作业(四) 一元二次函数与一元二次方程、不等式-【假期作业】2026年高一数学寒假假期作业（人教A版·新教材）·新教材）

作业(四) 一元二次函数与一元二次方程、不等式 一元二次函数与一元二次方程、不等式 设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两根为x1，x2，且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，则不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集的各种情况如下表： Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx ＋c(a>0) 的图象 ax2＋bx＋ c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋ c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋ c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 1.使y＝有意义的x的取值范围是(　　) A.{x|－1≤x≤3} B.{x|x≤－1或x≥3} C.{x|－3≤x≤1} D.{x|x≤－3或x≥1} 2.不等式x(x－2)<0成立的一个充分不必要条件是(　　) A.{x|0<x≤2}　　 B.{x|0<x<2} C.{x|0<x<1} D.{x|x≤0} 3.(2025·马鞍山二中高一期中)已知不等式x2＋bx＋c<0的解集为，则cx2＋bx＋1>0的解集为(　　) B. C.，或 D.，或 4.(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2或x>4}，则(　　) A.a>0 B.不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－4} C.a＋b＋c>0 D.不等式cx2－bx＋a<0的解集为 1.(2025·泸州市合江县中学高一期中)若函数y＝x2＋x＋1在区间上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 2.(多选)已知a∈R，关于x的不等式>0的解集可能是(　　) A.{x|1<x<a} B.{x|x<1或x>a} C.{x|x<a或x>1} D.∅ 3.已知命题p：“存在1≤x≤5，x2－ax－5>0”为真命题，则实数a的取值范围是(　　) A.{a|a<4} B.{a|a<－4} C.{a|a>4} D.{a|a>－4} 4.(2025·芜湖市高一期中)已知不等式＋≥x2－2x＋对满足2a＋b＝0的所有正实数a，b都成立，则正数x的最大值为(　　) A. B.1 C. D.2 5.某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高10x元(1≤x≤10，x∈Z)，则被租出的客房会减少15x套.若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106 600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为(　　) A.250元 B.260元 C.270元 D.280元 6.若实数a，b满足a＝b－1，则使得0<ab<2成立的一个a的值可以是________. 1.(2025·全国二卷)不等式≥2的解集是(　　) A.{x|－2≤x≤1} B.{x|x≤－2} C.{x|－2≤x<1} D.{x|x>1} 2.(2025·上海卷)不等式<0的解集为________. 3.(2024·上海卷)不等式x2－2x－3<0的解集为________. 4.(2024·上海卷)已知函数f(x)＝x2，g(x)＝若g(x)满足g(x)≤2－x，则x的取值范围为________. 易错一　忽视二次项系数可能为零而致误 [示例1]　已知不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－2<0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________. 对于最高次数为二次的一元二次方程或不等式，当其系数为字母参数时，若题目条件指定为二次方程或不等式，则二次项系数一定不为零，否则需讨论二次系数是否为零.　 易错二　忽视一元二次不等式对应的一元二次方程根的大小关系而致误 [示例2]　解关于x的不等式(a＋1)x2－(2a＋3)x＋2<0. 形如ax2＋bx＋c>0(或<0)的不等式，引起讨论的因素有： (1)二次项系数是否为零； (2)对应方程的判别式； (3)对应方程而根的大小.　 作业(四)　一元二次函数与 一元二次方程、不等式 答案 [基础演练] 1.A　由y＝有意义可知，－x2＋2x＋3≥0，即x2－2x－3≤0，解得－1≤x≤3.故选A. 2.C　由x(x－2)<0，解得0<x<2，即不等式x(x－2)<0的解集为{x|0<x<2}.由题意可得不等式x(x－2)<0成立的一个充分不必要条件应为{x|0<x<2}的真子集，故选C. 3.C　因为不等式x2＋bx＋c<0的解集为{x|3<x<4}， 所以方程x2＋bx＋c＝0的两个根分别为3和4， 则解得 所以cx2＋bx＋1>0，即12x2－7x＋1>0， 即>0，即x<或x>， 所以cx2＋bx＋1>0的解集为，或. 4.ABD　因为关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2或x>4}，所以a>0，A选项正确； 由题知－2和4是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系，得 则b＝－2a，c＝－8a， 则a＋b＋c＝－9a<0，C选项错误； 不等式bx＋c>0即－2ax－8a>0，解得x<－4，B选项正确； 不等式cx2－bx＋a<0即－8ax2＋2ax＋a<0，即8x2－2x－1>0，解得x<－或x>，D选项正确.故选ABD. [综合演练] 1.B　函数y＝x2＋x＋1的对称轴为x＝－， 由题意可知－≥2，解得a≤－， 所以实数a的取值范围是.故选B. 2.BCD　当a<0时，不等式等价于(x－1)(x－a)<0，解得a<x<1；当a＝0时，不等式的解集是∅；当0<a<1时，不等式等价于(x－1)(x－a)>0，解得x>1或x<a；当a＝1时，不等式的解集为{x|x≠1}；当a>1时，不等式等价于(x－1)(x－a)>0，解得x>a或x<1.故选BCD. 3.A　由题意，当1≤x≤5时，不等式x2－ax－5>0有解，所以25－5a－5>0或1－a－5>0，解得a<4.故选A. 4.D　由题知min≥x2－2x＋， 因为a，b为正实数，所以由2a＋b＝0得2a＋b＝ab，即＋＝1， 所以2＝2≥2＋2＋2××＝2＝1， 当且仅当＝，且2a＋b＝ab，即a＝2，b＝4时，等号成立， 所以2≥1，即＋≥， 所以≥x2－2x＋，整理得x2－2x≤0，则0≤x≤2， 结合x为正数，得0<x≤2，所以正数x的最大值为2.故选D. 5.C　依题意，每天有(500－15x)间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为(500－15x)·＝－150x2＋2 000x＋100 000.因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106 600元，所以－150x2＋2 000x＋100 000>106 600，即3x2－40x＋132<0，解得6<x<.因为1≤x≤10且x∈Z，所以x＝7，即该连锁酒店每间客房每天的定价应为270元.故选C. 6.解析　由a＝b－1，得b＝a＋1，所以0<a(a＋1)<2，解得－2<a<－1或0<a<1，故可取a＝. 答案　(答案不唯一) [真题体验] 1.C　≥2，即为≤0， 即故－2≤x<1， 故解集为{x|－2≤x<1}，故选C. 2.解析　原不等式转化为(x－1)(x－3)<0， 解得1<x<3，则其解集为(1,3). 故答案为(1,3). 答案　(1,3) 3.解析　由x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)<0，得－1<x<3. 答案　{x|－1<x<3} 4.解析　由已知得g(x)＝当x≥0时，x2≤2－x，解得－2≤x≤1，因此0≤x≤1；当x<0时，－x2≤2－x，不等式恒成立，因此x<0.综上，x的取值范围为{x|x≤1}. 答案　{x|x≤1} [易误警示] [示例1]　[解析]　当a－2＝0，即a＝2时，不等式恒成立，符合题意.当a－2≠0，即a≠2时. (1)若a－2>0，即a>2时，不合题意. (2)若a－2<0，即a<2时，由题意， 得不等式(2－a)x2＋2(2－a)x＋2>0对任意x∈R恒成立，所以Δ＝4(2－a)2－8(2－a)<0，即(2－a)2－2(2－a)<0，令t＝2－a>0，则t2－2t<0，∴0<t<2.即0<2－a<2，∴0<a<2.综上，a的取值范围是(0,2]. [答案]　(0,2] [示例2]　[解析]　①当a＋1＝0，即a＝－1时，原不等式变为－x＋2<0，即x>2. ②当a＋1>0，即a>－1时，原不等式可化为(x－2)·<0， 若－1<a<－，则>2，解得2<x<； 若a＝－，则＝2，无解； 若a>－，则<2，解得<x<2. ③当a＋1<0，即a<－1时，原不等式可化为(x－2)·>0， ∵a<－1，∴<2，解得x<或x>2. 综上，当a>－时，原不等式的解集为； 当a＝－时，原不等式的解集为∅； 当－1<a<－时，原不等式的解集为； 当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x>2}； 当a<－1时，原不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $