作业(八) 指数、指数函数-【假期作业】2026年高一数学寒假假期作业（人教A版·新教材）·新教材）

作业(八) 指数、指数函数 　　　指数、指数函数 1.正数的分数指数幂 定义 a＝(a>0，m，n∈N*，n>1) a－＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1) 运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q (1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数的图象与性质 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：R；值域：(0，＋∞) 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 x>0时，y>1；x<0时，0<y<1 x<0时，y>1；x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 1.(教材变式)代数式 (a>0)化简的结果是(　　) A.a　　　　　　　 B.a C.a D.a 2.当a>1时，f(x)＝a|x－2|＋5的图象恒过点(　　) A.(2,5) B.(3,5) C.(2,6) D.(3,6) 3.已知a＝1.60.3，b＝1.60.8，c＝0.70.8，则(　　) A.c<a<b B.a<b<c C.b>c>a D.a>b>c 4.(多选)下列是a>b>c(a，b，c≠0)的必要条件的是(　　) A.ac2>bc2 B.(ac)2>(bc)2 C.2a－c>2a－b D.0.7a＋b<0.7b＋c 1.函数y＝3的值域为(　　) A.(0，＋∞) B.(0,1)∪(1，＋∞) C.(－∞，1)∪(1，＋∞) D.(1，＋∞) 2.(2025·安徽皖江名校高一联考)设b∈R，若函数y＝4n－2n＋1＋b在[－1,1]上的最小值是2，则其在[－1,1]上的最大值是(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 A.a＝b＝0 B.a<b<0 C.0<a<b D.0<b<a 4.(多选)已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，其中f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)＝2x，则下列说法正确的是(　　) A.f(g(x))为偶函数 B.g(0)＝0 C.g2(x)－f2(x)为定值 D.|f(x)|＋g(x)＝ 5.(开放创新)已知定义在R上的函数f(x)满足以下两个条件：①对任意x1，x2恒有f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)；②f(x)在R上单调递减.则满足上述条件的一个函数f(x)＝________.(写出一个即可) 6.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝4x＋3x＋b(b为常数)，则f(x)在[－3，－1]上的最大值为________. 1.(2024·天津卷)若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 2.(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8,2.8]的图象大致为(　　) 3.(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 4.(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f＝2x在区间上单调递减，则a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 易错一　忽视指数幂运算性质的前提条件而致误 [示例1]　化简：[(1－)2]×[(1＋)3]＝________. 指数幂运算性质的前提条件是幂底数为正数.　 易错二　忽视对指数函数底数的讨论而致误 [示例2]　已知函数f(x)＝(k＋2)·ax＋2－b(a>0，且a≠1)是指数函数. (1)求k，b的值； (2)求解不等式f(2x－5)>f(3x－1). 利用指数函数的单调性，一是要关注底数是大于1，还是大于零且小于1，若底数为字母，需分类讨论.　 作业(八)　指数、指数函数 答案 [基础演练] 1.A　＝ ＝＝＝a.故选A. 2.C　对于函数f(x)＝a|x－2|＋5，令|x－2|＝0，解得x＝2，则f＝a0＋5＝6，所以f(x)＝a|x－2|＋5的图象恒过点(2,6).故选C. 3.A　y＝1.6x是增函数，故a＝1.60.3<b＝1.60.8， 而1.60.3>1>c＝0.70.8，故c<a<b.故选A. 4.ACD　因为c≠0，所以c2>0，又a>b，所以ac2>bc2，A正确；(ac)2>(bc)2等价于a2>b2，当a>0>－a>b时不成立，B错误；因为y＝2x在R上单调递增，而a－c>a－b，所以2a－c>2a－b，C正确；因为y＝0.7x在R上单调递减，而a＋b>b＋c，所以0.7a＋b<0.7b＋c，D正确.故选ACD. [综合演练] 1.B　令f(x)＝，则f(x)≠0，所以y＝3≠30， 所以y≠1.又3>0， 所以函数y＝3的值域为(0,1)∪(1，＋∞). 2.A　y＝4n－2n＋1＋b＝2－2·2n＋b.设2n＝t， 则y＝t2－2t＋b＝(t－1)2＋b－1.因为n∈[－1,1]， 所以t∈， 当t＝1时，ymin ＝b－1＝2，b＝3；当t＝2时，ymax＝1＋b－1＝3.故选A. 3.ABD　设2 024a＝2 025b＝k>0，分别作出y＝2 024x，y＝2 025x的函数图象，如图所示，若k＝1，则a＝b＝0，A成立；若0<k<1，则a<b<0，B选项成立；若k>1，则0<b<a，C选项不成立，D选项成立.故选ABD. 4.ACD　因为f(x)＋g(x)＝2x，所以f(－x)＋g(－x)＝2－x，又f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， 所以－f(x)＋g(x)＝2－x，解得g(x)＝， f(x)＝. 对于A，f(g(－x))＝f(g(x))，故f(g(x))为偶函数，A正确； 对于B，g(0)＝1，故B错误； 对于C，g2(x)－f2(x)＝2－2＝1，故C正确； 对于D，当x≥0时，|f(x)|＝， |f(x)|＋g(x)＝＋＝2x； 当x<0时，|f(x)|＝， |f(x)|＋g(x)＝＋＝2－x， 所以|f(x)|＋g(x)＝故D正确. 故选ACD. 5.解析　f(x)＝x在R上单调递减，且x1＋x2＝x1·x2，即满足f(x1＋x2)＝ff，故f(x)＝x符合题意. 答案　x(答案不唯一，底数在(0,1)内的指数函数均可) 6.解析　依题意知，f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝1＋b＝0，b＝－1，即当x≥0时，f(x)＝4x＋3x－1，f(x)单调递增，所以f(x)在区间[1,3]上的最小值为f＝4＋3－1＝6，所以f(x)在区间上的最大值为－6. 答案　－6 [真题体验] 1.B　由函数y＝4.2x在R上单调递增可知，0<a<1<b，又c＝log4.20.2<0，故b>a>c.故选B. 2.B　(排除法)　由题知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝－(－x)2＋(e－x－ex)sin(－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A、C；f(1)＝－1＋sin 1>－1＋sin ＝－1＋－>0，排除D.故选B. 3.D　根据偶函数的定义运算求解.因为f＝为偶函数，则f－f＝－＝＝0，又x不恒为0，可得ex－ex＝0，即ex＝ex，则x＝x，即1＝a－1，解得a＝2.故选D. 4.D　利用指数型复合函数单调性，判断、列式计算作答. 函数y＝2x在R上单调递增，而函数f＝2x在区间上单调递减，则有函数y＝x(x－a)＝2－在区间上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是.故选D. [易误警示] [示例1]　[解析]　原式＝[(－1)2]×[(1＋)3] ＝(－1)2××(1＋)3×＝＝1. [答案]　1 [示例2]　[解析]　(1)因为f(x)＝(k＋2)·ax＋2－b(a>0，且a≠1)是指数函数，所以k＋2＝1,2－b＝0，所以k＝－1，b＝2. (2)由(1)得f(x)＝ax(a>0，且a≠1). 当a>1时，f(x)＝ax在R上单调递增，由题意知2x－5>3x－1，即x<－4，故不等式f(2x－5)>f(3x－1)的解集为(－∞，－4)； 当0<a<1时，f(x)＝ax在R上单调递减，由题意知2x－5<3x－1，即x>－4，故不等式f(2x－5)>f(3x－1)的解集为(－4，＋∞). 综上，当a>1时，不等式的解集为(－∞，－4)； 当0<a<1时，不等式的解集为(－4，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $