作业(三) 不等式的性质与基本不等式-【假期作业】2026年高一数学寒假假期作业（人教A版·新教材）·新教材）

作业(三) 不等式的性质与基本不等式 　不等式的性质与基本不等式 1.不等式的主要性质 (1)对称性：a>b⇔b<a. (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c. (3)加法法则：a>b⇒a＋c>b＋c； a>b，c>d⇒a＋c>b＋d. (4)乘法法则：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd. (5)倒数法则：a>b，ab>0⇒<. (6)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2). (7)开方法则：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2). 2.基本不等式 ≤(a>0，b>0). 利用基本不等式求最值或值域时要满足“一正、二定、三相等”. 3.重要不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R). (2)≥2(a，b∈R). 1.某学生期中数学成绩x不低于90分，英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于200分且不高于240分，用不等式组表示为(　　) A. B. C. D. 2.若a>0，ab>0，则(　　) A.b>0　　　　　　 B.b≥0 C.b<0 D.b∈R 3.已知a，b为不相等的实数，记M＝a2－ab，N＝ab－b2，则M与N的大小关系为(　　) A.M>N B.M＝N C.M<N D.不确定 4.(2025·汉中市高一期末) 若a>0，b>0，且a＋b＝3，则(　　) A.ab有最小值为 B.ab有最大值为 C.ab有最小值为 D.ab有最大值为 1.(多选)(2025·贵阳一中高一月考)若a>b>0，c>d，则下列说法错误的是(　　) A.a－1>b－1 B.a－d>b－c C.> D.ac>bd 2.(2025·广州市高一期中)若x，y均大于零，且x＋y＝2，则＋的最小值为(　　) A.5 B.4 C.9 D. 3.已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A.{m|－2<m<2} B.{m|m<－2或m>2} C.{m|－2<m<2} D.{m|m<－2或m>2} 4.小港、小海两人相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的价格不同，则(　　) A.小海两次购买葡萄的平均价格比小港低 B.小港两次购买葡萄的平均价格比小海低 C.小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样 D.两人两次购买葡萄的平均价格无法比较 5.如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，AD=2，BC＝3，E为AB上一点，且DE⊥EC，则△DEC面积的最小值为________，此时AB＝________. 1.(2025·北京卷)已知a>0，b>0，则(　　) A.a2＋b2>2ab B.＋≥ C.a＋b> D.＋≤ 2.(2024·上海卷)已知a，b，c∈R，b>c，则下列不等式一定成立的是(　　) A.a＋b2>a＋c2 B.a2＋b>a2＋c C.ab2>ac2 D.a2b>a2c 3.(2024·北京卷)已知(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则(　　) A.log2< B.log2> C.log2<x1＋x2 D.log2>x1＋x2 4.(2025·上海卷)设a，b>0，a＋＝1，则b＋的最小值为________. 易错一　多次运用不等式的性质出错 [示例1]　若－1<a＋b<3,2<a－b<4，t＝2a＋3b，则t的取值范围为________. 利用几个代数式的范围求某一个代数式的范围时，不可多次运用不等式的性质，否则易扩大范围.可用待定系数法求解.　 易错二　忽略基本不等式的应用条件而致错 [示例2]　当x>0时，下列函数的最小值为2的是(　　) A.y＝x(2－x) B.y＝ C.y＝x2＋－1 D.y＝＋ 基本不等式求最值要保证“一正、二定、三相等”，另外连续使用基本不等式求最值时，要保证每次使用基本不等式时取等号的条件均能成立.　 作业(三)　不等式的性质与基本不等式 答案 [基础演练] 1.D　由题意可得故选D. 2.A　由ab>0，a>0，得>，即b>0，A正确；当b＝0时，ab＝0，不满足题意，B、D错误；当b<0时，由a>0，得ab<0，不满足题意，C错误.故选A. 3.A　因为M－N＝(a2－ab)－(ab－b2)＝(a－b)2，且a≠b，所以(a－b)2>0，即M>N.故选A. 4.D　由题意可得a＋b≥2，当且仅当a＝b时等号成立，解得0≤ab≤. [综合演练] 1.ACD　若a>b>0，则a－b>0，ab>0，所以b－1－a－1＝－＝>0，故a－1<b－1，A错误；因为a>b>0，c>d，由不等式性质可得，a＋c>b＋d，即a－d>b－c，B正确；若c＝0，＝，C错误；当a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2时，此时ac＝bd＝－2，D错误，故选ACD. 2.D　∵x，y均大于零，且x＋y＝2， ∴＋＝＝≥2＋5＝， 当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立， 故＋的最小值为. 3.A　因为x>0，y>0，所以x＋2y＝(x＋2y)·＝＋＋4≥2＋4＝4＋4＝8，当且仅当＝，即x＝4，y＝2时，等号成立.因为x＋2y>m2恒成立，所以m2<8，解得－2<m<2.故选A. 4.B　设两次葡萄的价格分别为a元/千克和b元/千克，且a≠b，小海两次均购买3千克葡萄，则平均价格为＝(元/千克)，小港两次均购买50元葡萄，则平均价格为＝(元/千克).因为－＝＝>0，所以小港两次购买葡萄的平均价格比小海低.故选B. 5.解析　设AE＝x(x>0)，∵DE⊥EC， ∴∠AED＋∠BEC＝90°， 又∵∠ECB＋∠BEC＝90°， ∴∠AED＝∠ECB，又∵∠A＝∠B＝90°， ∴△AED∽△BCE，∴＝， 即＝，得EB＝， ∴△DEC的面积S＝－－×＝＋≥2＝2×3＝6，当且仅当＝，即x＝2时等号成立， ∴△DEC面积的最小值为6，此时AB＝2＋＝5. 答案　6　5 [真题体验] 1.C　对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，故A错误； 对于B、D，取a＝，b＝，此时＋＝2＋4＝6<＝8＝， ＋＝2＋4＝6>＝4＝， 故B、D错误； 对于C，由基本不等式可得a＋b≥2>， 故C正确.故选C. 2.B　解法一　当b>c≥0时，b2 >c2，当c<b≤0时，b2<c2，所以a＋b2>a＋c2不一定成立，故A错误；因为b>c，a2≥0，所以a2＋b>a2＋c成立，故B正确；当a>0，c<b≤0时，ab2<ac2，当a<0，b>c≥0时，ab2<ac2，当a＝0时，ab2＝ac2，这三种情况下ab2>ac2都不成立，故C错误；当a＝0时，a2b> a2c不成立，故D错误.综上，选B. 解法二　令a＝0，b＝－1，c＝－2，分别代入选项A、B、C、D可知只有a2＋b>a2＋c成立.故选B. 3.B　因为(x1，y1)，(x2，y2)为函数y＝2x的图象上两个不同的点，所以y1＝2x1，y2＝2x2，且x1≠x2，则2x1≠2x2，(易错警示：这是一个极易忽略的点)所以y1＋y2＝2x1＋2x2>2＝2，所以>>0，所以log2>log2＝.故选B. 4.解析　易知b＋＝＝ab＋＋2≥2 ＋2＝4， 当且仅当ab＝1，即a＝，b＝2时取得最小值. 故答案为4. 答案　4 [易误警示] [示例1]　[解析]　设t＝x(a＋b)＋y(a－b)， ∴解得 ∴t＝(a＋b)－(a－b)， ∵－1<a＋b<3,2<a－b<4， ∴－<(a＋b)<，－2<－(a－b)<－1， ∴－<t<. [答案]　 [示例2]　[解析]　对于选项A，当x>2时，2－x<0，此时y<0，不符合题意； 对于选项B，当x>0时，y＝＝x＋≥2×＝2，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立， ∴y＝的最小值为2，符合题意； 对于选项C，y＝x2＋－1＝x2＋2＋－3≥2× －3＝1，当且仅当x2＋2＝，即x＝0时，等号成立，不符合题意； 对于选项D，y＝＋≥ 2×＝2， 当且仅当＝，即＝1时等号成立，又＝1时x不存在， ∴等号不成立，∴y的最小值不是2，不符合题意. [答案]　B 学科网（北京）股份有限公司 $