作业(十二) 三角函数的概念、诱导公式-【假期作业】2026年高一数学寒假假期作业（人教A版·新教材）·新教材）

作业(十二) 三角函数的概念、诱导公式 　三角函数的概念、诱导公式 在平面直角坐标系内，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP(O为坐标原点)与单位圆相交于点P(x，y). 正弦函数 余弦函数 正切函数 定义 把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α 把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α (x≠0)叫做α的正切函数，记作tan α，即＝tan α(x≠0) 定义域 R R αα≠＋kπ，k∈Z 在各象限的符号 (2)tan α＝. (3)应用技巧 正余互化 利用公式sin2 θ＝1－cos2θ或cos2θ＝1－sin2 θ进行转化 切弦互化 利用公式tan θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正切 和积转换 利用关系式(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ进行变形、转化 “1”的变换 1＝sin2 θ＋cos2 θ＝cos2 θ(1＋tan2 θ)＝(sin θ±cos θ)2∓2sin θcos θ＝tan 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. 公式一： sin(2kπ＋α)＝sin α(k∈Z)； cos(2kπ＋α)＝cos α(k∈Z)； tan(2kπ＋α)＝tan α(k∈Z). 公式二： sin(π＋α)＝－sin α；cos(π＋α)＝－cos α； tan(π＋α)＝tan α. 公式三： sin(－α)＝－sin α；cos(－α)＝cos α； tan(－α)＝－tan α. 公式四： sin(π－α)＝sin α；cos(π－α)＝－cos α； tan(π－α)＝－tan α. 公式五： sin＝cos α；cos＝sin α. 公式六： sin＝cos α；cos＝－sin α. 1.sin 2 025°的值是(　　) A.－　　B.　　C.　　D.－ 2.已知sin2α＝cos α－1，则sin＝(　　) A.1 B.－1 C.2 D.－ 3.(教材变式)已知cos＝－，α∈，则cos的值为(　　) A.－ B.－ C. D. 4.如果角α的终边在直线y＝2x上，则5sin2α＋3sin αcos α－2＝(　　) A.－ B. C.－ D.或－ 1.若cos α＝－，且角α的终边经过点P(x,2)，则x＝(　　) A.2 B.±2 C.－2 D.－2 2.(多选)下列三角函数值为负数的是(　　) A.tan B.tan 505° C.sin 7.6π D.sin 186° 3.(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P，则下列各式的值一定为负的是(　　) A.cos α B.sin α－cos α C.sin αcos α D.sin 4.(探索创新)在平面直角坐标系xOy中，角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点P，|OP|＝r(r>0)，定义μ(θ)＝，v(θ)＝，若v(θ)＝，且θ∈，则μ(θ)＝(　　) A. B.1 C. D. 5.(2025·河南豫东名校高一期末)已知tan α＝，则的值为________. 6.(开放创新)已知函数f(x)＝sin，若对任意x∈R都有f(x)＋f＝0，则φ＝________.(填上一个正确的即可) 1.(2024·全国甲卷)已知＝，则tan＝(　　) A.2＋1 B.2－1 C. D.1－ 2.(2023·全国甲卷)设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sin α＋cos β＝0，则(　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3.(2023·全国甲卷)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin为偶函数，则a＝________. 4.(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝________. 易错一　忽略对参数的分类讨论致误 [示例1]　化简(n∈Z)的结果为________. 当三角函数式中含参数n∈Z，需分类讨论.　 易错二　忽视隐含条件致误 [示例2]　已知sin θ＝，cos θ＝，若θ为第二象限角，则tan θ的值是______. 对含字母的正弦的表达式，求出字母的值后，需检验是否满足题中的隐含条件.　 作业(十二)　三角函数的概念、诱导公式 答案 [基础演练] 1.A　sin 2 025°＝sin＝sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－.故选A. 2.B　∵sin2α＝cos α－1，∴1－cos2α＝cos α－1，即cos2α＋cos α－2＝0，∴cos α＝1或cos α＝－2(舍去)， ∴sin＝－cos α＝－1.故选B. 3.D　因为α∈，所以α＋∈，则由cos＝－，可得sin＝＝，故cos＝cos＝sin＝，故选D. 4.B　因为角α的终边在直线y＝2x上，所以设直线y＝2x上一点(m,2m)(m≠0)，可得tan α＝＝2.所以5sin2α＋3sin αcos α－2＝5sin2α＋3sin αcos α－2＝3sin αcos α＋3sin2α－2cos2α＝＝＝＝.故选B. [综合演练] 1.D　因为cos α＝－<0，所以x<0，又r＝，则＝－，解得x＝－2(x＝2舍去). 2.BCD　对于A，由－是第三象限角得tan>0，因此A不满足题意；对于B，由505°＝360°＋145°，得505°角是第二象限角，所以tan 505°<0，因此B满足题意；对于C，由7.6π＝8π－0.4π，得7.6π是第四象限角，所以sin 7.6π<0，因此C满足题意；对于D，由186°是第三象限角得sin 186°<0，因此D满足题意.故选BCD. 3.AD　由题意知，sin α＝，cos α＝－<0，tan α＝－m.∵不确定m的正负，∴sin α－cos α与sin αcos α的符号不确定.∵sin＝cos α<0， ∴一定为负值的是A、D选项.故选AD. 4.C　因为v(θ)＝，且θ∈，所以由三角函数的定义可知，v(θ)＝＝＝sin θ－cos θ＝. 解法一　结合sin2θ＋cos2θ＝1解得sin θ＝，cos θ＝，所以μ(θ)＝＝＝sin θ＋cos θ＝.故选C. 解法二　两边平方得1－2sin θcos θ＝，则2sin θcos θ＝，则1＋2sin θcos θ＝2＝，即sin θ＋cos θ＝，所以μ(θ)＝＝＝sin θ＋cos θ＝.故选C. 5.解析　由题意知＝ ＝＝＝＝. 答案　 6.解析　因为f(x)＋f(x＋φ)＝0对任意x∈R恒成立，所以f(x)＋f(x＋φ)＝sin＋sin＝0， 所以sin＝－sin，故2φ＝π，即φ＝，令k＝0，得φ＝. 答案　 [真题体验] 1.B　根据题意有＝，即1－tan α＝，所以tan α＝1－，所以tan＝＝＝2－1，故选B. 2.B　当sin2α＋sin2β＝1时，例如α＝，β＝0， 但sin α＋cos β≠0，即sin2α＋sin2β＝1推不出sin α＋cos β＝0；当sin α＋cos β＝0时，sin2α＋sin2β＝(－cos β)2＋sin2β＝1，即sin α＋cos β＝0能推出sin2α＋sin2β＝1.综上可知，甲：sin2α＋sin2β＝1是乙：sin α＋cos β＝0的必要不充分条件. 3.解析　∵f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin＝(x－1)2＋ax＋cos x＝x2＋(a－2)x＋1＋cos x，且函数为偶函数，∴a－2＝0，解得a＝2，故答案为2. 答案　2 4.解析　因为θ∈，则sin θ>0，cos θ>0， 又tan θ＝＝，则cos θ＝2sin θ， 且cos2 θ＋sin2 θ＝4sin2 θ＋sin2 θ＝5sin2 θ＝1， 解得sin θ＝或sin θ＝－(舍去)， 所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－. 故答案为－. 答案　－ [易误警示] [示例1]　[解析]　①当n＝2k(k∈Z)时， 原式＝＝＝－sin α. ②当n＝2k＋1(k∈Z)时， 原式＝ ＝＝sin α. 综上，化简所得的结果为(－1)n＋1sin α(n∈Z). [答案]　(－1)n＋1sin α(n∈Z) [示例2]　[解析]　∵sin2θ＋cos2θ＝1， ∴2＋2＝1，解得a＝1或a＝. 当a＝1时，sin θ＝0，θ不是第二象限角，舍去；当a＝时，sin θ>0，cos θ<0，θ是第二象限角，符合题意. ∴tan θ＝＝－. [答案]　－ 学科网（北京）股份有限公司 $