重点强化3 利用导数研究不等式-【金试卷】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册&选择性必修第三册同步单元双测卷（人教A版）

所以工.=6+g++…+6.=(13)+(313-）+…十 (1-1）=11 3n1一3m+1-1)=2一3m+1-1 选择条件③：bn=(-1)n·log3a2m+1=(-1)”·(2n十1)，当n为偶数时，Tm=(b1十 b2)+(b3十b4)+…+(bn-1+bn)=(-3+5)+(-7+9)+…+[-(2n-1)+(2n +1)]=2×号=元 当n为奇数时，Tm=b1+(b2十b3)+(b4+b5)+…+(bn-1+bn)=-3+(5-7)+ (9-11)+…+[(2m-1)-(2m+1)]=-3+(-2)×"2号=-n-2. 2 岭上清递，数列6，的简n项和T。一巴为药寺数 重点强化3利用导数研究不等式 l.B存在x∈[-3,3]，使得f(x)≤a成立，等价于f(x)min≤a. f)=-32-4红+4=-3(e-号)x+2),令f()=0,得z=号或=-2，当 x<-2或>号时，x)0,当-2<<号时，fx)>0,所以当x=-2时，fx) 取得板小值，为f(-2)-8,当x=号时，f()取得模大值，为f(号）=铝当x= 一3时，f(一3)=一3，当x=3时，f(3)=一33，所以f(x)的最小值为一33，所以a≥ 一33，故选B. 2.A令g(x)=x-f(x),则g(x)=e2-(a-1)x. 若a=1,则g(x)=e>0,f(x)≤x成立. 若1<a1十e,则g(x)=e一(a-1). :当x<ln(a-1)时，g'(x)<0;当x>ln(a-1)时，g'(x)>0. .g(x)在(-o∞，ln(a-l)上单调递减；在(ln(a-1),十∞)上单调递增. ∴.g(x)≥g(ln(a-1)=ena-1D-(a-1)ln(a-1)=(a-1)[1-ln(a-1)]. 又1<a≤1+e→e≥a-1>0,ln(a-1)≤lne=1,∴.(a-1)[1-ln(a-1)]≥0. .g(x)≥0，即f(x)≤x恒成立. 综上，当l≤a≤1+e时，f(x)≤x.故选A 3.A令g)=f四(x>0),则go=tf)-2afd=f)2fm(>0. xf(x)>2f(x),∴.g'(x)>0,.g(x)在(0，+o∞)上单调递增，g(2021)<g(2 022),即f202<f2022,20212f(2022)>2022f(2021).故选A. 20212 20222 4.D对于A,令f(x)=x-sinx,x∈(0，)，由f(x)=1-cosx>0,则f(x)在 (0,)上单调递增，则f(x)>f(0)=0→x-sinx>0→x>sinx,不等式成立， 对于B,令f)=x1-1nx,xe0,十∞)，则fx)=1--,当xE(0,D x 时，f(x)<0,f(x)单调递减，当x∈(1，十o∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增，则f(x) ≥f(1)=0→x-1-lnx≥0→x-1≥lnx,不等式成立； 对于C,令f(x)=ex一x一1，x∈R,由f(x)=ex一1，当x∈（一∞，0）时，f(x)<0, f(x)单调递减，当x∈(0，十∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增，则f(x)≥f(0)=0→ ex-x-1≥0，不等式成立； 对于D,令f(x)=lnx+1-e2,x∈(0，+∞)，当x=1时，f(1)=1-e<0,所以不等 式不成立.故选D 5.B3x1,x2∈R,使得f(x2)≥g(x1)成立，则f(x)max≥g(x)min,由题得f(x)= -e-1+(1-x)ex-1=-xex-1,当x>0时，f(x)<0,当x<0时，(x)>0,所以 函数f(x)在（一∞，0）上单调递增，在(0，十∞)上单调递减，所以f(x)max=f(0)= 是，易知gxm=g-1D=a,a≤故选B 6.A由题意，函数f(x)=2x+sinx的定义域为R,关于原点对称，且f(一x)= 一f(x),所以函数f(x)为奇函数，因为f(x)=2十cosx>0,所以函数f(x)为R上 的增函数，若f(血x+是)+f-1D≥0时任意x(0,2]恒成立，则f(血x+是)≥ f(1)对任意x∈(0,2]恒成立，即lnx十2≥1对任意x∈(0,2]恒成立，即a≥x xlnx对任意x∈(0,2]恒成立，设h(x)=x-xlnx,x∈(0,2]可得h'(x)=一lnx,当 0<x<1时，h'(x)>0;当1<x≤2时，h'(x)<0,所以h(x)在(0,1)上单调递增，在 68参考答案 (1,2]上单调递减，所以h(x)max=h(1)=1,所以a≥1，即实数a的取值范围为 [1,十∞).故选A. 7.Dxa=ehr=ealn,.原不等式即为er-x≤eamx-alnx,a>0且x>l, .alnx>0,设y=e2-x(x>0),则y'=e-1>0,故y=e2-x在(0，十o∞)上是增 函旅alh,中≥会中存在1，十e),使≥2a≥（后）设 fx)=2>10,则f)=h,当x∈(1，e时，f(x)<0,当r∈(e,十o) In2x 时，f(x)>0,.f(x)在(1，e)上单调递减，在(e,十o)上单调递增，·f(x)min= f(e)=e,∴.a≥e..a的最小值为e.故选D. 8.A当a≤0时，f(2)=ae2一1<0，不满足题意，舍去，所以a>0. 令fe)-ae-la-1D-1>1D,则f）-ae-六片[ax-) ex],令g(x)=a(x-1)-ex,则g(x)=a十ex>0,则g(x)在(1，十o∞)上单调 递增，易知g1)=-日<0，g(1+)>0,所以存在唯-o∈(1,1+)使得8 （a）-0,pa。-1D-则a0当ze1)时，ge)0.则了a 0,f(x)单调递减，当x∈(x0,十∞)时，g(x)>0,则f(x)>0,f(x)单调递增，所以 fm=fa)=ae6-a(。-1)-1=la(,-1D-1≥0恒成立. 金h()h(红=D-l,zE1,+o）,则h)D20,所以h 在(1，十∞)上单调递减，又h(2)=0,所以f(x0)≥0台h(x0)≥h(2),所以1<xo≤2. 又因为a=,0-D,且p(x）=D在1,2]上单调递成，所以a∈ [3+o)故选A 9.ADA递项，周为>-1，令1=十1>0，/)=n+1,周了=日月 =号，所以室0心1时)=分<0，中单是减 2 当>1时，f(0)-学>0，即了)单调遥增，所以f0)m=f1)=0,即f0) 1n叶-1≥0，即n≥月，即1n(+1D≥千>-1海成立，故A正璃： B选项，令fx)=1nx-(e-）,x>0,则f(x)=-合(1+)= 2z=-1=-x21)<0显然恒成立，所以f(x)=lnx-2(x-）在x>0上 2x2 2x2 单调运减，又f1)=0,所以当x∈(0,1)时，f(x)>寸(1)=0，即mt>号 (2-),故B错， C选项，令f(x)=ex一x一1，则f(x)=ex-1,当x>0时，f(x)=ex一1>0，所以 ∫(x)单调递增； 当x<0时，f(x)=e-1<0,所以f(x)单调递减，则f(x)≥f(0)=0,即e≥x 十1恒成立，故C正确； D选项，令f(x)=cosx-1+号2，则f(x)=-sinx十x,令h(x)=f()=-8in x十x,则h'(x)=-cosx十1≥0恒成立，即函数f(x)=-sinx十x单调递增，又 f(0)=0,所以当>0时，f(x)>0,即f(x)=c0sx-1十7：2单调递增， 当z<0时，f(x)<0,即f(x)=c0sx-1+号2单调递减，所以f(x)n=f(0) =0,因此c0s≥1-号2恒成立，故D正魔.故选ACD l0.CD易知函数f(x)=ex-1在(0，e)上单调递增，又0<x1<x2<e,所以f(x1)< f(x2),(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,A不正确； 取x1=1,x2=2,则x2f(x1)-x1f(x2)=2(e-1)-(e2-1)=e(2-e)-1<0,即 x2f(x1)<x1f(x2),B不正确； 令g(x)=f(x)-x,x∈(0，e),则g'(x)=e2一1>0，所以g(x)在(0，e)上单调递 增，又0<x1<x2<e,所以g(x1)<g(x2),即f(x2)-x2>f(x1)-x1,即f(x2)- f(x1)>x2-x1,C正确； 1)f-单-1>·e-1=e中-1-f(色)D正确，故 2 2 选CD. 11.BCD由题意，x2>1>0,得2-1>0，则1l血2二2l血西<2 x2一1 等价于x1lnx2-x2lnx1<2(x2-x1),即x1lnx2+2x1<x2lnx1+2x2,所以 m+2)<m1十2》，则血+2n+2,令f0)=n+2(x>0),可 2x1 得f(x2)<f(x1),又x2>x1>m,所以f(x)在(m,十o∞)上是减函数，所以f(x)= -n<0(x>m）,解得x≥，则m≥是，故选BCD, x2 12.AB对于A,令g(x)=xf(x),则g'(x)=f(x)十xf(x)>0,故g(x)在R上单调 递增，所以1X了<2X2,即四<2，故A中说法候误， 对于B,令A(x)=fD,则hK()=f)f,因为当x>0时，zf()-fx) <0,所以K()=工f)f)<0,即h(z)=fe在(0，十0)上单调递减，所以 hIn2)>h(e),即fn,2>f@,故ef(n2)>1n2·f(e),故B中说法错误； In 2 e 对于C,令M(x)=x2f(x),则M(x)=2xf(x)+x2f(x)=x[2f(x)十xf(x)],所 以当x>1时，M(x)>0,故M(x)在(1，+∞)上单调递增，又M(1)=12×f(1)= 0,所以M(x)>M(1)=0,即x2f(x)>0,所以f(x)>0,故C中说法正确； 对于D,令t(x)=f)+2,则t(x)=Lfx)+2]'e2-c2)yLf)+2] (e2x)2 f(x)-2fx)-4>0,所以t(r)在R上单调递增，因为f(0)=-1,所以t(0)=1, 所以当>0时，t)>1,即f)+2>1,所以fx)+2>e2,故fx)+2>e2:的 解集为(0，十∞)，故D中说法正确.故选AB. 13.解析令x=1,则f(1)=f(-1)十f(1)一1，得f(一1)=1，令x=-1,则f(-1) =f(-1)-f(1)-1,得f(1)=一1，所以f(x)=x2x一1，该函数图象的对称轴为 直线x=合，且该画数图象开口向上，所以当z[0,2]时，f)的最大值为f2)=4 一2-1=1，所以a≤1，即实数a的取值范围为（一∞，1]. 答案(-∞，1] l4.解析由f(x)=aex-1-lnx十lna≥1得aer-1+lna≥lnx+1,两边同时加 (x-l),得elna+x-1+x+lna-1≥lnx十x,即eha+x-1+(x+lna-l)≥lnx 十emr. 设g(x)=x十e,则g'(x)=1十e>0,所以g(x)单调递增，所以lna十x-l>lnx, 即x-lnx+lna-1≥0. 设A()=x-1hx+lna-1,则W()=1-士，所以A(x)在(0,1D上单调递减，在 (1,十o∞)上单调递增，所以h(x)min=h(1)=lna≥0，所以a≥1，所以a的取值范围 是[1，+∞). 答案[1，十∞) 15,解析设f)=nx一2+2剥f)=是吕=，因为a>0,所以当z (0,a)时，f(x)<0,则函数f(x)单调递减，当x∈(a,十∞)时，f(x)>0,则函数 f(x)单调通增，所以f(x)m=f(a)=lna-1≥b,则≤na,令g(a)= a na-1,则g(a)=1-na+1-2-na.由g(a)=0可得a=c2,所以当a∈ a a2 (0,e2)时，g'(a)>0,则函数g(a)单调递增，当a∈(e2+∞)时，g'(a)<a,则函数g @单丙是或所以8ago-血=·即台的展大雀为 e2 1 答案2 16.解析①当x=1时，原不等式不成立 ②当>1时，由x2一a(x-De心<0恰有一个整教解，得e<a怡有一个整 数解 令f=zexe1,+∞)，则f)=-z+2》<0,因光函教f） (x-1)2ex 在区间(1，十∞)上单调递减，易 (z二1)e<不可能只有一个整数解. T2 ③当时，由aC0格有-个基数解，得ze>a给有一个数解 由②易得函数f(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间（一○，0]上单调递增，故 f(x)max=f(0)=0. 又-1D=-号<-1，且zDe>a格有-个整数解，所以f0)>a≥-1D, T2 即-号≤a<0.综上ae[-0） 答案[-号0) 17.证明令g(x)=e-x-1,则g'(x)=e2-1,令g(x)=0,得x=0,当x<0时， g(x)<0,g(x)单调递减，当x>0时，g(x)>0,g(x)单调递增，∴.g(x)≥g(0)= 0,即e2-x-1≥0，.e2≥x十1（当且仅当x=0时，等号成立）.① 含h(e)=x+1-n(z+2),则(x)=1一2牛2（x>-2),易知h(五 (-2,一1)上单调递减，在（一1，十o∞）上单调递增，∴.h(x)≥h(一1)=0，即x十1 ln(x十2)≥0，即x+1≥ln(x十2)（当且仅当x=一1时，等号成立）.② ,①和②中的等号不能同时成立，.由①和②得e>ln(x十2)，即f(x)>0. l8.解(1)函数f(x)的定义域为[0，+∞)，f(x)=2x一2sinx,设g(x)=x-sinx, 则g'(x)=1-cosx≥0，所以g(x)在[0，十o∞)上单调递增，所以g(x)≥g(0)=0, 所以x-sinx≥0，f(x)=2x-2sinx≥0，所以f(x)的单调递增区间是[0，十∞)， 无单调递减区间. (2)证明：由(1)可知fx)≥fK0)=2,即2+2c0s≥2，即c0s≥-合r2+1. 因为a>1,x≥0，所以e>≥e,所以e+c0sx≥e-号z2+1,① 由(l)知x-sinx≥0(x≥0)，所以sinx≤x,2+sinx≤2+x,② 由①©知，要证原不等式成立，即注心-分2+1≥2十x,即证心-2-2-1≥0， z长[0，+o),◆a()=-2r2--1,x∈[0，+o),则h(x)=e-x-1,设 p(x)=e2-x-1,则p(x)=e2-1. 因为x≥0，所以p(x)≥0，所以p(x)在[0，十∞）上单调递增，p(x)≥p(0)=0,即 h()≥0，故h)在[0，十e∞)上单调道增，h(x)≥h(0)=0,所以C-2-2-1 ≥0，故2十sinx≤eaz十cosx. 19.(1)解由题意得，g(x)=x-f(x)=x-alnx-1,其定义域为(0，十∞)，g'(x)=1 =x一，当a≤0时，g'(x)>0在(0，十∞)上恒成立，则函数g(x)在(0，十∞) x x 上单调递增；当a>0时，易得函数g(x)在(0，a)上单调递减，在(a,十o∞)上单调递增 （2)证明设u(x)=A(）-()=e-1-号2-x,则x）=e-x-1,设m( =u(x)=e-x-1,则m'(x)=e2-1,当x>0时，m'(x)>0恒成立，则m(x)在 (0,十o∞)上单调递增，m(x)>m(0)=0,则u(x)在(0，十o∞)上单调递增，∴.u(x) >u(0)=0,'.h(x)一t(x)>0在(0，十∞)上恒成立，即h(x)>t(x). 当a=1时，设()=()-x=2,当x>0时，(x)>0,即(x)>x 设s(x)=x-lnx-1,则(x)=1-1=x1 易得s(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十o∞)上单调递增，s(x)≥s(1)=0, ∴.x≥lnx+l=f(x) ∴.t(x)>x≥f(x),即t(x)>f(x),综上所述，h(x)>t(x)>f(x) 20.解(1)由题意可得f(x)=e一4，当0x<1n4时，f(x)<0,f(x)单调递减，当 ln4<x≤2时，f(x)>0,f(x)单调递增，故f(x)min=f(ln4)=4-8ln2,又f(0) =1,f(2)=e2-8<0,所以函数f(x)在[0,2]上的最大值为1. (2)证明：由题意，只需证明ez一4x+x2+1>0,设F(x)=ex一4x十x2十1，则F'(x) =e-4十2x,设G(x)=F(x),则G'(x)=e十2>0，故G(x)在R上单调递增，又 G(0)=一3<0，G(1)=e-2>0,所以G(x)=0在(0,1)内有唯一解，设为xo,即ex =4-2x0,当x>x0时，F(x)<0,F(x)单调递减，当x>x0时，F(x)>0,F(x)单 调递增，故F(x)min=F(xo)=e2,-4x0十x6+1=x6-6x0十5，x0∈(0,1)，设g(x) =x2-6x十5=(x-3)2-4,x∈(0,1)，易得该函数为减函数，则g(x)>g(1)=0, 故F(x0)>0,故F(x)>0,即曲线y=f(x)在抛物线y=一x2一1的上方. 21.解D由fx)=nx+2-3x,得f(x)=是+2z-3=22-31- x 2z=a=卫D,当x∈(0,2)时，f()>0,f(x)单调道增，当x∈（分1）时， f(x)<0,f(x)单调递减，当x∈(1，+∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增，所以当x= 1时，函数f(x)有极小值，为f(1)=ln1十12-3×1=一2. (2南题意得f)-f)>m-”fa）->f)-2,构 x1 x2 造函数g(x)=f(x)-m=lnx十x2-3x-m,则g(x1)>g(x2),因为对于任意 石1x2∈[1,2]，当1<2时，不等式f(1)-f(x2)>m2二)恒成立，所以函 教g在1,2]上单调递减，即g(x)=+2x-3+≤0在[1,2]上恒成立，即 当x∈[1,2]时，m≤-2x3+3x2-x,设h(x)=-2x3+3x2-x,x∈[1,2]，则(x) =-62+6z-1=-6(x-号）+xE1,2],易知-13<（≤-1<0，所以画 数h(x)单调递减，故h(x)min=h(2)=-6,因此实数m的取值范围为(-∞，-6]. 2.解1)由fx)=lh-x+1,z∈0，+∞)，得fx)=-1=12(>0),当0 <x<1时，f(x)>0,当x>1时，(x)<0,f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+o∞) 上单调递减，.当x=1时，f(x)取得最大值，即f(x)mx=f(1)=0. (2)Hx1∈(0，+∞)，总存在x2∈[1,2]使得f(x)≤g(x2)成立，等价于f(x)max≤ g(x)max,由(1)可知f(x)max=0,问题转化为g(x)mx≥0，即0≤x3-ax在[1,2]上 有解，即a≤x2在[1,2]上有解，a≤4，即a的取值范围为(-∞，4]. (3)证明：由(1)知ln≤x-1,令x=(k>0),则1n≤-1=二”，即n· n nn n是≤<-，即n(货)》”≤-（你）”≤()”+（层）”++（丹）” ≤el-n十e2-+十e-R=e-"-e-·e=e-e-< 1-e 。兰得运 重点强化4导数与函数零点 1.C根据题意，f(x)为偶函数，则其导数f(x)为奇函数，结合函数图象可以排除 B,D. 又由于函数f(x)在(0,1)上存在极大值，则其导数图象在(0,1)上存在零点，且零，点 左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负，结合选项可以排除A,只有C选项符合 题意，故选C 2.D根据题图可知f(一2)=0，故曲线y=f(x)在点（一2，f(一2）)处的切线斜率等 于零，故A错误； f(x)<0在区间(-1,1)上恒成立，故f(x)在区间(-1,1)上单调递减，故B错误； 在x=1附近的左右两侧f(x)<0,故x=1不是极值，点，故C错误； f(x)在区间（一3，一2）上单调递增，在区间（一2,3）上单调递减，故f(x)在区间 (一3,3)内至多有两个零点，D正确.故选D. 3.C由题意得f(x)=3x2-12=3(x十2)(x-2),令f(x)>0,得x>2或x<-2; 令f(x)<0,得-2<x<2,所以函数的单调递增区间为（一∞，一2），(2，十∞)，单调 递减区间为（一2,2），所以函数的极大值为f(一2)=0，极小值为f(2)=一32，当x→ 一∞时，f(x)<0,当x→十∞时，f(x)>0,所以函数的零点个数为2.故选C 4.D因为函数f(x)=4x+3sinx-4cosx,所以f(x)=4+3cosx+4sinx,所以 f"(x)=-3sin x+4cos x. 由"(xo)=3sinx0十4cosx0=0,得3sinx0=4cosx0. 所以f(xo)=4x0十3sinx0-4cosx0=4xo,所以点M在直线y=4x上.故选D. 5.A令ga)=音-合+n2-lh(x+1Dx∈(0，+o,则gx)=号-中xe 1 1 (0,十∞)，当0<x<1时，g(x)<0,当x>1时，g(x)>0,所以函数g(x)在(0,1)上 单调递减，在(1，十∞)上单调递增，所以g(x)>≥g(1)=0,当且仅当x=1时取等号， 所以当z>0时，函数g)=号一之+n2-1h十1D只有-个幸点，即当x>0时， 曲线)=fx)与直线y=号一名十n2有且仅有一个交点，所以当<0时，南线y )与直线=专-+n2漫有交点，所以>≥子故选A 6.B由f(x)=e-号x2-ax,得f(x)=e2-ax y g(a)=x+1 一a,令f(x)=0,得e一a.x-a=0,易知x≠-l, 故a=,e 十1令g(.x)=e +1x≠-1，则g(x)= y=a ez(z+1)-er_xe2 (x+1)2 (z+12x≠-1，当x>0时， g'(x)>0,当-1<x<0或x<-1时，g(x)< 0,所以g(x)在(0，十∞)上单调递增，在（一1,0） 和(-∞，-1)上单调递减，且g(0)=1,x<-1 时，g(x)<0,一1<x<0时，g(x)>1,作出g(x)的大致图象，如图， 因为画教f)=-号2-ax有两个极值点，所以直线y=a与g()-千的图 象有两个不同的交点，由图可得a>l,即实数a的取值范围是(1，十∞)，故选B. D由y>0得y-2,合y>0,得0K✉ 个y 3 <1,令y<0,得x>1,所以f(x)在(0,1)上单调递 增，在(1，十o∞)上单调递减，所以当x>0时，f(x)max 2 =f=名 e 作出函数f(x)的大致图象如图所示， -10 1234x 因为f2(x)-af(x)十a-1=0,即[f(x)-a十1] [f(x)-1]=0,所以f(x)=1或f(x)=a-1,当f -1 (x)=1时，观察图象易知此时只有一个根，要使关于x的方程f2(x)一af(x)十a一1 =0恰有四个不同的实数根，则需要直线y=a一1与f(x)的图象有三个不同的交 点，只需要0<a-1<名，即1<a<e故选D, 8.B设f(x)=e-x2,f(x)=ex-2x,令g(x)=f(x)=e-2x,则g'(x)=e-2, 令g(x)=0,则x=ln2,当x<ln2时，g(x)<0; 当x>ln2时，g'(x)>0,所以g(x)在(-∞，ln2)上单调递减，在(ln2,十∞)上单调 递增，所以当x=ln2时，g(x)取得极小值，也是最小值，为f(x)的最小值，f(x)mim =f'(In 2)=eln 2-2In 2 =2(1-ln2)>0,即f(x)>0在(-∞，十∞)上恒成立，所以f(x)=ex-x2在 (-0,十∞)上单调道增，又f(0)=1>0,f(-1)=】-1<0,所以函数f(x)=e e x2存在唯一的零，点，即方程x2=e2只有1个实根.故选B 9.AC.'f(x)=e2(x2-x-1)+ex(2x-1)=ex(x2十 y个 x-2)=e(x+2)(x-1),.在(-∞，一2)，(1，+∞) 上，f(x)>0,f(x)单调递增，在(-2,1)上，f(x)< 0,f(x)单调递减，f(x)极大值=f(-2)=e2[(-2)2- e (-2)-1]=5e-2,f(x)极小值=f(1)=e(1-1-1)= 一e,故A正确； 当x→-∞时，f(x)→0且f(x)>0,x→十∞时， f(x)→十o∞，且f(x)板大位=5e2>0,f(x)板小位= 一e<0,作出函数f(x)的图象，由图知函数f(x)有2 个零，点，故B错误； 由函数单调性知f(x)在[-2,1]上单调递减，在[1,2]上单调调递增，且f(一2)= 5e2,f(2)=e2(4-2-1)=e2,故当x∈[-2,2]时，函数f(x)的最大值为e2,故C 正确； 方程f(x)=k恰有3个不等实根，可转化为函数f(x)的图象与直线y=k的交点有 3个，由图可得当-e<k≤0时，f(x)=k有2个实数根，故D错误，故选AC. 10.AC:f(x)在区间(0，+∞)上有唯一零点xo,x(e2-1)-lnx-k=0只有一个 根，等价于函数g(x)=x·(e-l)-lnx的图象与直线y=k只有一个交点，g(x) =e-1+e-1=1+(es-2x>0. 易知t(x)=e2-】在区间(0，十o∞)上单调递增，且x→0+时，t(x)→一o∞，c→十o∞ 时，()→十0，存在0，使得e-1=0,当0<x<0时，e-1<0, xo ·g'(x)<0,此时g(x)单调递减； 当x>x0时，e-1>0,g'(x)>0,此时g(x)单调递增. x g≥g)=e-1)-lnw=z(-1）+ha-1-+la=1, 参考答案69重点强化3利用导数研究不等式 1.函数f(x)=-x3-2x2+4x,存在x∈[-3,3]，使得f(x)≤a成 立，则实数a的取值范围是 A.(-3,11) B.[-33,+∞) C.(-∞，-33] D.[2,7] 2.已知函数f(x)=ax-e,当1≤a≤1+e时，则有 A.f(x)≤x B.f(x)≥x C.f(x)< D.f(x)>x 密 3.f(x)在(0，十∞)上的导函数为f(x),xf(x)>2f(x),则下列 不等式成立的是 封 A.20212f(2022)>2022f(2021) 樂 B.20212f(2022)<2022f(2021) C.2021f(2022)>2022f(2021) 孕 D.2021f(2022)<2022f(2021) 4.以下不等式不成立的是 架 内 Ax>sinx,xe(o,） B.x-1≥lnx,x∈(0，+o∞) 不 C.e2-x-1≥0，x∈R D.l1nx+1-e>0,x∈(0，+∞) 製 准 5.已知f(x)=(1-x)e-1,g(x)=(x十1)2+a,若存在x1,x2∈R, 使得f(x2)≥g(x1)成立，则实数a的取值范围为 答 A. C.(0,e) D.[-o 茶 题 6.已知函数f(x)=2x十sinx,若f1nx+)+f(-1)≥0对任意 x∈(0,2]恒成立，则实数a的取值范围为 A.[1,+∞) B.[2,+∞) C.[1,2] D.(1,+∞) 丝 7.已知a>0,若在(1，十∞)上存在x使得不等式e一x≤x一alnx 部 成立，则a的最小值为 B.1 C.2 D.e 8.若关于x的不等式ae一ln(x一1)一1≥0在区间(1，+∞)上恒 成立，则实数a的取值范围为 () 是+) C.[1,+∞) D.[e,+o) 9.(多选)下列不等式中恒成立的有 A.h(x+1)2z平>-1 Bnx≤号(e-2)>0 C.e≥x+1 D.c0sz≥1-7 10.(多选)已知函数f(x)=e-1,对于满足0<x1<x2<e的任意 x1,x2,下列结论中正确的是 () A.(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]<0 B.x2f(x1)>x1f(x2） C.f(x2)-f(x1)>x2-x1 D.f)+r>f色) 11.(多选)若对任意的x1,x2∈（m,十∞)，且x1<x2,都有 xlnx,一，ln乙1<2，则m的值可能是（注e=2.71828…为自 x2一x1 然对数的底数) () A君 ci D.1 12.(多选)已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)是f(x)的导函 数，则以下说法错误的是 () A.若f)+xf(x)>0,则f9≥f2) B.当x>0时，若xf'(x)-f(x)<0,则ef(ln2)<ln2·f(e) C.当x>1时，若xf(x)+2f(x)>0,且f(1)=0,则f(x)>0 D.若f(x)-2f(x)>4,且f(0)=一1，则f(x)+2>e2x的解集 为(0，十∞) 13.设函数f(x)满足：对任意实数x都有f(x)=f(一1)x2十f(1) x一1，若存在x∈[0,2]，使得f(x)≥a成立，则实数a的取值范 围为 14.已知函数f(x)=ae-1一lnx十lna,若f(x)≥1，则a的取值范 围是 15.若Vx>0,不等式1nx-2十a≥b(a>0)恒成立，则b的最大值 为 16.关于x的不等式x2-a(x一1)e<0恰有一个整数解，则实数a 的取值范围是 17.已知函数f(x)=e-ln(x+2),求证：f(x)>0. 18.已知函数f(x)=x2十2cosx(x≥0). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当a≥1时，对任意x∈[0，+o∞)，求证：2+sinx≤er+ cos x. 选择性必修第二册15 19.已知函数f(x)=alnx+1(a∈R). (1)若g(x)=x一f(x),讨论函数g(x)的单调性； (2)若(x)=2x2+x,h(x)=e-1(其中e是自然对数的底 数)，且a=1,x∈(0，+∞)，求证：h(x)>t(x)>f(x). 20.已知函数f(x)=e一4x. (1)求函数f(x)在[0,2]上的最大值； (2)证明：曲线y=f(x)在抛物线y=一x2一1的上方. 16选择性必修第二册 21.已知函数f(x)=lnx十x2-3x. (1)求函数f(x)的极小值； (2)对于任意x1,x2∈[1,2]，当x1<x2时，不等式f(x1)- f(,)>m(二恒成立，求实数m的取值范围。 x1x2 22.已知函数f(x)=lnx-x+1,x∈(0，十∞)，g(x)=x3-ax. (1)求f(x)的最大值； (2)若Hx1∈(0，十∞)，总存在x2∈[1,2]使得f(x1)≤g(x2)成 立，求a的取值范围； (3)证明不等式广+（层）”++()<en∈N).