综合检测卷-【假期作业】2026年高一数学寒假假期作业（人教A版·新教材）·新教材）

综合检测卷 第三部分　综合提升 综合检测卷 (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(2025·天津卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3}，B＝{2,3,5}，则∁U(A∪B)＝(　　) A.{1,2,3,4}　　　　　 B.{2,3,4} C.{2,4} D.{4} 2.若单位圆上一点P从(0,1)出发，逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为(　　) A.－， B.－，－ C.－，－ D.－， 3.若a，b∈R，则“ab>2”是“a>且b>”的(　　) A.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.函数f(x)＝的图象大致为(　　) 5.(2025·北京卷)设函数f(x)＝sin(ωx)＋cos(ωx)(ω>0)，若f(x＋π)＝f(x)恒成立，且f(x)在上存在零点，则ω的最小值为(　　) A.8 B.6 C.4 D.3 6.若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(3)＝0，则满足xf(x＋1)≥0的x的取值范围是(　　) A.(－∞，－4]∪{0}∪[2，＋∞) B.(－∞，－2]∪[0,1]∪[4，＋∞) C.[－4，－1]∪[0,2] D.(－∞，－4]∪[－1,0]∪[2，＋∞) 7.已知θ∈，tan 2θ＝－4tan，则＝(　　) A. B. C.1 D. 8.(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝(x＋a)ln(x＋b).若f(x)≥0，则a2＋b2的最小值为(　　) A. B. C. D.1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)的定义域为R B.函数f(x)的值域为(－1,1) C.函数f(x)是奇函数 D.函数f(x)在定义域上为减函数 10.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，－π<φ<－的部分图象如图所示，若把函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数y＝g(x)的图象，则(　　) A.g为偶函数 B.g(x)的最小正周期是π C.g(x)的图象关于直线x＝对称 D.g(x)在区间上单调递减 11.某校学生在研究折纸试验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了.在理想情况下，对折次数n与纸的长边长ω(cm)和厚度x(cm)满足：n≤log2.根据以上信息，下列说法正确的是(参考数值：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48)(　　) A.当对折4次时，的最小值为64 B.当对折4次时，的最小值为32 C.一张长边长为30 cm，厚度为0.05 cm的矩形纸最多能对折6次 D.一张长边长为30 cm，厚度为0.05 cm的矩形纸最多能对折8次 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知命题“∀x∈R，x2－2x＋m>0”为假命题，则实数m的取值范围为________. 13.(开放创新)已知函数f(x)＝tan(3x－φ)，写出满足“将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)的图象，g(x)为奇函数”的φ的一个值：________. 14.设函数f(x)＝＋aex(e为自然对数的底数，a为常数).若f(x)为偶函数，则实数a＝________；若∀x∈R，f(x)≥1恒成立，则实数a的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)从①tan＝3，②sin－2sin＝cos，③3sin＝cos中任选一个条件，补充在下面横线上，并解答问题.已知0<β<α<，________，cos＝－. (1)求sin； (2)求β. 16.(15分)已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)－1. (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在上的值域. 17.(15分)珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、挤压、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料.某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入x(1<x<10)万元，珍珠棉的销售量可增加p＝吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨珍珠棉还需要投入其他成本万元. (1)写出该公司本季度增加的利润y(万元)与x(万元)之间的函数关系； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加的利润y最大？最大为多少万元？ 18.(17分)已知函数f(x)＝log3(3x＋1). (1)若f(x)＝log3(5x－4x＋1)，求x的值； (2)若函数F(x)＝f(x)－x－log3(a·3x－a)(a∈R)有且仅有一个零点，求实数a的取值范围. 19.(17分)(探索创新)(2025·菏泽一中期末) 已知函数f(x)＝3x＋k·3－x. (1)若函数f(x)为奇函数，求实数k的值； (2)对于给定的常数k>0，是否存在实数m，使得函数f(x)的图象关于直线x＝m对称？如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由； (3)当k＝1时， 比较f(1)f(2)f(3)…f(2 024)与(32 025＋2)1 012的大小，并给出证明. 第三部分　综合提升 综合检测卷 答案 1.D　由A＝{1,3}，B＝{2,3,5}，则A∪B＝{1,2，3,5}，集合U＝{1,2,3,4,5}，故∁U(A∪B)＝{4}.故选D. 2.D　点P从(0,1)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q，所以∠QOx＝，所以Q，即点Q的坐标为. 3.B　若a＝－2，b＝－5，则ab>2，即由“ab>2”推不出“a>且b>”，故充分性不成立；若a>且b>，则ab>()2＝2，即由“a>且b>”能推出“ab>2”，即必要性成立.所以“ab>2”是“a>且b>”的必要不充分条件.故选B. 4.A　由函数f(x)＝，得f＝＝f(x)，令x2－1≠0，解得x≠±1，则其定义域为{x|x≠±1}，关于原点对称，所以函数f(x)在定义域内为偶函数，排除C、D；因为f(0)＝＝－2，所以排除B.故选 A. 5.C　函数f(x)＝sin(ωx)＋cos(ωx)＝sin(ω>0)， 设函数f(x)的最小正周期为T，由f(x＋π)＝f(x)可得kT＝π(k∈N*)， 所以T＝＝(k∈N*)，即ω＝2k(k∈N*). 又函数f(x)在上存在零点，且当x∈时，ωx＋∈， 所以＋≥π，即ω≥3. 综上，ω的最小值为4.故选C. 6.D　由题意可知，f(－3)＝f(3)＝f(0)＝0， 当x∈(－∞，－3)∪(0,3)时，f(x)<0； 当x∈(－3,0)∪(3，＋∞)时，f(x)>0， 故xf(x＋1)≥0⇔x＝0或 或⇔ x＝0或 或⇔ x＝0或 或⇔ x≥2或x≤－4或－1≤x≤0， 所以满足xf(x＋1)≥0的x的取值范围是(－∞，－4]∪[－1,0]∪[2，＋∞).故选D. 7.A　因为θ∈，所以tan θ∈(－1,0).由tan 2θ＝－4tan得＝－4，化简整理得2tan2θ＋5tan θ＋2＝0，解得tan θ＝－2(舍去)或tan θ＝－，所以＝＝＝＝.故选A. 8.C　(等价转化法)　由f(x)≥0及y＝x＋a，y＝ln(x＋b)单调递增，可得x＋a与ln(x＋b)同正、同负或同为零，所以当ln(x＋b)＝0时，x＋a＝0，即所以b＝a＋1，则a2＋b2＝a2＋(a＋1)2＝22＋≥，当且仅当a＝－，b＝时等号成立.故选C. 9.ABC　因为ex>0，所以ex＋1>0，所以函数f(x)的定义域为R，故A正确；f(x)＝＝1－，由ex>0⇒ex＋1>1⇒0<<1⇒－1<1－<1，故B正确；因为f(x)的定义域为R，且f(－x)＝＝＝＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，故C正确；因为函数y＝ex＋1是增函数，所以函数y＝是减函数，所以函数y＝－是增函数，故f(x)＝1－是增函数，故D错误.故选ABC. 10.BC　由题图知，A＝2，f(0)＝－1， 则2sin φ＝－1，即sin φ＝－， 因为－π<φ<－，所以φ＝－. 因为为f(x)的零点， 所以－＝kπ(k∈Z)，得ω＝1＋(k∈Z). 设f(x)的最小正周期为T，则由题图知， <T＝<2π，则1<ω<，所以k＝1，ω＝，从而f(x)＝2sin. 由题设，g(x)＝2sin＝2sin， 则g＝2sin＝2sin，为非奇非偶函数，故A错误； g(x)的最小正周期为＝π，故B正确； 当x＝时，2x－＝， 则g(x)的图象关于直线x＝对称，故C正确； 当x∈时，2x－∈，此时g(x)不单调，故D错误.故选BC. 11.AC　令n＝4，则log2≥4，则log2≥6，即≥64，即当对折4次时，的最小值为64，A正确，B错误；当ω＝30，x＝0.05时，n≤log2＝log2600＝×＝×≈×≈6.2，所以该矩形纸最多能对折6次，C正确，D错误.故选AC. 12.解析　因为命题“∀x∈R，x2－2x＋m>0”为假命题，所以命题“∃x∈R，x2－2x＋m≤0”为真命题， 所以Δ＝(－2)2－4m≥0，解得m≤1. 答案　(－∞，1] 13.解析　将函数f(x)＝tan的图象向左平移个单位长度后，得到g(x)＝tan＝tan的图象，又函数g(x)为奇函数，所以－φ＝，k∈Z，φ＝－，k∈Z，故可取φ的一个值为. 答案　k∈Z即可 14.解析　由f＝f(x)，即ex＋＝＋aex，整理得＝0对于任意x∈R恒成立，故a＝1.∀x∈R，＋aex≥1恒成立，等价于a≥－＋在R上恒成立.令＝t，则t∈，y＝－t2＋t＝－2＋，ymax＝，故a≥，即a的取值范围是. 答案　1　 15.解析　(1)若选①. tan＝tan α＝＝3， 因为sin2α＋cos2α＝1,0<α<， 所以sin α＝，cos α＝， 所以sin＝sin αcos－cos αsin ＝×－×＝. 若选②. sin－2sin＝cos，化简得sin α＝3cos α， 以下同①. 若选③. 3sin＝cos，化简得3cos α＝sin α， 以下同①. (2)因为0<β<α<，且cos＝－，所以0<α＋β<π， sin＝＝， 所以sin β＝sin＝×－－×＝， 又因为0<β<，所以β＝. 16.解析　(1)f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，令2kπ－≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得kπ－≤x≤＋kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z. (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到f＝2sin＝2sin的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图象对应解析式为g(x)＝2sin. 当x∈时，4x－∈， 故sin∈， 所以此时g(x)的值域为[－1,2]. 17.解析　(1)y＝p－x－＝－x－8(1<x<10). (2)y＝－x－8＝＝＝18－. ∵1<x<10，∴2<x＋1<11， ∴＋(x＋1)≥2＝10， 当且仅当＝x＋1，即x＝4时等号成立， ∴y≤18－10＝8， ∴当x＝4时，该公司本季度增加的利润最大，最大为8万元. 18.解析　(1)原方程等价于log3(3x＋1)＝log3(5x－4x＋1)， 得3x＋1＝5x－4x＋1，可化为x＋x＝1. 令φ(x)＝x＋x，则φ(x)是R上的减函数，又φ(2)＝1，所以x＝2. (2)令F(x)＝0，得log3(3x＋1)＝x＋log3[a(3x－1)]， 所以a(3x－1)>0，且3x＋1＝3x·a(3x－1)＝a(32x－3x)， 令t＝3x，则g(t)＝at2－(a＋1)t－1有且仅有一个零点，且g(0)＝－1<0，g(1)＝－2<0. ①当a>0时，由a(3x－1)>0，得x>0，此时，t∈(1，＋∞)且g(t)图象的开口向上，因为g(1)<0， 所以g(t)在(1，＋∞)上有且仅有一个零点； ②当a<0时，由a(3x－1)>0，得x<0，此时，t∈(0,1)且g(t)图象的开口向下且对称轴方程为x＝，因为g(0)<0，g(1)<0，所以要使g(t)在(0,1)上有且仅有一个零点， 需满足0<<1且Δ＝(a＋1)2＋4a＝a2＋6a＋1＝0，可得a＝－3－2符合条件. 综上，a的取值范围是{－3－2}∪(0，＋∞). 19.解析　(1)因为f(x)＝3x＋k·3－x为奇函数， 所以f(－x)＝－f (x)， 故3－x＋k·3x＝－(3x＋k·3－x) 所以(1＋k)(3x＋3－x)＝0， 因此k＝－1. (2)存在. 假设函数f(x)的图象关于直线x＝m对称， 则函数y＝f(x＋m)为偶函数， 所以f(m－x)＝f(m＋x)， 所以3m－x＋k·3x－m＝3m＋x＋k·3－m－x， 所以＋k·＝3m＋x＋k·， 所以32m＋2x－32m－k·32x＋k＝0， 所以(32m－k)(32x－1)＝0， 所以32m＝k，m＝log9k， 因此当m＝log9k时，使得函数f(x)的图象关于直线x＝m对称. (3)f(1)f(2)f(3)…f(2 024)>(32 025＋2)1 012，理由如下： 当k＝1时，f(x)＝3x＋3－x， f(1)f(2)f(3)…f(2 024)＝f(1)·f(2 024)·f(2)·f(2 023)·…·f(1 012)f(1 013)＝[(31＋3－1)(32 024＋3－2 024)]·…·[(31 012＋3－1 012)·(31 013＋3－1 013)]＝ (32 025＋ 32 023＋3－2 023＋3－2 025)·…·(32 025＋3＋3－1＋3－2 025)>(32 025＋2)·…·(32 025＋2)＝(32 025＋2)1 012. 学科网（北京）股份有限公司 $