作业(二) 常用逻辑用语-【假期作业】2026年高一数学寒假假期作业（人教A版·新教材）·新教材）

作业(二) 常用逻辑用语 　　　　常用逻辑用语 1.判断条件的方法：定义法，集合法. 2. p：∀x∈M，p(x) 綈p：∃x∈M，綈p(x) p：∃x∈M，p(x) 綈p：∀x∈M，綈p(x) 3.全称量词命题：全真为真，一假为假； 存在量词命题：一真为真，全假为假. 1.(2025·广东潮州高一期末)命题“∀x∈R，3x2－2x＋1>0”的否定是(　　) A.∀x∈R,3x2－2x＋1>0 B.∃x∈R,3x2－2x＋1≤0 C.∃x∈R,3x2－2x＋1<0 D.∀x∈R,3x2－2x＋1≤0 2.“四边形ABCD为矩形”是“四边形ABCD为平行四边形”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(2025·汕头潮阳实验中学高一期中) 设x∈R，则“x<3”是“x(x－2)<0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若命题“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是(　　) A.{a|a≤4}　　　　 B.{a|a＜4} C.{a|a＜－4} D.{a|a≥－4} 1.(2025·商丘外国语学校高一期中)“x2－3x＋2<0”是“0<x<4”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.“m>2”是“∃x∈R，x2＋2(m－1)x＋m2－1≤0是假命题”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(多选)设计如图所示的四个电路图，p：“开关S闭合”，q：“灯泡L亮”，则p是q的充要条件的电路图是(　　) 4.(多选)(探索创新)取整函数：[x]＝不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[3.9]＝3，[－1.5]＝－2，以下是真命题的有(　　) A.∀x∈R，[2x]＝2[x] B.∀x，y∈R，[x]＝[y]，则x－y<1 C.∃x∈R，[2x]＝2[x] D.∀x，y∈R，[x＋y]≤[x]＋[y] 5.已知条件p：条件q：1－m≤x≤1＋m(m≥0)，条件r：1－t<x≤1＋2t.若p是r的充要条件，则t＝________.若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________. 6.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证：a2－b2－ac＋bc＝0的充要条件是A＝B. 1.(2025·天津卷)设x∈R，则“x＝0”是“sin 2x＝0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x.则(　　) A.p和q都是真命题 B.綈p和q都是真命题 C.p和綈q都是真命题 D.綈p和綈q都是真命题 3.(2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 易错一　不明确条件和结论而致误 [示例1]　一元二次方程ax2＋4x＋3＝0有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(　　) A.a<0 B.a>0 C.a<－1 D.a>1 在充分、必要条件的判断中，看清设问方式，明确哪个是条件，哪个是结论，然后根据充分条件、必要条件的概念作出准确的判断.从集合的角度判断充分、必要条件，应该准确判断集合间的包含关系.　 易错二　忽视隐含的全称量词而致误 [示例2]　命题“能被3整除的数，也能被5整除”的否定是________________________________________________________________________. 由于全称量词往往省略不写，因此写全称量词命题的否定时，必须找出其中省略的全称量词，写成“∀x∈M，p(x)”的形式，再把它的否定写成“∃x∈M，綈p(x)”的形式.　 易错三　对命题否定不完全而致误 [示例3]　已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))·(x2－x1)≥0，则綈p是(　　) A.∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))·(x2－x1)≤0 B.∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))·(x2－x1)≤0 C.∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))·(x2－x1)<0 对含有量词的命题进行否定时，不能只否定结论，而忘记改变量词；也不能只改变量词，而忘记对结论进行否定.　 作业(二)　常用逻辑用语 答案 [基础演练] 1.B　命题“∀x∈R,3x2－2x＋1>0”否定是∃x∈R， 3x2－2x＋1≤0. 2.A　若四边形ABCD为矩形，则它为平行四边形，反之，若四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD不一定为矩形，所以“四边形ABCD为矩形”是“四边形ABCD为平行四边形”的充分不必要条件.故选A. 3.B　由x(x－2)<0可得0<x<2， 显然(0,2)(－∞，3)， 所以“x<3”是“x(x－2)<0”的必要不充分条件. 4.A　因为命题“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，所以“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”是真命题，所以方程x2－4x＋a＝0有实数根，则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4. [综合演练] 1.A　x2－3x＋2<0的解是1<x<2，{x|1<x<2}是集合{x|0<x<4}的真子集.因此“x2－3x＋2<0”是“0<x<4”的充分不必要条件. 2.A　由命题∃x∈R，x2＋2(m－1)x＋m2－1≤0是假命题，可得命题∀x∈R，x2＋2(m－1)x＋m2－1>0是真命题，即Δ＝4(m－1)2－4(m2－1)＝－8m＋8<0，解得m>1.又“m>2”是“m>1”的充分不必要条件，所以“m>2”是“∃x∈R，x2＋2(m－1)x＋m2－1≤0是假命题”的充分不必要条件.故选A. 3.BD　由题知，A中电路图，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮，开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；B中电路图，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S闭合，故B中p是q的充要条件；C中电路图，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮，则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；D中电路图，开关S闭合，则灯泡L亮，灯泡L亮，则开关S闭合，故D中p是q的充要条件.故选BD. 4.BC　x＝1.5时，[2x]＝[3]＝3，但2[x]＝2[1.5]＝2×1＝2，故A为假命题，A错误；设[x]＝[y]＝k∈Z，则k≤x<k＋1，k≤y<k＋1，∴x－y<1，故B为真命题，B正确；x＝2时，[2x]＝[4]＝4＝2[2]＝2[x]，故C为真命题，C正确；x＝0.5，y＝0.6时，有[x]＋[y]＝0，但[x＋y]＝[1.1]＝1>[x]＋[y]，故D为假命题，D错误.故选BC. 5.解析　由条件p可得－1<x≤5，因为p是r的充要条件，所以 解得t＝2.因为p是q的必要不充分条件，所以解得0≤m<2. 答案　2　{m|0≤m<2} 6.证明　①先证充分性：若A＝B，则a＝b， ∴a2－b2－ac＋bc＝0成立. ②再证必要性：若a2－b2－ac＋bc＝0成立， 则a2－b2－ac＋bc＝(a＋b)(a－b)－c(a－b) ＝(a－b)(a＋b－c)＝0， 又△ABC中，a＋b－c>0，∴a－b＝0，∴a＝b， ∴A＝B. 综上可知，a2－b2－ac＋bc＝0的充要条件是A＝B. [真题体验] 1.A　由x＝0⇒sin 2x＝sin 0＝0，则“x＝0”是“sin 2x＝0”的充分条件； 又当x＝π时，sin 2x＝sin 2π＝0，可知sin 2x＝0⇒/ x＝0， 故“x＝0”不是“sin 2x＝0”的必要条件， 综上可知，“x＝0”是“sin 2x＝0”的充分不必要条件.故选A. 2.B　解法一　因为∀x∈R，|x＋1|≥0，所以命题p为假命题，所以綈p为真命题.因为x3＝x，所以x3－x＝0，所以x(x2－1)＝0，即x(x＋1)(x－1)＝0，解得x＝－1或x＝0或x＝1，所以∃x>0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，所以綈q为假命题，所以綈p和q都是真命题.故选B. 解法二　(特殊值法)在命题p中，当x＝－1时，|x＋1|＝0，所以命题p为假命题，綈p为真命题.在命题q中，因为立方根等于本身的实数有－1，0,1，所以∃x>0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，綈q为假命题，所以綈p和q都是真命题.故选B. 3.C　由函数y＝x3单调递增可知，若a3＝b3，则a＝b；由函数y＝3x单调递增可知，若3a＝3b，则a＝b.故“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要条件.故选C. [易误警示] [示例1]　[解析]　∵一元二次方程ax2＋4x＋3＝0有一个正根和一个负根，∴解得a<0. 故满足题意的a的取值集合应是集合{a|a<0}的真子集，结合选项可知选C. [答案]　C [示例2]　[解析]　这是一个省略了全称量词的全称命题，改写为“所有能被3整除的数，也能被5整除”.其否定为“存在能被3整除的数，但不能被5整除”. [答案]　存在能被3整除的数，但不能被5整除 [示例3]　[解析]　綈p为“∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0”. [答案]　C 学科网（北京）股份有限公司 $