作业(九) 对数、对数函数-【假期作业】2026年高一数学寒假假期作业（人教A版·新教材）·新教材）

作业(九) 对数、对数函数 　　　对数、对数函数 1.对数的概念与运算(a>0，且a≠1，M>0，N>0) (1)概念：一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 底数 a>1 0<a<1 图象 底数 a>1 0<a<1 性质 定义域：(0，＋∞)；值域：R 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 x>1时，y>0；0<x<1时，y<0 x>1时，y<0；0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 1.若a>0，a＝，则loga等于(　　) A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5 2.已知函数f(x)＝log2·log2，则函数f(x)的值域为(　　) A.[－9,0] B.[－12,0] C. D.[－9，＋∞) 3.已知log2a＋log2b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝x与g(x)＝logbx的图象可能是(　　) 4.已知a＝0.1－0.01，b＝log0.50.6，c＝log2，则(　　) A.c<b<a B.b<c<a C.a<c<b D.a<b<c 1.下列函数中，增长速度最快的是(　　) A.y＝2 025x B.y＝x2 025 C.y＝log2 025x D.y＝2 025x 2.(2025·菏泽一中高一期末)2024年10月30日4时27分，神舟十九号载人飞船由长征二号F遥十九运载火箭成功发射至预定轨道.据科学家们测算：火箭的最大速度至少达到 11.2千米/秒时，可将载人飞船顺利送入外太空.若火箭的最大速度 v(单位：米/秒)、燃料的质量M(单位：吨)和载人飞船的质量m(单位：吨)近似满足函数关系式v＝5 600lg.要使载人飞船顺利进入外太空，则燃料质量与载人飞船质量的比值至少为(　　) A.9 B.99 C.999 D.9 999 3.(多选)已知函数f＝x2＋4x，则下列有关函数f(x)的说法正确的是(　　) A.定义域为(0，＋∞) B.单调递增区间为 C.单调递减区间为[9，＋∞) D.最小值为0 4.(多选)关于函数y＝log0.4(－x2＋3x＋4)，下列说法正确的是(　　) A.定义域为(－1,4) B.最大值为2 C.最小值为－2 D.单调递增区间为 5.已知函数f(x)＝若a＝2，则f＋f(16)＝______________；若函数f(x)在R上单调，则a的取值范围是________________. 6.已知函数f(x)＝ln(ax2＋2ax＋1)的定义域为R. (1)求a的取值范围； (2)若a≠0，函数f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值的和为0，求实数a的值. 1.(2025·全国一卷)已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能是(　　) A.x>y>z B.x>z>y C.y>x>z D.y>z>x 2.(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A.(－∞，0] B.[－1,0] C.[－1,1] D.[0，＋∞) 3.(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln为偶函数，则a＝(　　) A.－1 B.0 C. D.1 4.(2024·全国甲卷)已知a>1且－＝－，则a＝________. 易错一　忽略对数型函数的定义域 [示例1]　已知函数f(x)＝lg(x2－2ax－a)在区间(－∞，－3)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 对于对数型函数(f(x)＝logag(x))不能忽略真数大于零这个隐含条件.　 易错二　忽略对对数型函数中底数的讨论 [示例2]　若关于x的不等式4x>logax在上有解，则a的取值范围是(　　) A.0， B.，1 C.0，∪(1，＋∞) D.，1∪(1，＋∞) 用到对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的单调性，务必对字母a进行分类讨论，先确定单调性.　 作业(九)　对数、对数函数 答案 [基础演练] 1.B　因为a＝，a>0，所以a＝＝3，设loga＝x，所以x＝a＝3，所以x＝3. 2.D　f(x)＝(log2x－3)(log2x＋3)＝(log2x)2－9.故f(x)的值域为[－9，＋∞).故选D. 3.B　由log2a＋log2b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，可得log2＝0，则ab＝1，则b＝，则g(x)＝logbx＝logx，又f(x)＝x，则g(x)与f(x)互为反函数，则g(x)与f(x)单调性一致，且两图象关于直线y＝x对称.故选B. 4.A　因为0.1－0.01>0.10＝1，即a>1； 又因为log0.51<log0.50.6<log0.50.5，可得0<log0.50.6<1，即0<b<1； 且log2<log21＝0，即c<0； 综上所述：c<b<a.故选A. [综合演练] 1.A　比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快. 2.B　由题意可得5 600lg≥1 1200， 即1＋≥102，解得≥99.故选B. 3.AB　令t＝3x，则x＝log3t(t>0)，则f＝2＋4log3t，t>0，所以f(x)＝2＋4log3x＝2－4，x>0.结合复合函数的单调性可知：当log3x≥－2，即x≥时，函数f(x)单调递增，当log3x≤－2，即0<x≤时，函数f(x)单调递减.综上可知，函数f(x)的定义域为，单调递减区间为，单调递增区间为，且当x＝时，f(x)取得最小值，最小值为－4.故选AB. 4.ACD　令－x2＋3x＋4>0，得－1<x<4，即函数y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的定义域为(－1,4)，故A正确； ∵－x2＋3x＋4＝－2＋， ∴－x2＋3x＋4∈， ∴y＝log0.4(－x2＋3x＋4)∈[－2，＋∞)，故B错误，C正确； 令t＝－x2＋3x＋4，则其在上单调递增，在上单调递减，又y＝log0.4t在(0，＋∞)上单调递减，由复合函数的单调性得y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的单调递增区间为，故D正确.故选ACD. 5.解析　若a＝2，则f(x)＝ f＝2＋2log2＝，f(16)＝4＋4＝8， 则f＋f(16)＝＋8＝. 若f(x)在R上单调递增， 则解得a∈[2，＋∞)； 若f(x)在R上单调递减， 则解得a∈(0,1). 综上可得a∈(0,1)∪[2，＋∞). 答案　　(0,1)∪[2，＋∞) 6.解析　(1)∵函数f(x)＝ln(ax2＋2ax＋1)的定义域为R， ∴ax2＋2ax＋1>0对任意x∈R恒成立， 当a＝0时，可得1>0，恒成立，满足题意； 当a≠0时，要使ax2＋2ax＋1>0对任意x∈R恒成立，只需解得0<a<1. 综上可得，a的取值范围是[0,1). (2)由(1)及题意知0<a<1. 令u＝ax2＋2ax＋1，易知y＝ln u是定义域内的增函数，函数u＝ax2＋2ax＋1(0<a<1)在[－2，－1]上单调递减，在(－1,1]上单调递增，故f(x)在[－2，－1]上单调递减，在(－1,1]上单调递增，∴f(x)max＝f(1)＝ln(3a＋1)，f(x)min＝f(－1)＝ln(1－a)， ∵f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值的和为0， ∴ln(3a＋1)＋ln(1－a)＝0， 即ln[(3a＋1)(1－a)]＝0，可得(3a＋1)(1－a)＝1， 解得a＝0(舍去)或a＝，故实数a的值为. [真题体验] 1.B　解法一　设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，所以令m＝2，则x＝1，y＝3－1＝，z＝5－3＝，此时x>y>z，A有可能； 令m＝5，则x＝8，y＝9，z＝1，此时y>x>z，C有可能； 令m＝8，则x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y>z>x，D有可能. 故选B. 解法二　设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m， 所以x＝2m－2，y＝3m－3，z＝5m－5. 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数y＝2x－2，y＝3x－3，y＝5x－5的图象，以上方程的根分别是函数y＝2x－2，y＝3x－3，y＝5x－5的图象与直线x＝m的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着m的变化可能出现：x>y>z，y>x>z，y>z>x，z>y>x.故选B. 2.B　(逻辑分析法＋数形结合法)　因为函数f(x)在R上单调递增，且当x<0时，f(x)＝－x2－2ax－a，所以f(x)＝－x2－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－a≥0，即a≤0；当x≥0时，f(x)＝ex＋ln(x＋1)，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增.若函数f(x)在R上单调递增，则－a≤f(0)＝1，即a≥－1.综上，实数a的取值范围是[－1,0].故选B. 3.B　∵f(x)为偶函数，∴f(1)＝f(－1)， ∴(1＋a)ln＝(－1＋a)ln 3，∴a＝0.故选B. 4.解析　根据题意有－＝－，即3loga2－＝－，设t＝loga2(a>1)，则t>0，故3t－＝－，得t＝(t＝－1舍去)，所以loga2＝，所以a＝2，所以a＝64. 答案　64 [易误警示] [示例1]　[解析]　设u(x)＝x2－2ax－a，因为f(x)在(－∞，－3)上单调递减，y＝lg x为增函数，所以u(x)＝x2－2ax－a在(－∞，－3)上单调递减，且u(x)>0在(－∞，－3)上恒成立，所以 [答案]　A [示例2]　[解析]　因为x∈，4x>logax有解，令y1＝logax，y2＝4x，则当x∈时，存在y2＝4x的图象在y1＝logax的图象的上方.当a>1时，由图1可知，y2>y1在x∈时恒成立；当0<a<1时，y1＝logax是减函数，y2＝4x是增函数，由图2可知，loga<4＝2，解得0<a<.综上，a∈∪(1，＋∞). [答案]　C 学科网（北京）股份有限公司 $