专题13 空间直线、平面的垂直（知识梳理精讲）-【赢在寒假】2024年高一数学寒假专项课精讲与精练（人教A版2019）

专题13 空间直线、平面的垂直 知识点一 线线垂直 例1．（1）、（2022下·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末）下列说法中正确的是（    ） A．以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体叫圆台 B．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 C．若一个平面内有无数个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 D．过直线外一点有无数条直线与该直线垂直 （2）、（2019·高一课时练习）已知直线平面，直线，则（    ） A． B． C．异面 D．相交而不垂直 （3）、（2022下·广东江门·高一江门市第一中学校考期中）如图，长方体中，，，那么异面直线与所成角的余弦值是 ．    （4）、（2010下·内蒙古包头·高二统考期中）如图，点，，，分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线与不是共面直线的图是（    ） A． B． C． D． 1．（2021·高一课时练习）设a，b，c是三条直线，且c⊥a，c⊥b，则a和b（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能 2．（2019·高一课时练习）若表示直线，表示平面，下列结论中正确的是 .①；②；③；④. 3．（2022·高一课前预习）如图，在四棱锥中，，底面是平行四边形，则与所成的角是 ． 4．（2020下·高一课时练习）如图是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，给出下列四个结论： ①与所在直线垂直；                ②与所在直线平行； ③与所在直线成60°角；            ④与所在直线异面. 其中正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 知识点二 线面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 ⇒a∥b 例2、（2023上·上海·高二专题练习）如图，在三棱锥中，，是的中点，且.    (1)求证：平面； (2)若，求证：平面. 例3、（2023上·上海·高二专题练习）如图，在三棱锥中，平面．已知，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)若点F在线段AC上，且满足平面，求的值． 例4、（2023·四川成都·统考一模）如图，正四棱柱中，M为的中点，，. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 例5、（2016上·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期中）已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. (3)求三棱锥的体积. 例6、（2024·全国·模拟预测）如图1，已知是边长为4的正三角形，D，E分别为线段AB，AC的中点，连接BE，将沿DE翻折成四棱锥，使得点在底面BCED上的射影在线段BE上，如图2．    (1)求证：； (2)求四棱锥的表面积． 例7、（2023·陕西·校联考模拟预测）三棱柱中，为中点，．    (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值． 知识点三 面面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 ⇒α⊥β 性质定理 如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 ⇒l⊥α 例8、（2023上·江苏南京·高二期末）正三棱柱的底面边长与侧棱长都是2，分别是的中点． (1)求三棱柱的全面积； (2)求证：∥平面； (3)求证：平面⊥平面． 例9、（2023上·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值． 例10、（2023上·上海·高二专题练习）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 例11、．（2023·四川凉山·统考一模）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，． (1)证明：平面平面； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 例12、（2023上·陕西榆林·高三榆林市第一中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，是正三角形，已知，，. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离. 例13、（2023上·上海·高二上海市建平中学校考阶段练习）如