椭圆与双曲线的方程单元测试卷-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

南京市励志高级中学创新班 椭圆双曲线的方程单元测试卷 命题人：蒋恒峰 审核人：蒋恒峰 （时间:120分钟 满分:150分） 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共 8 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.） 1．若椭圆的右焦点坐标为，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 2．已知焦点在轴上的椭圆，其焦距为，则的值等于（   ） A．4 B．7 C．9 D．12 3．已知是椭圆的左焦点，是椭圆上一动点，若，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 4．椭圆（）的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点P满足，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知分别为椭圆的左、右焦点，过点向圆引切线交椭圆于点（在轴上方），若的面积为，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 6．数学中有许多形状优美､寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：    ①曲线恰好经过4个整点（即横､纵坐标均为整数的点）； ②曲线上任意一点到原点的距离都不超过； ③曲线所围成的“心形”区域的面积小于3； 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．① B．② C．①② D．①②③ 7．已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点A，直线交椭圆于P，Q两点，若F恰好为的重心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．） 9．若直线经过椭圆的一个焦点，则的值可能为（    ） A． B． C．2 D．4 10．已知椭圆：（）和：（），则（    ） A．与的长轴长相等 B．的长轴长与的短轴长相等 C．与的离心率相等 D．与有4个公共点 11．已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线l与E的右支交于点P，若，则（    ） A．E的离心率为 B．E的渐近线方程为 C．P到直线x＝1的距离为 D．以实轴为直径的圆与l相切 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共 3小题,每小题 5 分.把答案填在答题卡上的相应位置.） 12．椭圆的焦距为 . 13．已知方程表示椭圆，则实数的取值范围 . 14．已知斜率大于零的直线交椭圆于两点，交轴分别于两点，且是线段的三等分点，则直线的斜率为 ． 四、解答题（本题共6小题，共77分．其中第15题13分，第16~17题15分，第18~19题17分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和. 16．双曲线的左、右焦点分别为， (1)已知焦距为8，离心率为2，求双曲线标准方程，顶点坐标、焦点坐标、实轴和虚轴长及渐近线方程. (2)已知双曲线中，，且经过点，焦点在轴上，求该双曲线的标准方程． 17．已知椭圆（）长轴长为8，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)以的焦点为顶点，短轴为虚轴的双曲线记为，求的方程及其渐近线方程. 18．已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为． (1)求双曲线的离心率； (2)若，直线交双曲线于两点，是坐标原点，若是弦的中点，求弦的长． 19．已知离心率为的椭圆过点. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)为椭圆的左焦点，为上顶点，点在轴上，且.过点直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C B C B A B BC BC 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】由题意，椭圆焦点在轴，根据椭圆几何性质得解. 【详解】根据题意，椭圆焦点在轴， 所以，所以. 故选：B 2．B 【分析】根据条件，得，即可求解. 【详解】由题知，又椭圆的焦点在轴上，所以，解得， 故选：B. 3．C 【分析】设椭圆的右焦点为，根据椭圆的定义可得，求出的最小值，即可得解. 【详解】椭圆，则，，， 如图，设椭圆的右焦点为， 则； ， 由图形知，当在直线（与椭圆的交点）上时，， 当不在直线（与椭圆的交点）上时，根据三角形的两边之差小于第三边有， ； 当在的延长线（与椭圆的交点）上时，取得最小值， 的最小值为．    故选：． 4．B 【分析】先根据焦点三角形的顶角范围，求出椭圆特征三角形顶角的范围，继而求出离心率的范围. 【详解】设椭圆的上顶点为,则令, 则,    且， , , 故选：B. 5．C 【分析】先利用三角比证明点为椭圆短轴端点，然后根据的面积为列式即可得出答案. 【详解】解析：如图，    设圆与轴切于点，与切于点， 设椭圆与轴正半轴交于点，下面证明，重合， 设，， ，而， 与重合，即点是短轴的端点， ，，则，所以， 故选：C. 6．B 【分析】对于①，先根据图象的对称性找出整点，再判断是否还有其他的整点在曲线上；对于②，找出曲线上离原点距离最大的点的区域，再由基本不等式得到最大值不超过；对于③，在心形区域内找到一个内接多边形，该多边形的面积等于3，从而进行判断. 【详解】对于①：由于曲线，当时，；当时，；当时，，故①错误； 对于②：可通过平均值不等式得出.因为曲线关于轴对称，只需要看的情况，此时，而，故，即.故②正确； 对于③：由①知长方形的面积为2，三角形的面积为1，所以曲线所围成的“心形”面积应大于3.故③错误.    故选：B. 7．A 【分析】首先设的中点，由点差法得，再根据重心的性质求得点的坐标，联立求得椭圆的离心率，再结合条件，即可求解. 【详解】如图： 设，，的中点为点， ，两式相减得， 化简得，即，得， 所以， ，，由F恰好为的重心， 则，即，得，， 即，， 所以，则，平方后得， ，即， 解得：或， 由条件，得，即，得， 所以. 故选：A 8．B 【分析】设出，利用点差法即可求出结果. 【详解】设，则有，， 两式相减得到， 又线段的中点坐标为， 所以，得到， 所以的斜率为. 故选：B. 9．BC 【分析】由题意确定椭圆的焦点坐标，代入直线方程，即可求解. 【详解】因为，所以， 则椭圆的焦点坐标为，代入直线方程， 得. 故选：BC 10．BC 【分析】化为标准方程，求出相关长轴和短轴长以及离心率一一分析即可. 【详解】椭圆：（），即， 椭圆（），， 则的长轴长为，短轴长为，的长轴为，短轴为，故A错误，B正确； 的离心率为，的离心率，故C正确； 因为的长轴长与的短轴长相等，且的焦点在轴上，的焦点在轴上， 则与有2个公共点，故D错误. 故选：BC. 11．ACD 【分析】首先根据图形，结合三角函数，求得和，再根据余弦定理求，即可求得双曲线方程，判断AB；再利用方程联立，求得点的坐标，即可判断C；并根据直线与圆的位置关系的判断方法，即可判断D. 【详解】由双曲线方程可知，， 设，则，那么，， 作轴，垂足为点，设，，则， 所以，， 两式解得：，即，， 中，根据余弦定理， 可得， ，得， 所以双曲线的离心率，故A正确； ，所以双曲线的渐近线方程为，故B错误； 直线的方程为，与双曲线方程联立， 得，解得：，因为点在双曲线的右支上， 所以点的横坐标为，P到直线x＝1的距离为，故C正确； 以实轴为直径的圆的圆心为原点，半径为 原点到直线的距离，故D正确. 故选：ACD 12． 【分析】根据题意，将方程化为标准式，然后得到从而得到，即可得到结果. 【详解】因为椭圆，即， 所以，即， 所以焦距为. 故答案为： 13． 【分析】根据方程表示椭圆得到不等式，求出的取值范围. 【详解】由题意得，解得. 故答案为： 14．/0.5 【分析】设直线为，，推出，联立椭圆方程，设，则，并求出的坐标，线段的中点为线段的中点，从而得到方程，求出答案. 【详解】设直线为，， 若，此时均与原点重合，，但，故不合要求， 所以， 与联立得， ，解得， 设，则，故， 中，令得，故，令得，故， 的中点坐标为， 是线段的三等分点，故线段的中点为线段的中点， 故，解得，负值舍去. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】根据椭圆标准方程的形式和，，的意义直接写出答案. 【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以可设它的标准方程为：(). 又图象过点得：，又， 所以. 故所求椭圆的标准方程为：. （2）因为椭圆的焦点在轴上，所以可设它的标准方程为：(). 因为椭圆经过点和， 所以，故所求椭圆的标准方程为：. 16．(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）根据已知条件依次求出c，a，b，然后可得标准方程，再直接写出相关结果. （2）由双曲线方程，结合已知列式求出a，b即可. 【详解】（1）由双曲线的焦距为8，得，由离心率为2，得，则， 所以双曲线标准方程为：，该双曲线的顶点坐标为， 焦点坐标为，实轴长，虚轴长，渐近线方程为. （2）依题意，，解得， 所以所求双曲线的标准方程为． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据题意列式求，即可得方程； （2）设，再根据题意得到，进而可得双曲线方程和渐近线方程. 【详解】（1）由题意可知：，可得， 则，所以椭圆的方程为. （2）椭圆的焦点为，且短轴长为． 以为左，右顶点的双曲线的方程设为． 依题意得，所以双曲线的方程为． 其渐近线方程为． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据焦点到双曲线渐近线的距离得出的关系，结合的关系得出的关系即可求解； （2）由（1）得出双曲线标准方程，利用点差法求出直线斜率，从而得出直线方程，然后联立直线与双曲线的方程组，化简写出韦达定理，最后利用弦长公式计算即可. 【详解】（1）由双曲线的一条渐近线方程为， 故焦点到渐近线的距离， 所以即， 所以. （2）因为，所以， 所以双曲线的方程为：， 如图所示：    设点，，因为是弦的中点， 则， 由于，，所以两式相减得， 所以， 即直线的斜率为，     所以直线的方程为， 即． 联立消去并整理， 得， 所以， 且，， 所以. 19．(1)； (2) 【分析】（1）根据已知条件，构造方程组，求出椭圆方程即可； （2）利用向量垂直求出点的坐标，接着设出直线方程与椭圆方程联立，通过韦达定理求出两根之和与两根之积，最后根据向量数量积的关系求出直线的斜率，从而得到直线方程. 【详解】（1）由已知得方程组解得. 所以椭圆的方程为. 椭圆离心率，所以. （2）先求出点的坐标，由（1）得. 因为，向量，设，则. 由于，即， 根据向量数量积公式，得到，解得，所以.   设直线，， 代入椭圆方程，并整理得. ，展开并化简得，， 进一步得到，解得. 由韦达定理可得，. 计算，将，代入得. 把，代入上式得. 因为，即，化简得，即， 解得，所以.   直线的方程为. 答案第1页,共2页 试卷第1页,共2页 学科网（北京）股份有限公司 $