专题6.7 余弦定理、正弦定理应用举例（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦余弦定理、正弦定理的应用，先梳理基线、仰角俯角、方位角等基础概念，再通过距离、高度、角度测量及其他应用四类题型，搭建从概念理解到实际问题解决的学习支架。 资料以“题型+例题+变式”设计，结合航海、塔高测量等真实情境，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理的能力，课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过实例巩固，查漏补缺提升应用意识。

专题6.7 余弦定理、正弦定理应用举例（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 距离测量问题】 3 【题型2 高度测量问题】 5 【题型3 角度测量问题】 9 【题型4 正、余弦定理的其他应用】 12 知识点1 测量问题 1．基线 在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高. 2．仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角. 3．方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角的范围是. 4．方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）α， 例：(1)北偏东α；(2)南偏西α. 5．测量问题 (1)测量距离问题的基本类型和解决方案 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 A,B间不可达也不可视 测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得 B, C与点A可视但不可达 测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得 C,D与点A,B均可视不可达 测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB. (2)测量高度问题的基本类型和解决方案 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 底部 可达 测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C. 底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值. 点B与C , D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值. (3)测量角度问题 测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可. 【题型1 距离测量问题】 【例1】（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，A，B，C为山脚D，E两侧共线的三点，在山顶P处测得A，B，C处的俯角分别为60°，75°，45°，并测得，，，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】在中，利用正弦定理可得，在中，利用正弦定理可得，从而结合已知的数据可求得隧道的长度， 【解答过程】在中，，， 由正弦定理得， 在中，，， 由正弦定理得， 所以. 故选：C. 【变式1-1】（24-25高一下·北京顺义·期末）一艘海轮从港口A出发，沿着正东方向航行50n mile后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿着北偏东30°方向航行70n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘海轮需要航行的距离大约是（   ） A．62.4n mile B．85.0n mile C．104.4n mile D．116.0n mile 【答案】C 【解题思路】结合已知条件应用余弦定理计算求解. 【解答过程】 因为，且.. 在中，由余弦定理得， 即. 所以； 故选：C. 【变式1-2】（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知点在点的正西方向，为了测量两点之间的距离，在观测点处测得在的北偏西方向，在的北偏东方向，且两点之间的距离为20米，则两点之间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【解题思路】根据题意作图，利用正弦定理求得，根据两角和的正弦公式计算得，代入计算即可得解. 【解答过程】根据题意作图， 则，,， 在中，根据正弦定理，， 即，则， 因为， 所以，. 即两点之间的距离为米. 故选：A. 【变式1-3】（24-25高一下·四川成都·期末）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得在A的南偏东的方向上，在A的南偏东的方向上，在点测得在的南偏西的方向上，在的南偏东的方向上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】依据图形求得角度，然后利用正弦定理得到，最后使用余弦定理计算即可. 【解答过程】由题可知：， 所以， 所以在中，, 在中， 在中，. 故选：C. 【题型2 高度测量问题】 【例2】（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度，在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和该建筑的最高点的仰角分别为，无人机距地面的高度为20米，且在处无人机测得点的仰角为，点B，C，N在同一条直线上，则该建筑的高度（单位：米）为（   ） A． B． C． D．40 【答案】D 【解题思路】在中，求出，中，由正弦定理求出，中，求出. 【解答过程】在中，，则， 由图，可知，， 则， 在中，由正弦定理，得， 在中，. 故选：D. 【变式2-1】（24-25高一下·贵州黔南·期末）如图，某数学建模活动小组为了测量河对岸的塔高，选取与塔底B在同一平面的两个测量基点C与D．现测量得，在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高（   ） A．20m B． C．30m D． 【答案】C 【解题思路】在中，由正弦定理求得，在中，解直角三角形得解. 【解答过程】在中，由三角形内角和定理， 得. 由正弦定理，得，即，解得． 在中，，即塔高． 故选：C. 【变式2-2】（24-25高一下·吉林·期末）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，并在点C处测得塔顶A的仰角.    (1)求B与D两点间的距离； (2)求塔高. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据正弦定理即可得到答案； （2）首先根据正弦定理求出，再根据三角函数定义即可得到答案. 【解答过程】（1）在中，. 由正弦定理得， ， （2）. 在中，由正弦定理得 ， ， 在中，. 【变式2-3】（24-25高一下·广东东莞·期中）“桃花春色暖先开，明媚谁人不看来”.春天来了，在研学的基地里，小明观察一棵桃树.如图所示，他在点处发现桃树顶端点的仰角大小为，往正前方走后，在点处发现桃树顶端点的仰角大小为.    (1)求的长； (2)若小明身高为，求这棵桃树顶端点离地面的高度（精确到，其中）. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理求解即可； （2）利用正弦定理和两角和的正弦公式求解. 【解答过程】（1）在中，，， 则，. 由正弦定理得,即， 解得.即的长为.    （2）在中，， 所以. 因为，           则. 所以. 即这棵桃树顶端点离地面的高度为. 【题型3 角度测量问题】 【例3】（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 【答案】D 【解题思路】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【解答过程】如图， 由题意，在中，，，， 则为正三角形，则， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以，故， 此时灯塔C位于渔船的北偏东方向. 故选：D. 【变式3-1】（2025高一·全国·专题练习）如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】B 【解题思路】先过点A作于点，由勾股定理求出和，再由余弦定理求出，由，即可求出答案． 【解答过程】如图，过点A作于点， 由题可知，，，， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由余弦定理得： ， 因为， 所以． 故选：B. 【变式3-2】（24-25高一下·广东茂名·月考）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【答案】D 【解题思路】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【解答过程】如图，    由题意，在中，，，， 由正弦定理得， 所以， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以， 由正弦定理得， 所以， 因为，故为锐角， 故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向. 故选：D. 【变式3-3】（24-25高二上·浙江·开学考试）某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据已知条件得到为等腰三角形，得出，根据正弦定理得出，因为，所以为直角三角形，所以. 【解答过程】已知，则. 所以，即为等腰三角形. 所以. 根据正弦定理：. 因为，所以，为直角三角形. 所以. 故选：D. 【题型4 正、余弦定理的其他应用】 【例4】（24-25高一上·上海杨浦·月考）如图所示，，两处各有一个垃圾中转站，在的正东方向18km处，的南面为居民生活区.为了妥善处理生活垃圾，政府决定在的北面处建一个发电厂，利用垃圾发电.要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：km）与它们每天集中的生活垃圾量（单位：吨）成反比，现估测得，两处中转站每天集中的生活垃圾量分别约为40吨和50吨.    (1)当时，求的值； (2)发电厂尽量远离居民区，也即要求的面积最大，问此时发电厂与垃圾中转站的距离为多少? 【答案】(1) (2)选址方案满足，． 【解题思路】（1）由题意可求得，利用余弦定理可求的值，进而可求的值； （2）设，则，利用余弦定理可求，利用同角三角函数基本关系式可得，进而可求到距离，利用二次函数的性质即可求解． 【解答过程】（1）由题意，， 可得， 可得， 所以． （2），设，则， 可得，可得， 到距离， 当，即，取得最大值为， 因此选址方案满足，． 【变式4-1】（24-25高一下·河南·期中）如图，在海岸边的观测站点发现南偏西方向上，距离点海里的处有一艘走私船，立刻通知了停在的正东方向上，且距离点海里的处的缉私艇，缉私艇立刻以海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以海里/时的速度从处向正南方向逃窜． (1)刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多远，在缉私艇的什么方向？ (2)缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？ 【答案】(1)走私船距缉私艇海里，在缉私艇的西南方向上 (2)缉私艇至少需要小时才能追上走私船 【解题思路】（1）在中，利用余弦定理可求得；利用正弦定理可求得，由此可得结论； （2）设小时后缉私艇在处追上走私船，在中，利用正弦定理可求得，得到；再次利用正弦定理可构造方程求得的值. 【解答过程】（1）由题意知：，，． 在中，由余弦定理得：， 由正弦定理得：，解得：，． 则刚发现走私船时，走私船距缉私艇海里，在缉私艇的西南方向上． （2）如图， 设小时后缉私艇在处追上走私船，则，，． 在锐角中，由正弦定理得：，解得：， 则，． ， 在中，由正弦定理得：，即， 解得：，则缉私艇至少需要小时才能追上走私船． 【变式4-2】（24-25高一下·四川成都·期中）如图，某广场有一块不规则的绿地，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为、，经测量，，，． (1)求的长度； (2)若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低（请说明理由）？较低造价为多少？ 【答案】(1) (2)小李的设计符合要求，理由见解析；总造价为（元） 【解题思路】（1）根据余弦定理求解即可. （2）根据正弦定理面积公式得到选择建筑环境标志费用较低，再计算其建造费用即可. 【解答过程】（1）在中，由余弦定理，得． 在中，由余弦定理得． 由，得，所以， 解得，所以长度为． （2）小李的设计符合要求．理由如下： 因为，， 因为，所以，故选择建筑环境标志费用较低． 因为，所以是等边三角形，， 所以， 所以总造价为（元）． 【变式4-3】（24-25高一下·上海奉贤·期中）某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，． (1)若米，求角的余弦值； (2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？ (3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 【答案】(1) (2)米 (3)米，米， 【解题思路】（1）由余弦定理即可求解； （2）由三角形面积公式及余弦定理即可求解； （3）由三角形面积公式，正弦定理，三角恒等变换得面积表达式，再结合余弦函数的性质即可求最大值． 【解答过程】（1）由余弦定理得，． （2），解得， 又为钝角，所以， 由余弦定理得， 米． （3），当且仅当时等号成立， 此时，， 设， 在中，由正弦定理得，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，， 所以应设计米，米，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.7 余弦定理、正弦定理应用举例（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 距离测量问题】 3 【题型2 高度测量问题】 4 【题型3 角度测量问题】 5 【题型4 正、余弦定理的其他应用】 6 知识点1 测量问题 1．基线 在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高. 2．仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角. 3．方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角的范围是. 4．方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）α， 例：(1)北偏东α；(2)南偏西α. 5．测量问题 (1)测量距离问题的基本类型和解决方案 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 A,B间不可达也不可视 测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得 B, C与点A可视但不可达 测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得 C,D与点A,B均可视不可达 测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB. (2)测量高度问题的基本类型和解决方案 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 底部 可达 测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C. 底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值. 点B与C , D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值. (3)测量角度问题 测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可. 【题型1 距离测量问题】 【例1】（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，A，B，C为山脚D，E两侧共线的三点，在山顶P处测得A，B，C处的俯角分别为60°，75°，45°，并测得，，，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一下·北京顺义·期末）一艘海轮从港口A出发，沿着正东方向航行50n mile后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿着北偏东30°方向航行70n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘海轮需要航行的距离大约是（   ） A．62.4n mile B．85.0n mile C．104.4n mile D．116.0n mile 【变式1-2】（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知点在点的正西方向，为了测量两点之间的距离，在观测点处测得在的北偏西方向，在的北偏东方向，且两点之间的距离为20米，则两点之间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式1-3】（24-25高一下·四川成都·期末）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得在A的南偏东的方向上，在A的南偏东的方向上，在点测得在的南偏西的方向上，在的南偏东的方向上，且，则（   ） A． B． C． D． 【题型2 高度测量问题】 【例2】（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度，在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和该建筑的最高点的仰角分别为，无人机距地面的高度为20米，且在处无人机测得点的仰角为，点B，C，N在同一条直线上，则该建筑的高度（单位：米）为（   ） A． B． C． D．40 【变式2-1】（24-25高一下·贵州黔南·期末）如图，某数学建模活动小组为了测量河对岸的塔高，选取与塔底B在同一平面的两个测量基点C与D．现测量得，在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高（   ） A．20m B． C．30m D． 【变式2-2】（24-25高一下·吉林·期末）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，并在点C处测得塔顶A的仰角.    (1)求B与D两点间的距离； (2)求塔高. 【变式2-3】（24-25高一下·广东东莞·期中）“桃花春色暖先开，明媚谁人不看来”.春天来了，在研学的基地里，小明观察一棵桃树.如图所示，他在点处发现桃树顶端点的仰角大小为，往正前方走后，在点处发现桃树顶端点的仰角大小为.    (1)求的长； (2)若小明身高为，求这棵桃树顶端点离地面的高度（精确到，其中）. 【题型3 角度测量问题】 【例3】（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 【变式3-1】（2025高一·全国·专题练习）如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【变式3-2】（24-25高一下·广东茂名·月考）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【变式3-3】（24-25高二上·浙江·开学考试）某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 正、余弦定理的其他应用】 【例4】（24-25高一上·上海杨浦·月考）如图所示，，两处各有一个垃圾中转站，在的正东方向18km处，的南面为居民生活区.为了妥善处理生活垃圾，政府决定在的北面处建一个发电厂，利用垃圾发电.要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：km）与它们每天集中的生活垃圾量（单位：吨）成反比，现估测得，两处中转站每天集中的生活垃圾量分别约为40吨和50吨.    (1)当时，求的值； (2)发电厂尽量远离居民区，也即要求的面积最大，问此时发电厂与垃圾中转站的距离为多少? 【变式4-1】（24-25高一下·河南·期中）如图，在海岸边的观测站点发现南偏西方向上，距离点海里的处有一艘走私船，立刻通知了停在的正东方向上，且距离点海里的处的缉私艇，缉私艇立刻以海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以海里/时的速度从处向正南方向逃窜． (1)刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多远，在缉私艇的什么方向？ (2)缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？ 【变式4-2】（24-25高一下·四川成都·期中）如图，某广场有一块不规则的绿地，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为、，经测量，，，． (1)求的长度； (2)若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低（请说明理由）？较低造价为多少？ 【变式4-3】（24-25高一下·上海奉贤·期中）某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，． (1)若米，求角的余弦值； (2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？ (3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $