作业(七) 幂函数、函数的应用(一)-【假期作业】2026年高一数学寒假假期作业（人教A版·新教材）·新教材）

作业(七) 幂函数、函数的应用(一) 幂函数、函数的应用(一) 1.幂函数 定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数 常见五 种幂函 数的图象 性质 幂函数在(0，＋∞)上都有定义 当α>0时，图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增 当α<0时，图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减 (1)已知函数模型的应用问题. (2)根据已知条件建立函数模型. 1.若函数f(x)是幂函数，且f＝2f，则f(2)＝(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 2.幂函数y＝x的大致图象是(　　) 3.(2025·潮州市高一期末) 已知幂函数f(x)＝xm－1在上是减函数，则m＝(　　) A.－或3 B.－ C.1 D.3 4.(多选)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，则(　　) A.α＝ B.函数f(x)的定义域为(0，＋∞) C.函数f(x)为偶函数 D.若x>1，则f(x)>1 1.(2025·芜湖高一期中)若幂函数f(x)的图象过点(4,2)，则不等式f(x)<f(x2)的解集为(　　) A.∪ B. C. D. 2.(多选)函数f(x)＝ax2＋2x＋1与g(x)＝xa在同一坐标系中的图象可能为(　　) 3.(多选)(教材变式)图①是某大型游乐场的游客数x(单位：万人)与收支差额y(单位：万元)的函数图象，销售初期该游乐场处于亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是(收支差额＝门票销售额－投入的成本费用)(　　) A.图①中点A的实际意义表示该游乐场投入的成本费用为1万元 B.图①中点B(1.5,0)的实际意义表示当游客数为1.5万人时，该游乐场的收支恰好平衡 C.图②游乐场实行的措施是降低门票的售价 D.图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用 4.(开放创新)幂函数f(x)满足下列性质：(1)对定义域中任意的x，有f(x)＝f(－x)；(2)对(0，＋∞)中任意的x1，x2，都有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0，请写出满足这两个性质的一个幂函数的表达式：________. 5.调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/kg的经济效益.为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放1 kg积分1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于100 kg，则额外奖励x(x为正整数)分.月底积分会按照0.1元/分进行自动兑换. (1)当x＝10时，若某家庭某月垃圾分类投放总量为120 kg，该家庭该月积分能兑换__________元； (2)为了保证每个家庭每月积分兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的40%，则x的最大值为________. 6.某工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的年总成本y(单位：万元)与年产量x(单位：吨，x>0)之间的函数关系式为y＝－70x＋10 000.已知该生产线的年产量最大为220吨，且能全部售出. (1)求当年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低平均成本； (2)若每吨产品的出厂价为50万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大年利润？最大年利润是多少？ 1.(2022·上海卷)下列幂函数中，定义域为R的是(　　) A.y＝x－1 B.y＝x－ C.y＝x D.y＝x 2.(2020·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝x3－，则f(x)(　　) A.是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增 B.是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减 C.是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增 D.是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减 3.(2023·上海卷)已知函数f(x)＝(a，c∈R). (1)当a＝0时，是否存在c，使得f(x)为奇函数？ 易错一　不理解幂函数概念致误 [示例1]　已知幂函数f(x)＝(n2－n－1)·xn2＋3n的图象关于y轴对称，且f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　) A.－2 B.－1 C.2 D.－1或2 幂函数y＝xα(α为常数)应同时满足三个条件： (1)系数为1； (2)底数为单自变量； (3)指数为常数.　 [示例2]　若(a＋1)－1<(3－2a)－1，求实数a的取值范围. 利用幂函数的性质解不等式时，先画出对应幂函数的图象，然后再用其性质解不等式，可避免讨论不全面，出现遗漏.　 作业(七)　幂函数、函数的应用(一) 答案 [基础演练] 1.D　设f(x)＝xa，因为f(4)＝2f(1)，所以4a＝2，解得a＝，故f(x)＝，f＝.故选D. 2.A　由y＝x＝，可知x≥0，随着自变量的增大，函数值不断增大，故选A. 3.B　由函数f(x)＝xm－1是幂函数， 得3m2－7m－5＝1，解得m＝3或m＝－， 当m＝3时，f(x)＝x2在上是增函数，不符合题意， 当m＝－时，f(x)＝x－＝在上是减函数，符合题意， 所以m＝－，故选B. 4.AD　由题意得4α＝2，则α＝，故A正确；f(x)＝x，则函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，且f(x)为非奇非偶函数，故B，C错误；当x>1时，f(x)>f(1)＝1，故D正确.故选AD. [综合演练] 1.D　设幂函数f(x)＝xα，由f(4)＝2，得4α＝2， 解得α＝，f(x)＝x， 函数f(x)＝x在定义域[0，＋∞)上单调递增， 不等式f(x)<f(x2)⇔0≤x<x2，解得x>1， 所以原不等式的解集为(1，＋∞).故选D. 2.ACD　由选项A，B中图象，可知g(x)＝xa为奇函数，定义域为{x|x≠0}，且在(0，＋∞)上单调递减，所以a<0，从而f(x)＝ax2＋2x＋1图象的开口向下，对称轴为直线x＝－>0，f(0)＝1，故A符合题意，B不符合题意；当a＝(n∈N*)时，函数g(x)＝xa的定义域为[0，＋∞)，且在[0，＋∞)上单调递增，f(x)＝ax2＋2x＋1图象的开口向上，且对称轴为直线x＝－<0， Δ＝4－4a>0，图象和x轴有两个交点，故C符合题意；当a＝2n(n∈N*)时，g(x)＝xa为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，f(x)＝ax2＋2x＋1图象的开口向上，且对称轴为直线x＝－<0，Δ＝4－4a<0，其图象和x轴没有交点，故D符合题意.故选ACD. 3.ABD　由图①中点A的坐标可知，当x＝0时，y＝－1，实际意义表示游乐场的投入成本为1万元，A正确；由图①中点B的坐标可知，当x＝1.5时，y＝0，实际意义表示当游客数为1.5万人时，游乐场的收支恰好平衡，B正确；图②中由直线与x轴的交点位置的变化知游乐场实行的措施是提高门票的售价，C错误；图③中由直线与y轴的交点位置的变化知游乐场实行的措施是减少投入的成本费用，D正确.故选ABD. 4.解析　因为对定义域中任意的x，有f(x)＝f，所以函数f(x)为偶函数.又函数满足对(0，＋∞)中任意的x1，x2(x1≠x2)，都有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0，所以函数f(x)为(0，＋∞)上的减函数，故f(x)＝x－2满足题目中要求，故答案可以为f(x)＝x－2. 答案　f(x)＝x－2(答案不唯一) 5.解析　(1)若某家庭某月垃圾分类投放总量为120 kg，则该家庭月底的积分为120＋10＝130(分)，故该家庭该月积分能兑换130×0.1＝13(元). (2)设每个家庭每月垃圾分类投放总量为t kg，t∈N*，每个家庭每月积分能兑换的金额为f(t)元.若0≤t<100，则f＝0.1t<0.34t×0.4＝0.136t恒成立；若t≥100，则f＝0.1t＋0.1x，由f≤0.34t×0.4，可得x≤(0.36t)min＝36.故x的最大值为36. 答案　(1)13　(2)36 6.解析　(1)由题意得每吨的平均成本为 ＝＝＋－70≥ 2－70＝30， 当且仅当＝，即x＝200时，等号成立，故当年产量为200吨时，生产每吨产品的平均成本最低，为30万元. (2)设年利润为w万元，则w＝50x－y＝50x－＝－(x－240)2＋4 400,0<x≤220，当0<x≤220时，w随着x的增大而增大，因此当x＝220时，年利润w取到最大值，为4 300万元，故当年产量为220吨时，可以获得最大年利润，最大年利润为4 300万元. [真题体验] 1.C　选项A中函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；选项B中函数的定义域为(0，＋∞)；选项C中函数的定义域为R；选项D中函数的定义域为[0，＋∞).故选C. 2.A　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f(－x)＝(－x)3－＝－x3＋＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除C，D；因为函数y＝x3，y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝x3－在(0，＋∞)上单调递增，排除B.故选A. 3.解析　(1)当a＝0时，f(x)＝，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴f(1)＝2＋c，f(－1)＝－c，显然f(1)≠－f(－1)，∴当a＝0时，f(x)不可能为奇函数，∴当a＝0时，不存在c，使得f(x)为奇函数. (2)由题意得f(1)＝＝3， ∴3a＋c＋2＝3a＋3，∴c＝1， ∴f(x)＝. ∵f(x)的图象与x轴负半轴有两个不同交点， ∴关于x的方程x2＋(3a＋1)x＋1＝0有两个不同负实数根x1，x2，且x1≠－a，x2≠－a， ∴解得a>且a≠， ∴实数a的取值范围为∪. [易误警示] [示例1]　[解析]　由题意知n2－n－1＝1且n2＋3n为偶数，∴n＝2或n＝－1(舍). [答案]　C [示例2]　[解析]　由幂函数y＝x－1的图象和性质， 得3－2a<a＋1<0①或0<3－2a<a＋1② 或③， ①无解，由②得<a<，由③得a<－1. 故a的取值范围是(－∞，－1)∪. 学科网（北京）股份有限公司 $