作业(十五) 函数y＝Asin(ωx＋φ)、三角函数的应用-【假期作业】2026年高一数学寒假假期作业（人教A版·新教材）·新教材）

作业(十五) 函数y＝Asin(ωx＋φ)、三角函数的应用 函数y＝Asin(ωx＋φ)、三角函数的应用 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (1)五点法作图象. (2)变换法作图象. 由函数y＝sin x的图象通过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法： 2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质 (1)T＝. (2)一般用换元法，即把“ωx＋φ(ω>0)”视为一个“整体”，解决单调性、对称性及最值、值域问题. 3.在物理学中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数y＝Asin(ωx＋φ)中的常数有关. A 它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅. T T＝，它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间，称为周期. f f＝＝，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为频率. φ ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相. 1.(2025·北京二中高一学段测试)函数y＝3sin x的图象上所有点经过合适的变换，得到函数y＝3sin的图象，则这个变换可以为(　　) A.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位长度 B.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位长度 C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位长度 D.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将所得的图象向右平移个单位长度 2.为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象(　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 3.将函数f(x)＝cos 2x图象上所有的点都向左平移个单位长度后，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的4倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(π)＝(　　) A.　　　　　　　 B.－ C. D.－ 4.如图是函数y＝Asin(A>0)的部分图象，则该函数的解析式可以是(　　) A.y＝2sin 　 B.y＝2sin C.y＝2sin D.y＝2sin 1.(2025·河南豫东名校高一期末) 若函数f(x)＝tan的最小正周期为2π，且函数f(x)在区间上单调递增，则m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 2.(多选)已知函数f(x)＝sin2x＋2·sin xcos x－cos2x，x∈R，则(　　) A.－2≤f(x)≤2 B.f(x)在区间(0，π)上只有1个零点 C.f(x)的最小正周期为π D.x＝为f(x)图象的一条对称轴 3.(多选)已知f(x)＝cos x·sin，则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z B.若x为锐角，则函数f(x)的最大值是 C.直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴 D.若x为钝角，则函数f(x)没有最小值 4.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的最小正周期为2，且函数图象过点，若f(x)在[－2，a]内有5个零点，则a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 5.把函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(0<ω<π)的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于y轴对称，则f(x)的最小正周期为________.若f(x)在区间上存在最大值，则实数a的取值范围为________. 6.已知函数f(x)＝2sin xcos. (1)求f的值； (2)把函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的(ω>0)(纵坐标保持不变)'得到函数g(x)的图象，设g(x)的最小正周期为T，π<T<2π，且其图象关于直线x＝对称，求ω的值. 1.(2024·北京卷)设函数f(x)＝sin ωx(ω>0).已知f(x1)＝－1，f(x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为，则ω＝(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 2.(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin，下列说法中正确的有(　　) A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 3.(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________. 4.(2025·全国二卷)已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)(0≤φ<π)，f(0)＝. (1)求φ； (2)设函数g(x)＝f(x)＋f，求g(x)的值域和单调区间. 易错一　对图象变换法则理解不清致误 [示例1]　函数f(x)＝sin的图象向左平移φ个单位长度，恰与函数g(x)＝cos的图象重合，则φ的取值可能是(　　) A. B. C. D. x轴上平移：把x换成(x±φ)； x轴上伸缩：把x换成ωx.　 易错二　因取点不当而致误 [示例2]　(多选)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) 的部分图象如图所示，则(　　) A.f(x)的解析式可以表示为f(x)＝2cos B.函数f(x)的图象关于直线x＝－对称 C.f(x)的图象向右平移个单位长度后可得y＝2sin 2x的图象 D.函数f(x)在区间上单调递减 (1)由图求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式时一般先求A，再求ω，最后求φ. (2)由于在一个周期上，最值点唯一，所以取最值点求φ一定正确，当取零点时，务必确定是第几个零点，否则出现错误.　 作业(十五)　函数y＝Asin(ωx＋φ)、 三角函数的应用 答案 [基础演练] 1.B　为了得到函数y＝3sin的图象， 先把函数y＝3sin x图象的纵坐标不变， 横坐标缩短到原来的，得到函数y＝3sin 2x的图象， 再把所得图象所有的点向左平移个单位长度得到y＝3sin的图象.故选B. 2.D　为了得到函数y＝sin＝sin的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度即可.故选D. 3.B　将f(x)图象上所有的点都向左平移个单位长度后，得到函数y＝cos 2＝cos的图象，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的4倍(纵坐标不变)，得到g(x)＝cos的图象，则g＝cos＝－.故选B. 4.C　由题图可得，A＝2，T＝－＝，即T＝π＝，即ω＝±2，观察各选项可知，本题考虑ω＝2即可，则y＝2sin，把点代入y＝2sin中，可得sin＝1，故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，所以y＝2sin＝2sin.故选C. [综合演练] 1.B　由题意知T＝＝2π，解得ω＝， 所以f(x)＝tan， 令－＋kπ<x＋<＋kπ，k∈Z， 解得－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z， 当k＝0时，可得f(x)在上单调递增， 又函数f(x)在区间上单调递增， 所以0<m<， 即m的取值范围是.故选B. 2.AC　f(x)＝sin2x＋2sin xcos x－cos2x＝sin 2x－cos 2x＝2sin.A选项，因为x∈R，所以－2≤f(x)≤2，故正确；B选项，当x∈(0，π)时，2x－∈，当2x－＝0或π时，f(x)＝0，因此f(x)在区间(0，π)上有2个零点，故不正确；C选项，f(x)的最小正周期为＝π，故正确；D选项，当x＝时，f＝2sin＝－1，显然不是最值，故不正确.故选AC. 3.BC　f(x)＝cos x·sin＝cos x·＝cos xsin x－cos2x＝sin 2x－＝sin 2x－－＝sin－.令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，A错误；当0<x<时，－<2x－<，－<sin－≤，所以此时函数f(x)的最大值是，B正确；当x＝时，f＝sin－＝sin －＝，此时函数取到最大值，故直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，C正确；当<x<π时，<2x－<，－≤sin－<0，所以此时函数f(x)的最小值是－，D错误.故选BC. 4.D　由最小正周期T＝2＝，得ω＝π. ∵f(x)的图象过点，∴sin＝1， 得＋φ＝＋2kπ，k∈Z， ∵|φ|<π，∴φ＝，∴f(x)＝sin. 当x∈[－2，a]时，πx＋∈， ∵f(x)在[－2，a]内有5个零点，结合正弦函数的图象可得3π≤aπ＋<4π，∴≤a<.故选D. 5.解析　f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin，函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到y＝2sin＝2sin的图象.∵y＝2sin的图象关于y轴对称，∴y＝2sin为偶函数，∴ω＋＝－＋kπ，k∈Z， ∴ω＝6k－4，k∈Z，又0<ω<π，∴ω＝2，∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.当x∈时，2x＋∈，若f(x)在区间上存在最大值，则2a＋>，解得a>，即实数a的取值范围为. 答案　π　 6.解析　(1)f(x)＝2sin x ＝cos sin 2x－2sin2xsin ＝sin 2xcos －2×·sin ＝sin 2xcos ＋cos 2xsin － ＝sin－， 所以f＝sin－＝－. (2)把函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得y＝sin－＝sin－的图象，再将图象上各点的横坐标变为原来的(ω>0)(纵坐标保持不变)，得到函数g(x)＝sin－的图象. 因为π<T<2π，所以π<<2π，得<ω<1. 因为g(x)的图象关于直线x＝对称，所以2ω·＋＝＋kπ，k∈Z，得ω＝，k∈Z. 因为<ω<1，所以令k＝1，所以ω＝. [真题体验] 1.B　因为f(x)＝sin ωx∈[－1,1]，且f(x1)＝－1，f(x2)＝1，|x1－x2|min＝，所以f(x)的最小正周期T＝2×＝π，所以ω＝＝2.故选B. 2.BC　(直接法)　对于A，令f(x)＝0，则x＝，k∈Z，又g≠0，故A错误；对于B，f(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确；对于C，f(x)与g(x)的最小正周期都为π，故C正确；对于D，f(x)图象的对称轴方程为2x＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，g(x)图象的对称轴方程为2x－＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同，故D错误.故选BC. 3.解析　设A，B，则x2－x1＝， ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝π－＝，ω(x2－x1)＝，∴ω＝4.f＝sin＝0，＋φ＝kπ(k∈Z)， φ＝－π＋kπ(k∈Z)， k＝2时，φ＝－π，f(x)＝sin满足条件. ∴f(π)＝sin＝－. 答案　－ 4.解析　(1)由题意f(0)＝cos φ＝(0≤φ<π)， 所以φ＝. (2)由(1)可知f(x)＝cos， 所以g(x)＝f(x)＋f＝cos＋cos 2x＝cos 2x－sin 2x＋cos 2x＝cos 2x－sin 2x＝cos， 所以函数g(x)的值域为[－，]， 令2kπ≤2x＋≤π＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 令π＋2kπ≤2x＋≤2π＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数g(x)的单调递减区间为 (k∈Z)， 函数g(x)的单调递增区间为 (k∈Z). [易误警示] [示例1]　[解析]　f(x)＝sin的图象向左平移φ个单位长度得到y＝sin＝sin2x＋2φ－的图象，g(x)＝cos＝cos2x＋－＝sin.因为函数f(x)的图象平移后恰与函数g(x)的图象重合，所以2φ－＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝. [答案]　D [示例2]　[解析]　由题图可知，A＝2，×＝－，得ω＝2.结合图象及|φ|<，知2×＋φ＝π，得φ＝，所以f(x)＝2sin. 对于A，f(x)＝2sin＝2sin＝2cos，故A正确；对于B，函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝＋k(k∈Z)，当k＝－1时，x＝－，故B正确；对于C，f(x)的图象向右平移个单位长度后，得y＝2sin＝2sin 2x的图象，故C正确；对于D，函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)，当k＝－1时， 不包含于，故D错误.故选ABC. [答案]　ABC 学科网（北京）股份有限公司 $