作业(十四) 三角恒等变换-【假期作业】2026年高一数学寒假假期作业（人教A版·新教材）·新教材）

作业(十四) 三角恒等变换 　　　三角恒等变换 两角 和、 差公 式 S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； T(α＋β)：tan(α＋β)＝； T(α－β)：tan(α－β)＝. 变形：(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)，tan αtan β＝1－； (2)tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)，tan α－tan β－tan αtan β tan(α－β)＝tan(α－β)，tan αtan β＝－1； (3)辅助角公式asin x＋bcos x＝·sin(x＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝ 二倍 角公 式 S2α：sin 2α＝2sin αcos α； C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； T2α：tan 2α＝. 变形：(1)＝cos α，＝sin α； (2)(sin α±cos α)2＝1±sin 2α； (3)sin2α＝，cos2α＝ 半角 公式 sin ＝± ；cos ＝± ；tan ＝± ＝＝. 变形：(1)1＋cos α＝2cos2， 1－cos α＝2sin2； (2)sin cos ＝sin α， 1±sin α＝2 1.sin 20°cos 40°＋sin 70°sin 40°＝(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 2.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，角α的终边经过点(3,4)，则sin的值是(　　) A. B. C. D. 3.已知cos＝，则sin 2α＝(　　) A. B. C.－ D.－ 4.(2025·湖南师范大学附中高一期末)在△ABC中，cos A＝且cos B＝，则cos C等于(　　) A.－ B. C.－ D. 1.(2025·安徽亳州高一期末)已知α，β∈(0，π)，且cos α＝，sin＝，则cos β＝(　　) A. B.－ C. D.－ 2.(多选)下列各式中，值为的有(　　) A.sin sin B.sin 173°cos 23°＋sin 83°cos 67° C. D. 3.已知＝2，则tan θ＝(　　) A. B.－ C.－ D. 4.已知α，β∈(0，π)，且α，β≠，若sin(α－β)＝，＝－5，则α＋β＝(　　) A. B. C. D. 5.(多选)已知≤α≤π，π≤β≤，sin 2α＝，cos＝－，则(　　) A.cos α＝－ B.sin α－cos α＝ C.β－α＝ D.cos αcos β＝－ 6.在△ABC中，A，B为锐角且B<A，sin A＝，sin 2B＝. (1)求角C； (2)求证：5cos Acos＝2sin B. 1.(2025·全国二卷)已知0<α<π，cos ＝，则sin＝(　　) A. B. C. D. 2.(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)＝(　　) A.－3m B.－ C. D.3m 3.(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝(　　) A. B. C. D. 4.(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin(α＋β)＝_______. 易错一　忽视三角形条件致误 [示例1]　设角A，B，C∈，且cos A＋cos B＝cos C，sin A－sin B＝sin C，则C－A＝(　　) A.－ B.－ C. D.或－ 在△ABC中，sin A>sin B⇔A>B.在三角形问题中，满足这个结论.　 易错二　因不等价变形致误 [示例2]　若α∈(0，π)，且cos 2α＝sin，则α的值为________. 在三角等式的变形中，同乘或同除以一个式子，要注意其是否为零.　 作业(十四)　三角恒等变换 答案 [基础演练] 1.D　sin 20°cos 40°＋sin 70°sin 40°＝cos 70°cos 40°＋sin 70°sin 40°＝cos(70°－40°)＝cos 30°＝，故选D. 2.C　由三角函数定义得sin α＝＝，cos α＝＝，所以sin＝sin αcos －cos αsin＝×－×＝.故选C. 3.A　由cos＝，得cos αcos －sin αsin ＝，即cos α－sin α＝，两边平方，得2sin αcos α＝，即sin 2α＝.故选A. 4.B　∵在△ABC中，A＋B＋C＝π， ∴C＝π－，又cos A＝，cos B＝， ∴sin A＝，sin B＝， ∴cos C＝cos ＝－cos ＝－cos Acos B＋sin Asin B ＝·＋·＝.故选B. [综合演练] 1.B　由α∈(0，π),0<cos α＝<，可得α∈，则sin α＝＝ ＝， ∵sin＝<，则0<α＋β<或<α＋β<π， 由于α∈，所以<α＋β<π，cos＝－＝－， cos β＝cos＝coscos α＋sinsin α＝－×＋×＝－，故选B. 2.BCD　sin sin ＝sin cos ＝sin ＝； sin 173°cos 23°＋sin 83°cos 67°＝sin 7°cos 23°＋cos 7°sin 23°＝sin(7°＋23°)＝sin 30°＝； ＝tan 45°＝； 得(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2， 所以＝.故选BCD. 3.C　＝ ＝＝tan ＝2， 则tan θ＝＝＝－. 4.D　∵sin(α－β)＝，＝－5， ∴sin αcos β－cos αsin β＝①， ＝－5②， 由①②得sin αcos β＝，cos αsin β＝－， 又α，β∈(0，π)，且α，β≠， ∴0<β<，<α<π，∴<α＋β<， 又sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝， ∴α＋β＝.故选D. 5.BC　因为≤α≤π，所以≤2α≤2π，又sin 2α＝>0， 所以≤2α≤π，≤α≤，所以cos 2α＝－＝2cos2α－1⇒cos2α＝⇒cos α＝，A错误；(sin α－cos α)2＝1－sin 2α＝，因为≤α≤，所以sin α≥cos α，所以sin α－cos α＝，B正确；因为≤α≤，π≤β≤，所以≤α＋β≤2π，又cos＝－<0，所以≤α＋β≤，所以sin＝－，所以cos(β－α)＝cos[(α＋β)－2α]＝－×＋－×＝－，又≤α＋β ≤，－π≤－2α≤－，所以≤β－α≤π，所以β－α＝，C正确；cos＝cos αcos β－sin αsin β＝－，cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，两式联立得cos αcos β＝－，D错误.故选BC. 6.解析　(1)∵A为锐角，sin A＝， ∴cos A＝＝. 又B<A，sin A＝<， ∴B<45°，2B<90°， ∵sin 2B＝，∴cos 2B＝＝， ∵cos 2B＝2cos2B－1， ∴cos B＝＝，sin B＝. ∴cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B＝－×＋×＝－， ∵0°<C<180°，∴C＝135°. (2)证明　由(1)知A＋B＝45°， ∴cos＝cos＝cos 45°cos 2B－sin 45°sin 2B＝×－×＝， ∴左边＝5cos Acos＝5××＝， 右边＝2sin B＝2×＝， ∴5cos Acos＝2sin B成立. [真题体验] 1.D　cos α＝2cos2－1＝2×2－1＝－， 因为0<α<π，则<α<π， 则sin α＝＝ ＝， 则sin＝sin αcos －cos αsin ＝×－×＝.故选D. 2.A　由cos(α＋β)＝m得cos αcos β－sin αsin β＝m　①.由tan αtan β＝2得＝2　②，由①②得所以cos(α－β)＝cos α cos β＋sin αsin β＝－3m.故选A. 3.D　sin2＝(1－cos α)＝·＝＝2，∴sin ＝，故选D. 4.解析　由题知tan(α＋β)＝＝＝－2，即sin(α＋β)＝－2cos(α＋β)，又sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，可得sin(α＋β)＝±.由2kπ<α<2kπ＋，k∈Z,2mπ＋π<β<2mπ＋，m∈Z，得2(k＋m)π＋π<α＋β<2(k＋m)π＋2π，k＋m∈Z.又tan(α＋β)<0，所以α＋β是第四象限角，故sin(α＋β)＝－. 答案　－ [易误警示] [示例1]　[解析]　由cos A＋cos B＝cos C， 得cos B＝cos C－cos A， 所以cos2C－2cos Ccos A＋cos2A＝cos2B①， 同理可得sin2C－2sin CsinA＋sin2A＝sin2B②， 由①②，可得1－2(cos Ccos A＋sin Csin A)＝0， 即cos(C－A)＝.因为C，A∈， 易知sin B>0，所以根据sin A＝sin B＋sin C， 得sin A>sin C，又C，A∈， 所以C<A，故C－A＝－. [答案]　B [示例2]　[解析]　由cos 2α＝sin， 知cos2α－sin2α＝(cos α－sin α)， 即(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝(cos α－sin α). 当cos α－sin α＝0时，cos α＝sin α， 即tan α＝1，由α∈(0，π)，得α＝； 当cos α－sin α≠0时，cos α＋sin α＝， 所以sin＝，即sin＝， 由α∈(0，π)，得α＋∈， 所以α＋＝，得α＝.综上，α的值为或. [答案]　或 学科网（北京）股份有限公司 $