作业(十一) 任意角和弧度制-【假期作业】2026年高一数学寒假假期作业（人教A版·新教材）·新教材）

作业(十一) 任意角和弧度制 　　　任意角和弧度制 1.角的概念：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形. 2.角的分类 正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角. 负角：一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角. 零角：一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角. 3.终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}. 4.弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度.用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 5.角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30°＝57°18′ 角度数×＝弧度数 弧度数×°＝角度数 设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S，圆心角为n°，α为其圆心角的弧度数，0<α<2π，则l＝＝αR，S＝＝αR2＝lR. A.第一象限　　　　 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知角α＝k·180°－2 023°，k∈Z，则符合条件的最大负角为(　　) A.－43° B.－221° C.－203° D.－159° 3.(2025·郑州高一期末)已知扇形弧长为5，弧所对圆心角为20°，则该扇形的半径为(　　) A. B. C. D. 4.现有如下三个集合，A＝{x|x是钝角}，B＝{x|x是第二象限角}，C＝{x|x是小于180°的角}，则下列说法正确的是(　　) A.A＝B B.B＝C C.A⊆B D.B⊆C 1.设集合M＝xx＝·180°＋45°，k∈Z，N＝xx＝·180°＋45°，k∈Z，则集合M，N的关系为(　　) A.M∩N＝∅ B.MN 2.如图所示的复古时钟显示的时刻为10：10，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为(　　) A. B. C. D. 3.(多选)如果角α与角γ＋60°的终边相同，角β与角γ－60°的终边相同，那么α－β可能为(　　) A.120° B.360° C.1 200° D.3 600° 4.(多选)中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形(如图)的面积为S1，圆心角为α1，圆面中剩余部分的面积为S2，圆心角为α2，当S1与S2的比值为≈0.618(黄金分割比)时，折扇看上去较为美观，那么(　　) A.α1≈127.5° B.α1≈137.5° C.α2＝(－1)π D.＝ 5.(开放创新)已知函数f(x)＝2x＋φ，其中常数φ>0，若f与f所对应的角的终边关于x轴对称，则φ的值可以为________.(写出符合条件的一个值即可) 6.小夏同学发现自己手表的时间比北京时间慢了20分钟，他将手表的时间调准，则手表分针转过的角的弧度数为________，已知手表分针长1 cm，则分针扫过的扇形面积为______cm2. 1.(2022·全国甲卷)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，CD⊥AB，“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB＋.当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝(　　) A. B. C. D. 2.(2020·北京卷)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(π Day).历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值.按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是(　　) A.3n B.6n C.3n D.6n 3.(2020·新高考全国卷Ⅰ)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12 cm，DE＝2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2. 易错一　忽略角的旋转方向对角的正负的影响 [示例1]　若将时钟拨慢20 min，则分针转过的角是________；若时钟从6时走到9时，则时针转过的角是________. (1)在角的概念推广中，要抓住角的终边的旋转方向与“＋”“－”的对应关系，即“逆时针”对应“＋”，“顺时针”对应“－”. (2)角旋转的方向决定了一个角的正负，例如钟表的指针是按顺时针方向旋转的，所以所形成的角总是负角.　 易错二　忽略轴线角 [示例2]　已知角α的终边经过点，则下列结论正确的是(　　) A.α是第一象限角 B.α是第二象限角 C.α是第一或第二象限角 D.以上都不对 轴线角由于位置比较特殊，往往容易被忽略，因此在解题过程中要具备考虑这个角是轴线角的情况的意识.　 作业(十一)　任意角和弧度制 答案 [基础演练] 1.C　因为－180°<－150°<－90°，所以角α的终边在第三象限，故选C. 2.A　依题意，α＝k·180°－2 023°，k∈Z，取k＝11时，有最大负角，此时α＝11×180°－2 023°＝－43°.故选A. 3.D　由题设，弧所对圆心角为，且弧长为5，则扇形的半径为5÷＝. 4.C　钝角是大于90°，且小于180°的角，一定是第二象限角，故A⊆B，故A错误，C正确；第二象限角的范围是{x|90°＋k·360°<x<180°＋k·360°，k∈Z}，即第二象限角不一定小于180°，故B、D错误.故选C. [综合演练] 1.B　由于M＝＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝xx＝·180°＋45°，k∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，所以MN.故选B. 2.B　钟表有12个刻度，相邻两个刻度之间所对的圆心角为＝，当时针指向10，分针指向2时，时针与分针的夹角为4×＝；但当分针指向2时，时针由10向11移动了×＝，故该时刻的时针与分针所夹的钝角为－＝. 3.AC　角α与角γ＋60°的终边相同，α＝m·360°＋γ＋60°，m∈Z，角β与角γ－60°的终边相同，β＝n·360°＋γ－60°，n∈Z，所以α－β＝m·360°＋γ＋60°－(n·360°＋γ－60°)＝(m－n)·360°＋120°，m，n∈Z，即α－β与120°角终边相同，选项A、C符合题意. 4.BCD　设扇形的半径为R，则＝＝＝，故D正确；由于α1＋α2＝2π，所以α2＋α2＝2π，解得α2＝(－1)π，故C正确；由≈0.618，得－1≈1.236，所以α2＝(－1)π≈1.236×180°≈222.5°，所以α1≈360°－222.5°＝137.5°，故B正确，A错误.故选BCD. 5.解析　由题意知，f＝－＋φ，f＝π＋φ，因为f，f所对应的角的终边关于x轴对称，所以＋(π＋φ＋2kπ)＝0，k∈Z，解得φ＝－kπ－，k∈Z，又φ>0，所以φ可以为. 答案　(答案不唯一，满足φ＝－kπ－，k∈Z且φ>0 即可) 6.解析　由题意得手表分针转过的角的弧度数为α＝－2π×＝－.由手表分针长1 cm，得分针扫过的扇形弧长l＝|α|r＝(cm)，则分针扫过的扇形面积为S＝lr＝××1＝. 答案　－　 [真题体验] 1.B　由条件得，△OAB为等边三角形，有OC＝， CD＝2－，所以s＝2＋＝2＋＝.故选B. 2.A　连接圆心与圆内接正6n边形的各顶点，则圆内接正6n边形被分割成6n个等腰三角形，每个等腰三角形的腰长均为圆的半径1，顶角均为＝，底角均为＝90°－，所以等腰三角形的底边长均为2cos＝2sin，故单位圆的内接正6n边形的周长为6n×2sin；连接圆心与圆外切正6n边形的各顶点，则圆外切正6n边形被分割成6n个等腰三角形，每个等腰三角形底边上的高均为圆的半径1，顶角均为＝，顶角的一半均为，所以等腰三角形的底边长均为2tan ，故单位圆的外切正6n边形的周长为6n×2tan .因为单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形的周长的算术平均数为2π的近似值，所以2π≈＝6n×sin ＋6n×tan ，所以π≈3n×sin ＋3n×tan＝3n.故选A. 3.解析　如图，连接OA，作AQ⊥DE，交ED的延长线于Q，AM⊥EF于M，交DG于E′，交BH于F′，记过O且垂直于DG的直线与DG的交点为P，设OP＝3m，则DP＝5m，不难得出AQ＝7，AM＝7，于是AE′＝5，E′G＝5，∴∠AGE′＝∠AHF′＝，△AOH为等腰直角三角形.又AF′＝5－3m，OF′＝7－5m，AF′＝OF′，∴5－3m＝7－5m，得m＝1，∴AF′＝5－3m＝2，OF′＝7－5m＝2，∴OA＝2，则阴影部分的面积S＝×π×(2)2＋×2×2－＝(cm2). 答案　＋4 [易误警示] [示例1]　[解析]　需要拨慢20分钟，则逆时针转动×360°＝120°，故分针转过的角是120°.时针从6时走到9时，是顺时针走动的，所以时针转过的角为－×360°＝－90°. [答案]　120°　－90° [示例2]　[解析]　当3a－9>0，即a>3时，角α是第一象限角；当3a－9<0，即a<3时，角α是第二象限角；当3a－9＝0，即a＝3时，角α是轴线角.因此ABC都是错误的，D正确. 学科网（北京）股份有限公司 $