EF∥CD,.EF∥AB,.∠1=∠F (2)应用了“同位角相等，两直线平行”和“两直线平行 同位角相等”这两个互逆的真命题. 8.C 9.69°【解析】，∠ACB=90°，∠A=24°， ..∠B=90°-∠A=66°. 由折叠的性质，得∠CED=∠B=66°，∠ECD= ∠ACB=45,·∠EDC=180°-∠ECD-∠CED 1 =69°. 10.解：(1)在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°， .∠ACB=180°-30°-60°=90°. .CE平分∠ACB, 1 ·∠ACE=∠BCE=2∠ACB=45, (2)证明：CD⊥AB,∠B=60°， ∴.∠BCD=90°-60°=30°， .∴.∠DCF=∠BCE-∠BCD=15°. :∠CDF=75°，∴.∠CFD=180°-75°-15°=90°， .△CFD是直角三角形. 11.解：(1)证明：：∠ACB=90°， ∴.∠CAE+∠CEF=90° CD是AB边上的高，∴.CD⊥AB, ∴.∠BAE+∠AFD=90°. AE平分∠BAC,.∠CAE=∠BAE, ∴.∠CEF=∠AFD. ,∠CFE=∠AFD,∠CFE=∠CEF, (2)相等.理由如下： AE平分∠BAC,∴.∠CAE=∠BAE. ,∠CFE=∠ACD+∠CAE,∠CEF=∠B+ ∠BAE,∠ACD=∠B, .∠CFE=∠CEF (3)∠M+∠CFE=90°.理由如下： .AE,AN分别平分∠BAC,∠BAG,∠BAC+∠BAG =180∠EAN=2(∠BAC+∠BAG)=0, ∴.∠EAM=90°，.∠M+∠CEF=90°. 由(2)，得∠CEF=∠CFE,∴∠M十∠CFE=90°. 第2课时直角三角形全等的判定 1.A2.D3.A 4.解：D在R△ACD和R△AED中，ADAD ∴.Rt△ACD≌Rt△AED(HI),∴.DC=DE=3. (2).∠B=30°，.∠BAC=60°. 由(1)知，Rt△ACD≌Rt△AED, ∴∠CAD=∠EAD=∠BAC=30. ..AD=2CD=6. 在Rt△ACD中，由勾股定理得AC=√AD-CD?= 3V5,∴.AB=2AC=63, 1 1 .S△Am=2AB·DE=2X6V5X3=95. 5.D6.10 7.解：由画图可知，∠ABC=∠A'B'C=90°，BC=BC, AC=A'C',∴.Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL). 8.C【解析】如图，过点A作AD⊥BC于点D,过点A' 作A'D'⊥B'C于点D'. ∠B=∠B'=30°，AB=A'B'=6,AD=A'D'=3. 依题意，可分以下四种情况讨论： 图① 图② B' C'D' 图③ 图④ ①当点B,C在点D的两侧，点B',C在点D的两侧 时，如图①②. AC=A'C'=4,AD=A'D'=3, .Rt△ACD≌Rt△A'C'D'(HL),.∠C'=∠C=n°； ②当点B,C在点D的两侧，点B',C在点D'的同侧 时，如图①③. 下册参考答案 7