作业(十) 函数的应用(二)-【假期作业】2026年高一数学寒假假期作业（人教A版·新教材）·新教材）

作业(十) 函数的应用(二) 　　　函数的应用(二) 1.函数的零点 概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点 等价关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点 函数零点 存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解 3.函数模型的应用 1.给出下列函数，其中在(0，＋∞)上是增函数且不存在零点的函数是(　　) A.y＝－　　　 B.y＝3 C.y＝logx－1 D.y＝|x| 2.已知函数f(x)在区间[－2,2]上有定义，则“f(x)在区间[－2,2]上有零点”是“f(－2)·f(2)<0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知f(x)，g(x)的图象均为[－1,3]上连续不断的曲线，根据下表能判断方程f(x)＝g(x)有实数解的区间是(　　) x －1 0 1 2 3 f(x) －0.946 1 －0.314 0 1.404 3 6.075 1 18.772 g(x) －1.324 －0.324 0 0.676 0 7.676 0 26.676 C.(0,1) D.(－1,0) 4.设函数f(x)＝log3－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 1.若方程x2＋ln x－4＝0在区间(a，b)(a，b是整数，且b－a＝1)上存在一个实数根，则a＋b＝(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 2.(多选)已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x＋log2x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则(　　) A.a>0 B.b>0 C.c＝0 D.b>c>a 3.(2025·安徽皖江名校高一联考) 已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－2t在区间(－1,3)内有且仅有两个零点，则实数t的取值范围是(　　) A. B. C. D. 4.(2025·汉中市高一期末)“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好.小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为5 m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的75%，若石片接触水面时的速度低于2 m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为________.(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 5≈1.61) 5.定义在上的函数f(x)满足f＝f(x)，当x∈[0,2)时，f(x)＝x2－2x＋1，若直线y＝a与f(x)的图象恰有8个交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x8，y8)，则实数a的取值范围为______，x1＋x2＋…＋x8＝________. 6.设函数f(x)＝. (1)当a>0时，根据定义证明函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减； (2)设g(x)＝f(x)＋ax－3，若g(x)在(1，＋∞)上存在两个零点，求实数a的取值范围. 1.(2025·天津卷)函数f(x)＝0.3x－的零点所在区间是(　　) A.(0,0.3) B.(0.3,0.5) C.(0.5,1) D.(1,2) 2.(2024·北京卷)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(　　) A.3N2＝2N1 B.2N2＝3N1 C.N＝N D.N＝N 3.(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3＝100p0 D.p1≤100p2 易错一　忽视零点存在定理的运用条件 [示例1]　对于函数f(x)，若f(－2)·f(5)<0，则(　　) A.函数f(x)在区间(－2,5]上一定有零点 B.函数f(x)在区间(－2,5]上一定无零点 C.函数f(x)在区间(－2,5]上一定有两个零点 D.函数f(x)在区间(－2,5]上可能无零点 零点存在定理中的两个条件，是保证函数有零点的充分条件，而不是必要条件，另外零点存在定理，只能判定函数有零点，但不能判定零点的个数.　 易错二　使用函数模型求解实际问题时忽视定义域 [示例2]　随着海拔的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y(g/m3)与大气压强x(kpa)成正比例函数关系.当x＝36时，y＝144，则y与x的函数关系为(　　) A.y＝x B.y＝x(x≥0) C.y＝4x D.y＝4x(x≥0) 实数问题中函数的定义域要满足两个要求：一是使函数有意义；二是使实际问题有意义.即函数自变量的取值要符合实际意义.　 作业(十)　函数的应用(二) 答案 [基础演练] 1.A　A选项中函数在(0，＋∞)上是增函数且不存在零点，故A正确；B选项中函数的零点是1，故B错误；C、D选项中函数在(0，＋∞)上是减函数，故C、D错误.故选A. 2.D　已知函数f(x)在区间[－2,2]上有定义，若f(x)在区间[－2,2]上有零点，不妨取f(x)＝x2，此时f(x)的零点为0，但f(－2)·f(2)>0，即“f(x)在区间[－2,2]上有零点”⇒/ “f(－2)·f(2)<0”；若f(－2)·f(2)<0，不妨取f(x)＝此时f(x)在[－2,2]上满足f(－2)·f(2)<0，但无零点，即“f(－2)·f(2)<0”⇒/ “f(x)在区间[－2,2]上有零点”.故“f(x)在区间[－2,2]上有零点”是“f(－2)·f(2)<0”的既不充分也不必要条件.故选D. 3.B　令F(x)＝f(x)－g(x)，因为f(x)，g(x)的图象均为[－1,3]上连续不断的曲线，所以F(x)的图象是上连续不断的曲线且F＝f－g＝－0.946 1＋1.324>0，F(0)＝f(0)－g(0)＝－0.314 0＋0.324 0>0, F＝f－g＝1.404 3－0.676 0>0，F＝f－g ＝6.075 1－7.676 0<0，F＝f－g＝18.772－26.676<0，因为F(1)·F(2)<0，所以函数F(x)＝f(x)－g(x)有零点的区间为(1,2)，即方程f(x)＝g(x)有实数解的区间是(1,2).故选B. 4.C　令f(x)＝0得a＝log3，令h(x)＝log3＝log3，由复合函数的单调性可知，当x∈时，h(x)单调递减.又h＝log32，h＝log33＝1，故当x∈(1,2)时，h(x)∈，要使f(x)＝log3－a在区间(1,2)内有零点，则a∈.故选C. [综合演练] 1.A　令f(x)＝x2＋ln x－4，易知f(x)在(0，＋∞)上为增函数，又f(1)＝－3<0，f(2)＝ln 2>0，由零点存在定理，知存在唯一一个x0∈(1,2)，使得f(x0)＝0，此时a＝1，b＝2，满足b－a＝1，所以a＋b＝3. 2.BCD　由于f(－1)＝－1＝－<0，f(0)＝1>0，f(x)＝2x＋x是定义域上的单调递增函数，故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1,0)，A错误. ∵g＝－1＋＝－<0，g(1)＝1>0， g(x)＝log2x＋x是定义域上的单调递增函数， ∴g(x)的零点b∈，B正确. 令h(x)＝x3＋x＝0，得x＝0，且h(x)＝x3＋x是定义域上的单调递增函数，故h(x)＝x3＋x的零点c＝0，故b>c>a，故C，D正确.故选BCD. 3.C　函数y＝f(x)－2t在区间(－1,3)内有且仅有两个零点，等价于f(x)－2t＝0在区间(－1,3)内有且仅有两个实数根， 又等价于函数y＝f(x)的图象与直线y＝2t在区间(－1，3)内有且仅有两个公共点， 因为f(x)＝ 由图知－×1＋1<2t≤，即<2t≤1，解得<t≤.故选C. 4.解析　设这次“打水漂”石片的弹跳次数为x， 由题意得5×0.75x<2，即0.75x<0.4，得x>log0.750.4. 因为log0.750.4＝＝＝≈， 所以x>，故x＝4. 故答案为4. 答案　4 5.解析　因为定义在上的函数f(x)满足f＝f(x)，当x∈时，f(x)＝x2－2x＋1，所以当x∈时，f(x)＝f＝2，当x∈时，f(x)＝f＝f＝2，当x∈时，f(x)＝f＝2，当x∈时，f(x)＝f＝2，作出函数f(x)与y＝a在[0,10)上的图象如图所示.由图可知，当<a<时，直线y＝a与函数f(x)的图象有8个交点，不妨设x1<x2<…<x8，结合图可知，点(x1，y1)，(x2，y2)关于直线x＝1对称，则x1＋x2＝2，同理可得x3＋x4＝6，x5＋x6＝10，x7＋x8＝14，因此，x1＋x2＋…＋x8＝2＋6＋10＋14＝32. 答案　　32 6.解析　(1)证明　任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝－ ＝＝， 因为1<x1<x2， 所以x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0， 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减. (2)令g(x)＝＋ax－3＝0， 原命题等价于方程ax2－(a＋3)x＋(a＋3)＝0在(1，＋∞)上有两个相异实根. 当a＝0时，方程为－3＝0，无解，不符合题意； 当a>0时，⇒ ⇒0<a<1； 当a<0时，⇒ ⇒a∈∅. 综上，实数a的取值范围为{a|0<a<1}. [真题体验] 1.B　由指数函数、幂函数的单调性可知y＝0.3x在R上单调递减，y＝在[0，＋∞)上单调递增， 所以f(x)＝0.3x－在定义域上单调递减， 显然f(0)＝1>0，f(0.3)＝0.30.3－0.30.5>0，f(0.5)＝0.30.5－0.50.5<0， 所以根据零点存在性定理可知f(x)的零点位于(0.3,0.5).故选B. 2.D　由题意，得＝2.1，＝3.15.若S不变，则2.1ln N1＝3.15ln N2， 即2ln N1＝3ln N2，所以N＝N.故选D. 3.ACD　根据题意可知Lp1∈，Lp2∈，Lp3＝40，结合对数运算逐项分析判断. 对于选项A：可得 Lp1－Lp2＝20×lg－20×lg＝20×lg， 因为Lp1≥Lp2，则Lp1－Lp2＝20×lg≥0， 即lg≥0，所以≥1且p1，p2>0，可得p1≥p2，故A正确； 对于选项B：可得 Lp2－Lp3＝20×lg－20×lg＝20×lg， 因为Lp2－Lp3＝Lp2－40≥10，则20×lg≥10，即lg≥，所以≥且p2，p3>0，可得p2≥p3，当且仅当Lp2＝50时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为Lp3＝20×lg＝40， 即lg＝2，可得＝100，即p3＝100p0，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：Lp1－Lp2＝20×lg， 且Lp1－Lp2≤90－50＝40，则20×lg≤40， 即lg≤2，可得≤100，且p1，p2>0，所以p1≤100p2，故D正确.故选ACD. [易误警示] [示例1]　[解析]　由零点存在定理知，保证在(－2,5)上有零点的充分条件是f(x)在[－2,5]上连续且f(－2)f(5)<0，所以A、B、C错误.故选D. [答案]　D [示例2]　[解析]　由题意可知y＝kx(k>0)，x≥0， 则144＝k·36，∴k＝4，故y＝4x(x≥0). [答案]　D 学科网（北京）股份有限公司 $