选择性必修第二册综合检测卷一-【金试卷】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册&选择性必修第三册同步单元双测卷（人教A版）

第三部分 综合检测卷 选择性必修第二册综合检测卷一 测试建议用时：120分钟满分：150分 凿 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) l.曲线y=xlnx在点(e,e)处的切线方程为 A.y=2x-e B.y=-2x-e 密 C.y=2x+e D.y=-x-1 2.某函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是 封 线 昂 内 A.y=el2z B.y=(z2+2)e C.y=T2xl byg 不 3.若x=1是函数f(x)=(x2十ax一1)e(其中e为自然对数的底 数)的一个极值点，则f(x)在区间[一3,2]上的最大值为() 如 准 A.-1 B.5e-2 C.e D.e2 4.中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于60岁时完 成杰作《直指算法统宗》.这是一本风行东亚的数学名著，该书第 答 五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分 之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文为：今 有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成 茶 题 等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石 米？请你计算甲应该分得 ( A.78石 B.76石 C.75石 D.74石 5.设函数f(x)=x(x一1)(x一a),则下列结论错误的是( A当a=一4时，函数fx)在[-1，引上的平均变化率为一是 丝 B.当a=1时，函数f(x)的图象与直线y=一1有1个交点 部 C.当a=2时，函数f(x)的图象关于点(0,1)中心对称 D.若函数f(x)有两个不同的极值点x1,x2,则x1十x2=2x1x2 +号 6.若过点P(一1，m)可以作三条直线与曲线C:y=xe相切，则m 的取值范围是 () B(-&o) C.(0,+∞) D.(-8-) 7.已知y=f(x)为(0，十∞)上的可导函数，且有f(x)+fx)>0, 则对于任意的a,b∈(0，+∞)，当b>a时，有 () A.af(b)>bf(a) B.af(b)<bf(a) C.af(a)<bf(b) D.af(a)>bf(6) 8.已知函数fx)=一2 c0+a十1D,对于任意的xx,∈ (0,)且x<x,都有xf(x)-xf(x)>0成立，则实数a的 取值范围是 () A.(-∞，-3] B.(-∞，3) C.（-∞，-1) D.(-∞，-1] 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给 出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的 得2分，有选错的得0分) 9.已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn,且2a1十3a3=S6, 则下列结论正确的是 () A.a1o-0 B.S1o最小 C.S,=S12 D.S19=0 10.等差数列{an}是递增数列，满足a,=3a,前n项和为Sn,下列 选项正确的是 () A.d<o B.a1<0 C.当n=5时Sn最小 D.Sn>0时n的最小值为8 11.已知等比数列{an}的首项a1>1,公比为q,前n项和为Sn,前n 项积为Tn,函数f(x)=x(x十a1)(x十a2)…(x十a,),若f(0) =1,则 () A.{lgan}为单调递增的等差数列 B.0<q<1 CS。”为单测递增的等比数列 D.使得Tm>1成立的n的最大值为6 12.已知函数f(x)=e一x2,则下列说法正确的是 A.f(x)有两个不同零点 B.f(x)在R上单调递增 C.若函数y=f(x)一lnx十x2在x=x。处取得最小值，则x。∈ (0,1) D.3x∈(0，+∞)，f(x)<1nx-x2+2 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.函数f(x)=alnx十bx2在点(1，f(1))处的切线方程为y=4x 一3，则a= ,b= 14.若曲线y=f(x)=2x-ax十lnx存在垂直于y轴的切线，则 实数a的取值范围是 15.英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出 的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列{xn}满足xm+1= 乙。则称数列工为牛顿数列.如果函数f(x)=2x一 8,数列工为牛顿数列，设a,=加号，且1，>2数列 {am}的前n项和为Sn,则Sn= 16.若函数f(x)=xe一lnx一x一a存在零点，则a的取值范围为 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤) 17.(10分)已知数列{an}满足a1=3,a2=5,且2am+2=3am+1一an, n∈N*. (1)设bn=an+1一an,求证：数列{bn}是等比数列； (2)若数列{am}满足an≤m(n∈N*),求实数m的取值范围. 选择性必修第二册19 18.(12分)设a∈R,函数f)=号-(2a+1r2+(a2+a)z (1)若函数g(x)=f（)(x≠0)为奇函数，求实数a的值； (2)若函数f(x)在x=2处取得极小值，求实数a的值. 19.(12分)已知函数f(x)=ln(x十1)十a,g(x)=e-a,a∈R. (1)若a=0,曲线y=f(x)在点(xo,f(xo)处的切线也是曲线y =g(x)的切线，证明：ln(x,十1)=2o+1 (2)若g(x)一f(x)≥1恒成立，求a的取值范围. 20选择性必修第二册 20.(12分)在①3a2十b2+b4=0,②a4=b4,③S3=一27这三个条件 中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数入存在，求入 的取值范围；若问题中的入不存在，请说明理由. 设等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的前n项和为Tm, ,a5=b1,4Tn=3bn一1(n∈N“),是否存在实数A,对任 意n∈N*都有λ≤Sn? 21.(12分)已知函数f)=nx-千7(a∈R. (1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若函数f(x)存在两个极值点x1,x2,求实数a的取值范围， 并证明：f(x1),f(1),f(x2)成等差数列. 22.(12分)已知函数f(x)=x-ae+1(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a=1时，令g(x)=f(lnx),若函数g(x)的图象与直线y =x十m相交于不同的两点A,B,设x1,x2(x1<x2)分别为点 A,B的横坐标，求证：号<+1<云在区间（®，5）上单调递减。 又f0)=0,f(受)=1-ln(1+)>0,所以当x∈(0，受)时，f(x)>0.从而 f(x)在区间(0，受)上漫有零点. ⑧当x[受x]时，(x)<0,所以f(x)在区间[受x]上单调递减.而f(受) 0)<0,所以f)在区间[受]上有唯一零点 ④当x∈（π，+∞）时，ln(x十1)>1，所以f(x)<0,从而f(x)在区间（π，十∞）上没 有零，点.综上，f(x)有且仅有2个零，点， 20.解1)f(x)=一a=1-a,设y=fc)的图象与直线y=-1相切于P(,-1,则 x x f)=0,所以0=日所以)=（日）=n日-1=-1，所以a=1 (2)f(r)的定义域为(0，十o),f(x)=1-a延，当a≤0时，f(x)>0在(0，十∞)上恒成 立，所以f(x)在(0，十∞)上单调递增，不可能有两个零，点，与已知矛盾，因此α>0. 由∫(x)>0,得0<x<,由∫(x)<0,得x>】,所以f(x)在(0，)上单调递 增，在（日，十o∞）上单调递减，所以f(x)报大位=f(日）=-lna-1>0,即1na< -1,所以a∈(0，是)，此时>e,又f1)=-a>0,f(日)>0，所以f(x)在 (1,)上有一个零点. 令g(x)=x2-e,则g'(x)=2x-e,令t(x)=g'(x),则t'(x)=2-e,因为t(x) <0在(e,十∞)上恒成立，所以g'(x)=2x-er在(e,十o∞)上单调递减，所以g'(x) <2e-e<0,所以g(x)=x2-e在(e,+∞)上单调递减，所以g(日)<g(e)=e2 -<0,fe)=日-ae 1 <0,所以fx)在（日2）上有一个零点。 a 综上，若画教f)有两个零点，则实教a的取值范国为(0，日） 21.证明(1)f(x)的定义域为(0，十∞). f)-2+lnx-1=nx-子 因为y=lnx在(0，十∞)上单调递增，y=1在(0，十∞)上单调递减，所以(x)在 (0,十∞)上单调递增. 又f1)=-1<0,了(2)=n2-是血>0，故存在唯-∈1,2)，使得 2 f(x0)=0. 又当x<x0时，f(x)<0,f(x)单调递减，当x>x0时，f(x)>0,f(x)单调递增， 因此，f(x)存在唯一的极值点. (2)由(1)知f(xo)<f(e)=-2,又f(e2)=e2-3>0,所以f(x)=0在(x0,+∞) 内存在唯一实根x=a 由>>1得g1又（日）=（日-是日1=t@=0, 故。是f()=0在(0，x)的唯一实根. 综上，f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数。 2.解(1)()=(D-1+1=-1)Ce+)(x>0,0<<1时，(x) <0,x>1时，f(x)>0,∴.f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， .f(x)min=f(1)=e+1-a,又f(x)≥0，.f(x)min≥0，∴.e+1-a≥0，∴.a≤e +1. (2)证法一：由(1)可知f(x)min=f(1),∴.不妨设0<x1<1<x2,要证x1x2<1,只 需证14<，由D知x)在1，十∞)上单润递增只需证f)f()》, 又fxg)=f只需证fx)f()水*). 设gx)=fx)-f()0<x<1),则g1)=f(1)-f1)=0, 易知g-f+f(2）·是-+田+-2+应o<<. 即g(x)=x-1)(e+x-1-xe(0<<1). 设am)=e+x-1-xe,易知(xey=e2(1-）,0<r<1时，e(1-)< 0,∴.y=xe在(0,1)上单调递减，则h(x)在(0,1)上单调递增，且h(1)=0,.0<x <1时，h(x)<h(1)=0,g'(x)>0,g(x)在(0,1)上单调递增，g(x)<g(1)= 0,即0<x<1时，f(x)<f()成立，（￥）式成立，x1x2<1成立. 证法二：f(x)=g-lnx十x-a=e-hx十x-lnx-a,设t=x-lnx, x 则y=e+t-a,y=e+1. f(x)有两个零点x1,x2,.由(1)知a>e十1. y'=e+1>0,y=e+t-a为增函数，∴.x1-lnx1=x2-lnx2. ∴.x2-x1=lnx2-lnx1. 不坊设0④<1<，可以证明n名品2则有/④<1，所以x12< n二>12等价于>hg, 证明如下：“n2-ln西 √/x1x2 x2一1 只儒证1>ln2」 /x2 ”x1 NI1 设m=2(m>1）,从而只要证m>1nm(m>1). 1 √m 设s(m)=m-是1-1nm(m>1). √m 则，(m)=2m-m+1-1=(m-1)2 2mvm,m2m√m, ,s'(m)>0,.s(m)在(1，+∞)上单调递增， .s(m)>s(1)=0,心nx2-1n方 x2-1>√c1x2成立. 故x1x2<1. 第三部分综合检测卷 选择性必修第二册综合检测卷一 l.Ay=lnx十1，则曲线在点(e,e)处的切线斜率lne十l=2,所以切线方程为y-e =2(x一e),即y=2x一e,故选A. 2.C对于A,B选项，当x<0时，y均小于0，与图象不符； 对子D选项-2，故y-三在(0,2)上单调造减，在2，十0)上单润道增， e2 当x=2时，ymin=>1.5,与图象不特，故排除A,B、D,故选C 3.Df(x)=(2x十a)ex+(x2+ax-l)ex=[x2+(a+2)x+a-l]·e,由x=1是- 个极值点可得f(1)=(1十a十2十a-1)e=0,解得a=-1,此时f(x)=(x2十x- 2)ex=(x十2)(x一1)ex,故f(x)在（一2,1）上单调递减，在(-∞，一2)，(1，十∞)上 单调递增，满足x=1是一个极值点.f(-2)=5e-2,f(2)=e2,e2>5e-2,故f(x)在 区间[一3,2]上的最大值为e2.故选D. 4.A今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，设他们分得的米数构成等差数列 {an,只知道甲比丙多分三十六石，因此公差d=?二a=一，36--18，则前3项和 3-1 2 S,=3a1+32×(-18)=180,解得a1=78.所以甲应该分得78石，故选A 5,C对于A,当a=-4时)=-1D(+4)在[-1，]上的平均度 化奉为号)×多-（一1)X2X39,故A中结论正确 含-(-D 4 对于B,当a=1时，f(x)=x(x-1)2=x2-2x2+x,则f(x)=3x2-4x十1=(3x 1Dx-1),令f(x)=0,得x=号或x=1,…当x>1或x时，(x)>0,当号< x<1时f)<0f)在(-0，号)和(1，十o∞)上单调道增，在（号1）上单钢 通减，又f(号）厂务f1)=0,当x一-∞时，fx)-0,方程fx)=-1有- 个实数根，故B中结论正确； 对于C,当a=2时，f(x)=x(x-1)(x-2)=(x-1)[(x-1)2-1]=(x-1)3- (x-1),则f(x)十f(-x)=(x-1)3-(x-1)十(-x-1)3-(-x-1)=-6x2≠2， .f(x)的图象不关于点(0,1)中心对称，故C中结论错误； 对于D,f(x)=x(x-1)(x-a),f(x)=(x-1)(x-a)+x(2x-a-1)=3.x2-2(a 十1)x+a,令f(x)=0,则3x2-2(a+1)x十a=0,∴.△=4(a2-a+1)=(2a-1)2+ 3>0,又函数f(x)有两个不同的极值，点x1,x2,∴x1,x2为关于x的方程3.x2-2(a ∫a+4=号a+1, 十1)x十a=0的两个实数根，∴ 12=号， 1十=2十号，故D 中结论正确.故选C. 6.D由y=xe得y'=(1十x)e,易知点P不是切点，设切点为(xoyo),则过点P的 切线方程为y=(x0十1)·e(x一x0)十xoe,代入P坐标得m=(-x-x0一1) e。,易知这个方程有三个不等实根，令f(x)=(-x2-x-l)e,则(x)=(一x 1)·(x十2)er,故函数f(x)在（一∞，一2）上单调递减，在（一2，一1)上单调递增，在 （-1,十o)上单调递减，易知x→-∞时，f(x)→0，且f(x)<0,x→十∞时，f(x)→ -,-2)=一是·f(-)=-合，又f)=m有三个不学实根，所以m (-昌-日)故选D 7.C因为y=f(x)为(0，十∞)上的可导函数，且有f(x)+f四>0，所以 x xf(x)+fx)>0,令F(x)=xf(x),则 F'(x)=xf(x)十f(x),则当x>0时，F(x)>0,F(x)单调递增. 因为a,b∈(0，十∞)，当b>a时，F(b)>F(a),即af(a)<bf(b),故选C. 8.A令g(x)=f四，则g(x)=-2c0sx+(a十1)x2(x≠0)，因为对于任意的x1, x∈(0，受)且1<，春有f）-1f2)>0,即f>f2成立，所以对 于任意的x1x2∈(0,2)且1<x2,都有g(红)>g(x2)成立，所以函数g(x)在 (0,)上单调递减，则g(x)=2sinx+(a+1)z≤0在(0,5)上恒成立，即in2< -生在(0，)上恒成主. 易知在(0，受)上，sinx<,即n<1,所以->1，解得a≤-3，所以实数a 2 的取值范围是（一∞，一3].故选A 9.ACD设数列{am}的公差为d,由2a1+3a3=S6,可得5a1十6d=6a1十15d,即a1十 9d=a10=0,故A正确；因为10=0，所以Sg=S10,由于无法推出数列{an}的单调性， 故无法确定S10是最大值还是最小值，故B错误；因为ag十ag十a10十a11十a12=5a10 =0,所以S12=S,十as十ag十a10十a1十a12=S,十+0=S,故C正确S1g=1a1 2 ×19=19a10=0,故D正确.故选ACD. 10.BD由题意，设等差数列{an}的公差为d,因为a=3a5,可得a1十6d=3(a1十4d),解得 a1=-3d,又由等差数列{an}是递增数列，可知d>0,则a1<0,故A错误，B正确； 因为5=号+(a-号)加=号-坠-号(。-名}广-g由n∈N可知，当 n=3或4时S最小，故C错误； 令5，=号2-7号>0，解得n<0或心7，即S,>0时n的最小值为8，故D正确， 故选BD 11.BCD令g(x)=(x十a1)(x+a2)…(x+a7),则f(x)=xg(x),.f(x)=g(x)+ xg'(x),∴.f(0)=g(0)=a1a2…a7=1. {an}是等比数列，a1a2…a7=a=1,即a4=1=a1q3, 参考答案71 .a1>1,.0q<1,B正确. ,lgan=lg(a1g-1)=lga1十(n-1)lgq,lgg<0,∴.{lgan}是公差为lgg的单调递 减的等差数列，A错误. 2.21--10g号g1,g29<00g<1{s.-2g}是 :Sm-1-g1-g 首项为，昌公比为q的单洞递增的等比数列，C正确 .a1>1,0<q<1,a4=1,∴.n3时，an>1,n≥5时，0<am<1,.n≤4时，Tn>1. :T,=a1a2a7=a=1,n≥8时，T=T7agag…a,<T,=1,又T,=T>1, a6a7 T。=>1,使得T>1成立的n的最大值为6，D正确，故选BCD, 12.BC由函数f(x)=e2-x2可知，f(x)=e2-2x,令g(x)=e-2x,则g'(x)=e2 一2 令g(x)=0,解得x=ln2. 所以当x<ln2时，g'(x)<0,函数g(x)在(-oo,ln2)上单调递减，当x>ln2时， g'(x)>0,函数g(x)在(ln2,+∞)上单调递增，所以g(x)≥g(ln2)=2-2ln2> 0,即f(x)>0,所以f(x)在R上单调递增，故B选项正确. 当x=-1时，f(-1)=1-1<0,当x=0时，f(0)=1>0,且f(x)在R上单调递 e 增，所以函数f(x)只有一个零点，故A选项错误. 令h(x)=fx)-1nx十x2=eg-lnx(x>0),则'(r)=e-1=ze-1(x>0, 令H(x)=xe-1,则当x>0时，H'(x)=(x十1)e>0,所以函数H(x)在(0，十 ∞)上单调递增，因为H(0)·H(1)=一(e一1)<0，所以3xo∈(0,1)，使得H(xo) =0,则h(x)在(0，xo)上单调递减，在(xo,十∞)上单调递增，所以h(x)min=h(xo) =e。一lnxo,故C选项正确. 因为3∈(0,1)，使得H(0)=0,即H()=e-1=0,所以e5,=1,即x0 -ln0,所以h(x)n=h(xo)=e-lno=+x>2,即h(x)=f(x)-lnx十x2 >2在(0，十o∞)上恒成立，所以f(x)>lnx-x2+2在(0，十∞)上恒成立，故D选 项错误.故选BC. 13.解析由题得∫(x)=4+2bx,由导数的几何意义可得f(1)=1,f(1)=4,即b= 1,号+2bX1=4,所以a=2,b=1. 答案21 14.解析“f(x)=2x2-ax+lnx,f()=x-a+子 由题意可知存在实教x>0,使得f()=x-a十士=0成立，即a=x十士成主， x a=x十≥2（当且仅当x=(x>0,即x=1时取等号）)小： 答案[2，十∞) 15.解析f(x)=2x2-8,.f(x)=4x. f(xn) 2xn,xn+1-2= 又1=7法t26十2 >29-h号- (xm-2)2 2xn ）=2ln 2-2,0n=ln=+2 n十2 --2六a+1=2a,又a1-1,数列{an}是首项为1，公比为2 的等比数列，S。-1X0,29）=20-1 1-2 答案2”一1 16.解析f(x)的定义域为(0，十∞). f(x)=e2+xe-是-1=(x+1D(e-） 因为x>0,所以x+1>0. 令g)=e-2易知8)在0，十0)上单调递增g(侵）=6-2<0，g1)=e 0,所以3x0∈(0，十o∞)，使得g(xo)=0,即e。-,=0,可得x0十ln 当x∈(0，x0)时，f(x)<0,当x∈(x0,+∞)时，f(x)>0. 72参考答案 所以f(x)在(0，x0)上单调递减，在(xo,十∞)上单调递增，所以f(x)min=f(xo)= xoe"o-In xo-xo-a=1-a. 要使f(x)存在零点，只需f(x)min≤0，即a≥1，故a的取值范围是[1，十∞). 答案[1，十∞) 17.解(1)证明：因为2an+2=3am+1一an,所以2(am+2一am+1）=am+1-am, 即2b+1=bn, 又因为b1=a2-a1=2≠0，所以bn≠0， 则+1=1」 -2 所以数列{bn}是等比数列. (2)由(1)知数列{b.}是首项为2，公比为号的等比数列，则6，=22m 所以an-a1=a2-a1十a3-a2十…十am-am-1=b1+b2十…+bn-1=2X -=4-23-"(n≥2)，则an=3十4-23-”=7-23-m(n≥2). 1 1一2 经检验，n=1时也符合上式，则an=7-23-n(n∈N*). 因为an=7-23-"<7,所以m≥7，即实数m的取值范围为[7，十0∞). 18.解(1)由巴知，得f(x)=r2-(2a+1)x+a2+a,g(r)=f(巴=x+2+a-2a x x 一1，x≠0. :g(x)=f@(x≠0)为奇函数，1x≠0，g(-x)十g(x)=0, x 1 即-2a-1=0,…a=-2: (2)f(x)=x2-(2a十1)x十a2+a =(x-a)[x-(a+1)]. 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表： (-∞，a) a (a,a+1) a+1 (a+1,+∞) f(z) + 0 一 0 + f(x) 极大值 极小值 a+1=2,.a=1. 19,解)运法-：若a=0,则f)=n(x+10,gx)=e,f()=十ge) =ez, 1 曲线y=fx)在点(0，f)处的切线方程为y0十(r-x)+lnxo+1), 十，则x=n、1 令g'(x)=e2=1 曲线y=g)在点如打十)类的 初线方程为y市[x+1h(十1D门十 x0+1 由题毒知中么+ln+1)-中z+a西+1]十中参里可得 1 升ha十1)=1，=0显然不满足该式，l1(+1)- 证法二：易知切线斜率存在. 设切线方程为y=kx十b,若a=0,则f(x)=ln(x十l),g(x)=e2, ()- (In(zo+1)=kxo+6, 由题意得{1 0+7, 设曲线y=g（x)上的切点横坐标为xm,则 有低 .'.k=kln k+6,..b=k-kln k,.'.In(xo+1)=kzo+k-kln k, n+1)十g十+iD.h+1)=1=0g然 不满足该式， ln(xo+1)=0+] (2)令h(x)=g(x)-f(x)=er-a-ln(x十l)-a,若a>0,则h(0)=e-a-a<e°-0 =1,不符合条件； 若a=0,则h(x)=e-ln(x+1),h'(x)=e-x中，当x∈(-1,0)时，h'(x)<0,h (x)单调递减，当x∈(0，十∞)时，h'(x)>0,h(x)单调递增，.h(x)≥h(0)=1,符 合条件； 若a<0,则h(x)=ex-a-ln(x十l)-a>ex-ln(x十l)≥，符合条件. 综上，a的取值范围是(-o∞，0]. 20.解设等差数列{am}的公差为d,当n=1时，4T1=3b1一1，解得b1=一1，所以a3 =-1,当n≥2时，4bn=4Tm-4Tm-1=3bm-1-(3bn-1-1)=3bn-3bn-1,即bm= 一3bm-1,所以数列{bn}是首项为-1，公比为一3的等比数列，所以bn=一(-3)n-1 由对任意n∈N*都有入≤Sm,得当等差数列{an}的前n项和Sm存在最小值时，入≤ Sm的最小值. (4分) 假设当n=时，Sm取得最小值. 选①，因为3a,十b十6，=0，g=36,=27,所以ag=-号（+b)=-10,由ag= a2+3d=-1得d=3,所以am=a2+(n-2)d=-10+3(n-2)=3n-16,Sn= n(a1十an）_n(3n-29) 2 2 易得a:≤0，a1>0,即3谈-16≤0,3(k+1)-16>0,解得号<<号又k∈N”, 所以k=5,所以存在k=5,使得Sm取得最小值，所以入≤S5=一35，故实数入的取 值范围为（一∞，一35]. 选②， 因为a4=b4,b4=27,所以a4=27,又a5=b1=-1,所以d=a5-a4=一1-27=- 28,所以an=a5+(n-5)d=-1-28(n-5)=-28n+139, 易知数列{an》是递减数列，所以不存在，使得Sn取得最小值，故实数入不存在. 选③，因为S3=-27,所以S3=a1十a2+a3=3a2=-27,所以a2=-9,又a5=b1 =-1=a十3d,所以d-5写2=号，所以a.=a十(m-2)1=-9+号（m-2》= 3 2 易知a4<0,a+1>0,即号-9<0，号（k十1)号>0，郎符<k≤号，又k∈ N,所以k=5,所以存在k=5,使得S。取得最小值，所以≤S5=-盟故实教入 的取位范国为（一，一] 21.解（D由f)=nx并1得f)=是+z千 tT(x+)2(x>0), 故在点(1f)处的切线斜率=矿1)=1+号， 又f1)=一受，所以曲线y=f(x)在点(1，f1)处的切线方程为y+号 (1+年)(x-1D,即(4+a)z-4y-4-3a=0. 2fe=2+a=+2+9中e>0. x(x+1)2 由题意知，x1,x2是方程f(x)=0在(0，十∞)内的两个不同的实数解， 令g(x)=x2十(2十a)x+1,注意到g(0)=1>0,g(x)图象的对称轴为直线x= |-2a>0, 2生，故只需之 (2+a)2-4>0, 解得a<一4，即实数a的取值范围是(-∞，一4). 证明：由x1,x2是关于x的方程x2+(2十a)x十1=0的两根，得x1十x2=-2-a, =1,故fa+f）)=(血4）+（血2）=ln1)-a x1+x2+2 -2-a+2 x1x2+z1+x2+-a‘1-2-a+-a, 又f1)=-号，所以f()+fx2)=2f1),故f(),f(1),f(x)成等差数列. 22.解(1)易知f(x)的定义域为(-∞，十o∞)，f(x)=1-ae2. 当a≤0时，f(x)>0,所以f(x)在(-∞，十∞)上单调递增. 当a>0时，若x∈(-∞，-lna),则f(x)>0,f(x)在(-∞，-lna)上单调递增， 若x∈(-lna,十oo),则f(x)<0,f(x)在(-lna,十∞)上单调递增 综上所述，当a≤0时，f(x)在(-∞，十∞)上单调递增，当a>0时，f(x)在（一∞， 8.A设A(x)=f）-g(x)=号x-x2+a-x2+3x,则()=2-4x+3=(x-3) -lna)上单调递增，在(-lna,十o∞)上单调递增减. (x-1),所以当x∈[1,3)时，h(x)单调递减； (2)证明：当a=1时，f(x)=x-ex+1,g(x)=f(Inx)=lnx-x十1， 当x∈(3，十∞)时，h(x)单调递增. 所以k=8a2）-g》_血2-2-ln+4-n-n4-1, 当x=3时，函数h(x)取得极小值也是最小值 x2-x1 x2一x1 x2一x1 因为f(x)的图象始终在g(x)的图象上方， In x2-In x1 所以h(x)min>0,即h(3)=a>0,所以a的取值范围是(0，十o∞).故选A 所以k+1= x2-x1 9.ABD由题图，可知当x<一1或3<x<5时，f(x)<0; 要证1k+1<1,即证1<nx2-lnx1<1 当x>5或一1<x<3时，f(x)>0,所以函数y=f(x)的单调递减区间为（一∞，一1），(3， x2-x1 5),单调递增区间为(-1,3)，(5，十∞)，所以函数y=f(x)在x=一1，x=5处取得 因为x2>x1>0,所以x2-x1>0,即证2-1<1n2<2- 极小值，在x=3处取得极大值，故选项C说法错误，ABD正确. 10.ADSn十Sm=n2+am,.令m=1,得Sm十S1=n2+a1=n2+S1,∴.Sm=n2, 令=，则>1，即证1-<1n4-1(>1). …S1=a1=1,S10=102=100,当n≥2时，am=Sm-5m-1=n2-(n-1)2=2m-1,又 元1 a1=1符合上式，∴an=2n-1,n∈N*,A、D正确，B、C错误，故选AD. ◆pe)=n-+1>1),则p0=-1=1<0,所以g0在1，十oo)上单 11.BD 由gx)=f@得g'(x)=f@)-f@,当x>-1时，f(x)-fx)>0,故 调递减，所以p(t)<p(1)=0,即lnt-t+1<0,即lntt-1(t>1).① 令A@)=ln计-1(>1)，则0=是-=>0，所以A0在1，+o)上 g(x)在(-1，十∞)上为增函数，当x<-1时，f(x)-f(x)<0,故g(x)在(-∞， t t2 12 一1)上为减函数，故x=一1是函数g(x)的极小值点，故A错误，B正确； g(-1)的特号不确定，若g(-1)<0,则g(x)有两个零点，若g(-1)=0,则g(x)有 单满适增，所以A(0>h(1)=0,即1n>1-(>1).② 一个零点，若g(一1)>0，则g(x)没有零点，故C错误； 维合①@得1-hK4-1>D,所以女+1K号 因为g(x)在(-1，十∞)上为增画教，所以g(2)<g(e,即f2<fe,即e2f(e) >ef(2),故D正确.故选BD 选择性必修第二册综合检测卷二 12.AD对于A,f2)-f5)=2_n5_5血2-21n5_n32n250,故A正确. 1.AS2=0,a3=3,∴S3=3,又{am}是等差数列，∴.3a2=3,a2=1,设数列{am}的 10 10 公差为d,则d=2,a,=2m-3,S。-1+(②-)n=m2-2m,故选A. 对于B,若f(x)=m有两个不相等的实根x1,x2,则x1x2>e2,故B错误. 证明如下：函教f(x)=h工，定义城为(0，十∞)，则f(x)=1-n,当f(x)>0 2.B由4(a3十a4十a5)十3(a6十ag十a14十a16)=36,得12a4+12a11=36,即a4十a11 =3,则数列(a,}的前14项和为14(a1十a1) 时，0<x<e;当f(x)<0时，x>e,所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e,十o∞)上单 2 调递减，则fx)=fe=。又易知x0时，f）-0,>e时f)>0且 =7(a4十a11)=21.故选A 3.D设等差数列{an}的公差为d,由S5=2S4,a2十a4=8,得 x一十∞时，f(x)→0，所以若f()=m有两个不相等的实根x12,则0<m<日， 5a,+544=2(a+学3a十2-0解得-2s=a+M= 不妨设1<2，则有0<1<e<2,要证12>e2,只需证2>e二>e a1+d+a1+3d=8, a1+2d=4, d=3, -2十4×3=10.故选D 又f)=f）,所以只需证f✉)f() 4B周为f)=2+2zf1)-nx,所以了x)=2z+2f1)-,所以了1)=2 令F()=fx)-f()0<x<e, +2f(1)-1,解得f'(1)-1,解得(1)=一1.故选B. 5.D设数列{bn}的公比为q(q>0),b1=1,b3=b2十2，.q>1且b1q2=b1q十2，即 则有F)=f)+f()·=1-ln(侵3）月 q2=q+2,解得q=-1(舍)或g=2,∴bn=2m-1. :数列{an}是等差数列，公差设为d,b4=ag十a5=23,b5=a4十2a6=24, 当0<e时，1-h>0>0, .2a4=23,a4十2a6=24,∴a4=4,a6=6. 所以有F(x)>0, ∴.由a6=a4十2d,得d=1,由a6=a1十5d,得a1=1,∴an=n. 即F(x)在(0，e)上单调递增， a2023十bg=2023十28=2279，故选D. 6.D设这匹马第m天走的路程为an里，由题知(Q,}是公比为2的等比数列，由题意 又F(e)=0,所以F)<0成立，所以f)<(),得证。 对于C,因为f(x)在(0，e)上单调递增，0<√2<√<e,所以f(2)<f(We), 得700= - 1 ,解得a1=4480,所以这匹马这14天内所走的总路程为 127 序2串如2是 对于D,令2=3y=(x,y均为正数)，则>1x=1g2y=g3, 1g t 1g t a1-(侵)] 1- 22575(里).故选D 32 2gt_3gt_g4g9-lg82>0, 所以2x-3y=1g2一1g3 lg2·1g3 7.D数列a,)满足a1=-合a+11-a,)=1,a2 所以2x>3y,故D正确.故选 1-（-2) 13.解析：f(x)=e,∴f(0)=1,f(x)=e2,f(0)=1,∴.曲线y=f(x)=e2在点 (0,f(0)处的切线方程为y一1=x,即y=x十1，易知直线y=x十1与两坐标轴的 1 1 =3,a4-0=一乙=a1数列{a,)是周期为3的数列，且前3项候次为一2 交点坐标分别为(-1,0)和(0,1)，∴.所求三角形的面积为2×1×1=2 号3，故选D 答案合 14.解析因为在前m项中偶数项之和为S偶=63，所以奇数项之和为S奇=135-63 =72,设等差数列a,}的公差为d,剥5+-5%-2@1十(m-1D1-72-68=9. 2 又an=a1十(m-1)d,所以4十am=9. 2 因为am一a1=14,所以a1=2,am=16. 因为ma》=135,所以m=15,所以d=4=1,所以aw-a1+9d=101. 2 答案101 l5.解析设第n个人的任务份数为am,则a1十a2十…十an=100,若要使n尽可能大， 则an递增幅度要尽可能小，不妨设数列{an}是首项为3，公差为1的等差数列，其 前n项和为5，则a.=n+2,511=3+13×11=8<100,512=314×12=102> 2 2 100,所以n的最大值为11. 答案11 16.解析由题意，令g(x)=f四，：x>0时，g(x)=f()f)0. x2 “g()在(0，+∞)单润递增，f四在0，十o)上单调递增，f③》>f号即 3 2f(3)>3f(2). 又f(-x)=f(x),∴g(-x)=一g(x),则g(x)是奇函数，且g(x)在(-∞，0)上 递增，又g(2)=f2)=0,当0<<2时，g(x)<0,当x>2时，g(x)>0; 2 根据函数的奇偶性，可得当-2<x<0时，g(x)>0,当x<-2时，g(x)<0. .不等式x·f(x)>0的解集为{x-2<x<0或x>2. 答案>(-2,0)U(2,十∞) 17.解(1)由f(x)=xe-x2-2x得f'(x)=(x+1)e-2x-2=(x十1)(e2-2),则 f'(0)=-1, 所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=一x,即x十y=0. (2)由(1)知f(x)=(x+1)(e2-2),令f(x)=0,得x1=-1,x2=ln2,当x<-1 或x>ln2时，f'(x)>0,当-1<x<ln2时，f(x)<0, 所以当x=-1时，f(x)取得极大值，为f(-1)=1-,当z=1n2时，f(x)取得极 小值，为fn2)=-n2),故fx)的板大值为1-。，极小位为-n22. 18.解(1)由等差数列{a,}的公差d=2,其前8项和S8=8a1十8X(8-1Dd=64,可 2 得a1=1, .an=1+2(n-1)=2n-1, :等比数列{bn}的公比q>0,b1=4,b3-b2=48,∴.4q2-4g=48,解得q=4(负值舍 去)，.bn=4·4n-1=4". （2公证明：6=和，，=十古=a+京则层-=(+)厂 (+)=24+出=24 c品一c2m -=4,又c3-c2=2X4=8,∴.{c员- 2·4n c2n}是以8为首项，4为公比的等比数列. 19.解(1)由an+1=2an十1可得an+1十1=2(am十1). :a1十1=2≠0，∴.{am十1}是首项为2，公比为2的等比数列. ∴.an十1=2X2m-1=2m,∴.am=2m-1. (2)由(1)知bn=3m·2",.Tn=3×21+6X22+9×23+…十3(n-1)·2”-1+3n ·2",.2Tm=3×22+6X23+9×24+…+3(n-1)·2m+3n·2m+1,.-Tm=3× (21+22+23+…+20)-3m·2m+1=3×21-?0）-3n·2m+1=(3-3m)2m+1-6. 1-2 .Tn=(3n-3)·2m+1+6. 20.(1)当n=1时，a1=S1=2,当n≥2时，an=Sm-Sm-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)] =2n,易知a1=2符合上式，故数列{an}的通项公式为an=2n. (2)cn=abn=2n.x"-1,Tn=2+4x十6.x2+8.x3+…+2mx-1,① 则xTn=2x+4x2+6x3+8.x4+…+2nx”,② ①-②，得(1-x)Tn=2十2x十2x2+…+2xn-1-2n.x”. 当1时，1-0T.=2x号-2，对.=2=2a22 (1-x)2 参考答案73