双曲线的方程单元测试卷-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

南京市励志高级中学创新班 双曲线的方程单元测试卷 命题人：蒋恒峰 审核人：蒋恒峰 （时间:120分钟 满分:150分） 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共 8 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.） 1．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的方程为，则该双曲线的焦距为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且，，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的一条渐近线与圆交于两点，且是正三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 5．已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线：的实轴长为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆和双曲线有共同的焦点是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 8．已知是双曲线的上焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，与另一条渐近线交于点，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．或4 D．或2 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．） 9．已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则下列关于双曲线的说法正确的是（    ） A．实轴长为6 B．虚轴长为2 C．焦距为 D．离心率为 10．下列有关双曲线 的命题中，叙述正确的是（   ） A．双曲线的虚轴长为4 B．双曲线上的点到焦点的最小距离为3 C．双曲线的焦点到渐近线的距离为 4 D．经过焦点的最短弦长为 6 11．已知双曲线（，）的左右焦点分别是，，左，右顶点分别为，，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点（M为第一象限的交点），O为坐标原点，则（    ） A． B． C．，C的离心率为 D．四边形的面积为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共 3小题,每小题 5 分.把答案填在答题卡上的相应位置.） 12．双曲线的实轴长与焦距之积为 . 13．若方程表示双曲线，则实数t的取值范围是 . 14．已知双曲线C：上有不同的三点A，B，P，且A，B关于原点对称，直线PA，PB的斜率分别为，，且，则离心率e的取值范围是 ． 四、解答题（本题共6小题，共77分．其中第15题13分，第16~17题15分，第18~19题17分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 16． 指出双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、实轴、虚轴及离心率． 17．分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)经过两点； (2)与双曲线有公共的渐近线,且过点． 17． 已知动圆与直线恒过同一定点，且与圆外切，求动圆圆心的轨迹方程. 19．已知椭圆E：的长轴为双曲线的实轴，且离心率为. (1)求椭圆E的标准方程； (2)已知椭圆在其上一点处的切线方程为.过直线上任意一点P作椭圆E的两条切线，切点分别为A，B.M为椭圆的左顶点. ①证明：直线过定点； ②求面积的最大值. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C B D A A B AB CD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】直接代入公式即可求解. 【详解】∵双曲线的一条渐近线方程为， ∴，， ∴. 故选：B. 2．D 【分析】根据给定的方程求出半焦距即可. 【详解】双曲线的实半轴长，虚半轴长，则半焦距， 所以该双曲线的焦距为 故选：D 3．C 【分析】利用焦半径三角形及双曲线的几何定义，再结合余弦定理，就可以求得离心率，从而也就可以求得渐近线方程. 【详解】 边接，由关于原点对称，可知四边形是平行四边形， 即，，由得：， 又由双曲线的定义得，解得， 再由余弦定理得：， ， 即，再由， 故渐近线方程为：， 故选：C. 4．B 【分析】由题意，设渐近线方程为（其中），根据垂径定理和点到直线的距离公式分别求出圆心到渐近线的距离，建立方程，解方程可得，结合离心率的概念即可求解. 【详解】设双曲线渐近线被圆所截得的弦长为，圆的半径为，圆心到渐近线的距离为d， 圆方程，即，又由题可知， 由垂径定理得. 不妨设渐近线方程为（其中）， 又圆的圆心坐标为， 圆心到渐进线的距离为，所以，解得， 又，所以双曲线的离心率为. 故选：B. 5．D 【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长. 【详解】由，则， 解得， 所以双曲线的渐近线为， 当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意； 当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离， 所以弦长. 故选：D 6．A 【分析】由判断的焦点在轴上，则根据实轴长可得或，根据双曲线的标准方程可得，即可求得离心率 【详解】由，知的焦点在轴上， 因为的实轴长为，所以，解得或， 又因为是双曲线，所以，所以， 则双曲线：， 则的离心率为， 故选：A. 7．A 【分析】设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴长为，由椭圆及双曲线的定义可得，联立可得，然后由余弦定理得，由基本不等式求解即可. 【详解】 如图， 设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴长为，由对称性可设点在第一象限， 则根据椭圆及双曲线的定义可得，， 所以，又， 在中，由余弦定理得：， 化简得：，得到，从而有， 整理得，当且仅当，即时等号成立. 故选：A. 8．B 【分析】设点在渐近线上，过点作渐近线的垂线，垂足为，求得，得到渐近线的倾斜角为，得出，进而求得双曲线的离心率. 【详解】由双曲线，可得双曲线的渐近线方程为， 如图所示，设点在渐近线上，过点作渐近线的垂线，垂足为， 所以， 因为，所以，所以直线的倾斜角的取值范围为，所以， 在直角中，，所以， 则，所以，可得， 所以双曲线的渐近线的倾斜角为，则，所以， 所以，则双曲线的离心率为. 故选：B. 9．AB 【分析】对含参数的双曲线方程，一般先考虑焦点位置，再确定的值，利用条件求出各个基本量，再逐一判断选项即可. 【详解】由双曲线方程可知，且，由题意，，代入解得：， 故实轴长为，虚轴长为，故A项，B项都正确； 焦距，故C项错误；离心率为，故D项错误. 故选：AB. 10．CD 【分析】根据双曲线的性质即可判断ABD，利用点到直线的距离即可判断C. 【详解】由题意有：，所以，即， 所以虚轴长为：，故A错误； 双曲线的点到焦点的距离的最小值为：，故B错误； 因为双曲线的渐近线方程为：，即， 焦点到的距离为，故C正确； 当过焦点与双曲线相交于一支时，最短的弦长为通径长为， 当过焦点与双曲线相交于两支时，最短弦长为斜率为0与双曲线交于顶点，即弦长为实轴， 又，所以经过焦点的最短弦长为6，故D正确； 故选：CD. 11．ABD 【分析】对于A，由题意作图，根据三角形全等以及平行四边形性质，可得其正误；对于B，联立圆的方程和渐近线方程，解得的坐标，可得其正误；对于C，根据渐近线的倾斜角的正切值，利用离心率的计算公式，可得其正误；对于D，由题意作图，根据面积组合以及三角形面积公式，可得其正误. 【详解】对于A，由题意可作图如下： 在与中，因为，，， 所以，则，，即， 所以四边形为平行四边形，所以，故A正确； 对于B，以为直径的圆的方程为， 联立，解得，又， 则，故B正确； 对于C，由，，则， 所以离心率，故C错误； 对于D，由题意可作图如下： 因为，，所以， 由图可知四边形的面积，故D正确. 故选：ABD. 12． 【分析】根据双曲线的方程求出，从而由求出，进而可求出实轴长与焦距之积. 【详解】由知双曲线的焦点在轴上，且， 故其焦距为， 故双曲线实轴长与焦距之积为. 故答案为：. 13． 【分析】根据双曲线的标准方程的形式，列出不等式，即可求解. 【详解】由方程表示双曲线，则满足，即，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 14． 【分析】利用点差法求得，由此化简求得离心率的取值范围. 【详解】设，，因为A，B关于原点对称，所以， ∴，，∴． 又因为点P，A都在双曲线上，所以，， 两式相减得：， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为： 15．(1)或或； (2)或 (3)或 【分析】（1）联立直线方程和双曲线方程，根据直线与双曲线有两交点，则，注意二次项系数不等于0； （2）根据直线与双曲线仅有一交点，分二次项系数等于0和不等于0两种情况讨论.当二次项系数不等于0时，由即可得出答案； （3）根据直线与双曲线没有交点，得，注意二次项系数不等于0. 【详解】（1）联立， 消整理得，（*） 因为直线l与双曲线C有两个公共点， 所以，整理得 解得： 或或. （2）当即时，直线l与双曲线的渐近线平行， 方程（*）化为，故方程（*）有唯一实数解， 即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点，满足题意． 当时， 因为直线l与双曲线C仅有一个公共点， 则，解得； 综上，或. （3）因为直线l与双曲线C没有公共点， 所以， 解得： 或. 16．答案详见解析 【分析】根据双曲线的知识求得正确答案. 【详解】双曲线的焦点在轴上， 所以范围：或；. 对称性：关于轴、轴、原点对称. 顶点：. 渐近线：. 实轴：，虚轴：. 离心率：，其中. 17．(1) (2) 【分析】（1）设双曲线的方程,代入点的坐标,联立解参数即可. （2）设双曲线的方程,代入点的坐标,联立解参数即可. 【详解】（1）可设双曲线的方程为， 则有解得 则双曲线的标准方程为. （2）设所求双曲线的方程为. 将点代入双曲线方程得,解得， 因此，所求双曲线的标准方程为. 18． 【分析】由题意易得定点，再根据直线与圆外切，可得，由双曲线定义即可得到双曲线的方程. 【详解】易得定点，圆的标准方程为， 所以圆的圆心为，半径为. 因为圆与圆外切，所以， 所以由双曲线定义知：动圆圆心的轨迹是以为焦点的双曲线的左半支. 因为，所以. 故动圆圆心的轨迹方程为. 19．(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）利用待定系数法求椭圆方程； （2）①首先设出点的坐标，求直线的切线方程，代入点的坐标，根据两点确定直线方程；②根据①的结果，设直线的方程，与椭圆方程联立，利用坐标表示的面积，再根据双勾函数的性质求最值. 【详解】（1）由条件可知， ，则， 则椭圆的标准方程为. （2）①设切点，，，又椭圆E在点A处的切线方程为，在点B处的切线方程， 由条件，将点坐标代入直线PA的方程得，代入直线PB的方程得， 则A、B两点都在直线上， 则切点弦AB直线方程为， 直线AB过定点. ②，设直线过定点为， 显然直线不可能水平，故设直线方程为：， ， ， 因为直线恒过椭圆内点，所以恒成立， ，， ， 令， ， 当，为减函数， 所以当时，最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是切线公式的使用，以及理解两点确定一条直线，根据二元一次方程满足两点坐标，即确定直线方程的思想. 答案第1页,共2页 试卷第1页,共2页 学科网（北京）股份有限公司 $