专题6.6 余弦定理、正弦定理（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦余弦定理、正弦定理核心知识点，系统梳理定理公式及推论，构建解三角形（已知两边一角、三边、两角一边等类型）、边角互化、形状判断、面积计算的知识脉络，形成完整学习支架。 资料按10类题型设计，每类含例题与变式题，通过几何图形计算、解的个数判断培养数学眼光，以边角互化、恒等式证明发展数学思维，助力课中教学与课后查漏补缺，提升学生问题解决与数学表达能力。

专题6.6 余弦定理、正弦定理（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 余弦定理解三角形】 2 【题型2 余弦定理边角互化的应用】 3 【题型3 正弦定理解三角形】 7 【题型4 正弦定理边角互化的应用】 8 【题型5 正弦定理判定三角形解的个数】 10 【题型6 正、余弦定理判定三角形形状】 12 【题型7 三角形面积公式的应用】 15 【题型8 几何图形中的计算】 17 【题型9 证明三角形中的恒等式或不等式】 21 【题型10 求三角形中的边长或周长的最值或范围】 25 知识点1 余弦定理 1．余弦定理 (1)余弦定理及其推论的表示 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 推论 2．解三角形 (1)解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. (2)余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①类型1：已知两边及一角，解三角形 解法：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； ②类型2：已知三边，解三角形 解法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一； 解法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解. 3．余弦定理判断三角形形状的常用结论 (1)△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或b2=a2+c2或c2=a2+b2； (2)△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2，且b2+c2>a2，且a2+c2>b2； (3)△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2，且b2+c2<a2，且a2+c2<b2； (4)若sin2A= sin2B，则A=B或. 【题型1 余弦定理解三角形】 【例1】（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】由余弦定理计算求解即可. 【解答过程】在中，，，， 由余弦定理得， 所以. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高一下·贵州黔东南·期末）已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，，，则（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 【答案】B 【解题思路】由余弦定理直接计算求解即可. 【解答过程】由题可得， 因为，所以. 故选：B. 【变式1-2】（24-25高一下·四川攀枝花·期末）在△中，，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知可求得，利用余弦定理可求得，由余弦定理可求得. 【解答过程】设，由，边上高，且，可得． 设，代入、， 由余弦定理可是得，即． 所以． 故选：A. 【变式1-3】（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，在平面四边形ABCD中，，则DB的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】由题意在直角中，可得BC的值，再在中，由余弦定理可得BD的大小． 【解答过程】在中，， 可得 ， 在中，， 由余弦定理可得， 即， 即，解得（负值已舍）． 即BD的长度为1． 故选：A． 【题型2 余弦定理边角互化的应用】 【例2】（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据已知，应用余弦边角关系求，即可得角的大小. 【解答过程】由题设，则， 所以，又，可得. 故选：C. 【变式2-1】（2025·安徽合肥·一模）在中，内角的对边分别为，若，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】给两边同时乘以，结合余弦定理求解即可. 【解答过程】因为，两边同时乘以得： ，由余弦定理可得， 则，所以有， 又，所以，又因为， 所以. 故选：A. 【变式2-2】（24-25高一下·天津武清·月考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【解题思路】利用余弦定理角化边，然后确定的形状即可. 【解答过程】因为， 根据余弦定理得， 整理得， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形， 故选：B. 【变式2-3】（24-25高一下·江苏苏州·月考）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用余弦定理即可得解. 【解答过程】因为，即，所以， 由余弦定理可得， 又，所以. 故选：B． 知识点2 正弦定理 1．正弦定理 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得(k>0)，则a=k，b=k，c=k，由此可得正弦定理的下列变形： ①，，，a=b，a=c，b=c； ②====； ③a:b:c=sinA:sinB:sinC； ④=2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 2．正弦定理解三角形 (1)正弦定理在解三角形中的应用 公式反映了三角形的边角关系. 由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=.上述的每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的边和角， ②已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角. 3．对三角形解的个数的研究 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若sinB=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若sinB==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若sinB=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<sinB=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三角形内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 4．利用正弦定理判断三角形形状 (1)方法一：化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识（分解因式、配方等）得到边的关系，如a=b，a2+b2=c2等，进而确定三角形的形状.利用的公式为：sinA=，sinB=，sinC=. (2)方法二：化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状.利用的公式为：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 【题型3 正弦定理解三角形】 【例3】（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解题思路】分析可知，即，利用正弦定理求出的值，即可得出的大小. 【解答过程】在中，因为，，，且，故， 由正弦定理可得， 又因为，故或. 故选：D. 【变式3-1】（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知的内角的对边分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用正弦定理计算易得. 【解答过程】由正弦定理可得. 故选：A. 【变式3-2】（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用正弦定理直接求解即可. 【解答过程】因为，，所以， 由正弦定理，即，解得. 故选：D. 【变式3-3】（24-25高一下·河南许昌·期末）若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用正弦定理求得，进而求得. 【解答过程】由正弦定理得， 由于，所以为锐角， 所以. 故选：B. 【题型4 正弦定理边角互化的应用】 【例4】（24-25高一下·湖南娄底·期末）在中，角、、的对边分别为、、.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用正弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值. 【解答过程】因为，由正弦定理可得， 因为、，故，所以， 可得，故. 故选：B. 【变式4-1】（24-25高一下·广东广州·期中）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】借助正弦定理计算即可得. 【解答过程】由正弦定理可得， 则、， 则. 故选：C. 【变式4-2】（24-25高一下·江苏盐城·月考）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用角之比求出三个角的大小，再利用正弦定理将转化为即可求解. 【解答过程】因为，且， 所以，， 所以. 故选：D. 【变式4-3】（24-25高一下·河南·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由正弦定理角化边结合余弦定理可得. 【解答过程】根据正弦定理，由可得， 两边同乘可得，由余弦定理， 又，所以. 故选：C. 【题型5 正弦定理判定三角形解的个数】 【例5】（24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据各选项的条件，结合正弦定理解三角形，判断解的个数，即可得答案. 【解答过程】对于A，，则，只有一解，A不符合题意； 对于B，，满足，只有一解，B不符合题意； 对于C，，则， 故，结合， 故B有两解，分别在以及之间，C符合题意； 对于D，，则， 故，此时无解，D不符合题意， 故选：C. 【变式5-1】（24-25高一下·河南南阳·月考）在中，角所对的边分别为，已知，若三角形有两解，则边的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用正弦定理列出关系式，将的值代入表示出，求得角的范围，要使得三角形有两解确定出的范围，利用正弦函数的值域，即可求解. 【解答过程】因为在中，， 由正弦定理，可得， 因为，所以， 要使得三角形有两解，可得且，即， 即，解得. 故选：C. 【变式5-2】（24-25高一下·福建龙岩·期末）在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，结合正弦定理和余弦定理，以及三角形的内角和定理，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A中，由正弦定理，可得， 则这样的三角形不存在，所以A错误； 对于B中，由，可得， 又由，则这样的三角形是唯一的，所以B不符合题意； 对于C中，由余弦定理，可得， 所以，则这样的三角形是唯一的，所以C不符合题意； 对于D中，由正弦定理，可得， 因为，可得，所以或，则这样的三角形有两个，所以D符合题意. 故选：D. 【变式5-3】（24-25高一下·江苏镇江·期中）在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，，若有两解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据正弦定理求出关于的表达式，再结合三角形有两解的条件确定的取值范围. 【解答过程】已知，，，由正弦定理可得： ，即. 因为，所以. 要使有两解，则，且，此时的取值范围是. 由，且，可得.得到. 的取值范围是， 故选：B. 【题型6 正、余弦定理判定三角形形状】 【例6】（24-25高一下·山西吕梁·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【解题思路】由正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简已知可求得，结合范围可求或解得或即可得 【解答过程】可得， 由正弦定理可得: ，即， 可得， ，或， 解得或，即是等腰或直角三角形. 故选：D. 【变式6-1】（24-25高一下·河南安阳·期末）在中，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【解题思路】方法一：利用正弦两角和差公式进行化简得到，再结合题意讨论即可求解； 方法二 ：利用正弦定理及余弦定理进行化简可得，再结合题意讨论即可求解； 【解答过程】方法一  ，， ， ， ，或， 又由可知，，， ，为直角三角形．故A正确. 方法二 ：记的内角所对的边分别为，由正弦定理、余弦定理及题设条件可得，且， 化简得，，即， 为直角三角形.故A正确. 故选：A. 【变式6-2】（24-25高一下·天津滨海新·期末）在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【解题思路】由正弦定理得，进一步讨论得或即可判断. 【解答过程】因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以符号相同， 若，则，而这会导致，这与三角形内角和矛盾， 从而只能，所以， 所以或， 所以或, 所以的形状是等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 【变式6-3】（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状是（    ） A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【解题思路】利用正弦定理和余弦定理即可求解. 【解答过程】由，， 所以， 由正弦定理有， 又由余弦定理有， 所以， 所以，即， 又，所以是直角三角形但不是等腰三角形. 故选：B. 知识点3 三角形面积公式 1．三角形的面积公式 (1)常用的三角形的面积计算公式 ①(分别为边a,b,c上的高). ②将，，代入上式可得，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. (2)三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，=. 【题型7 三角形面积公式的应用】 【例7】（24-25高一下·新疆巴音郭楞·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且则的面积为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】由正弦定理可得，再由余弦定理计算，最后由三角形面积公式可得. 【解答过程】因为，由正弦定理可得， 由余弦定理可得，解得， 所以， 则的面积为. 故选：B. 【变式7-1】（24-25高三上·江苏盐城·月考）在△ABC中，已知，则△ABC面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求得，根据基本不等式及三角形面积公式求解面积的最大值． 【解答过程】在中，， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， ∵，∴， ∵，当且仅当时取等号， 因此， ∴面积， ∴当时，的面积取得最大值． 故选：C． 【变式7-2】（24-25高一下·河南·月考）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若． (1)求角B； (2)若，，求的面积S． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题设结合正弦定理化简求解即可； （2）先利用余弦定理求得，再利用三角形的面积公式求解即可. 【解答过程】（1）由， 根据正弦定理得， 又，则, 因为，所以. （2）在中，，，， 由余弦定理，，即， 解得或（舍去）， 故的面积为． 【变式7-3】（24-25高一下·吉林长春·月考）已知的内角的对边分别为，的面积为，已知. (1)求； (2)若，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据三角形面积公式及余弦定理，结合题中条件即可求解； （2）用余弦定理结合重要不等式可得，利用三角形面积公式即可求解. 【解答过程】（1）由余弦定理可得，所以. 由三角形面积公式可知及，可得，即. 因为，所以.又，所以. （2）由（1）知. 因为，所以由余弦定理可得. 由不等式可得，所以，即， 当且仅当时等号成立，有最大值为16. 所以， 所以的面积的最大值为. 【题型8 几何图形中的计算】 【例8】（24-25高一下·吉林松原·期末）在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】在中用余弦定理，求出，之后在中，用正弦定理计算的长度. 【解答过程】在中，,所以,. 在中, ，，由余弦定理可得， 代入数值：,整理得，解得(舍去负根)； 在中，,根据正弦定理：代入数值： . 故选：C. 【变式8-1】（25-26高三上·山东·期中）如图所示，在平面四边形中，，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】在中，由余弦定理求得，从而求得，设，由正弦定理求得，然后在中，用余弦定理求解． 【解答过程】在中，由余弦定理得， 即，则， 又，，所以， 设，由正弦定理得，即， 从而， 在中，由余弦定理得：， 即，则． 故选：A． 【变式8-2】（24-25高一下·广东佛山·期中）在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，. (1)求的大小； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由正弦定理化简得到，再由，两式相除求得，即可求解； （2）根据题意，利用，求得，结合余弦定理，即可求解. 【解答过程】（1）在中，由正弦定理得，所以， 因为，两式相除得，所以， 又因为，可得，所以. （2）因为，所以， 又因为平分，可得， 因为，且，， 所以， 即，解得， 在中，由余弦定理得 ，所以. 【变式8-3】（24-25高一下·云南玉溪·期中）如图，在中，，为边上一点且，. (1)若，求的面积； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）在中，利用正弦定理可求出的值，进而求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积； （2）利用正弦定理得出，，由三角形的内角和定理得出，且，利用三角恒等变换化简得出，利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【解答过程】（1），，，且为锐角， 在中，由正弦定理得， 解得，， ， . （2）在中，由正弦定理得，可得， 在中，由正弦定理得，可得， ， ，，且， ， ，，， 故的取值范围为. 【题型9 证明三角形中的恒等式或不等式】 【例9】（25-26高三上·河北保定·月考）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)记的中点为，若，且，求的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)16. 【解题思路】（1）应用正弦边角关系及三角恒等变换、三角形内角和性质化简已知条件为，即可证； （2）应用余弦定理及，进而得，结合已知（1）结论求边长，即可得. 【解答过程】（1）由正弦定理，得， ， ， ， ，即， ，即； （2）由（1）及题设有，又， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 显然有，则， 整理得，即，又， 所以，从而， 的周长为. 【变式9-1】（2025·北京东城·一模）在中. (1)求的值及的面积； (2)求证：. 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）由正弦值得，再应用余弦定理列方程求得，最后应用三角形面积公式求面积； （2）由（1）及二倍角余弦公式得，再应用余弦定理求得，结合三角形内角的性质即可证. 【解答过程】（1）在中,所以是锐角，. 由，可得，而， 所以， 可得，则， 故； （2）由（1）易知，则， 由（1）及余弦定理有， 所以，又，则. 【变式9-2】（24-25高一下·河南开封·期中）已知四边形是由与拼接而成，如图所示，，.    (1)求证：； (2)若，，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【解题思路】（1）求出的范围，利用正弦定理即可证明结论； （2）写出与的关系，进而求出的正弦值和余弦值，求出的长，利用余弦定理即可求出的长. 【解答过程】（1）由题意证明如下， 在中，， ∴. ∵， ∴. 在中，由正弦定理得， ， 即，， ∴， ∴. （2）由题意及（1）得 设，， ，，，，， 则在中，由正弦定理得，，即， 可得，① 在中，由正弦定理得，， 可得， 可得，② 联立①②，可得， 可得，可得，. 在中，由正弦定理得，，可得. 在中，由余弦定理得，， 可得， 可得，解得或（舍）， ∴的长为. 【变式9-3】（2025·全国·模拟预测）在中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D在B，E之间，． (1)求证：． (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）分别在，，中，利用正弦定理即可得证； （2）设，则，，在，中，利用正弦定理即可得证. 【解答过程】（1）如图．在中，由正弦定理，得． 在中，由正弦定理，得． 在中，由正弦定理，得． 所以， 所以． （2）因为， 所，所以． 由可知，均为锐角． 由（1）知，． 设，则，． 由，得． 在中，由正弦定理，得． 在中，由正弦定理，得． 所以． 【题型10 求三角形中的边长或周长的最值或范围】 【例10】（24-25高一下·重庆万州·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由，利用三角形面积公式与余弦定理，可得，再根据同角三角函数的平方关系可得，，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得取值范围，进而求得的取值范围. 【解答过程】在中，由余弦定理得，且的面积， 由，得，化简得， 又，，联立解得，， 所以， 为锐角三角形，有，，得， 则有，可得，所以. 故选：C. 【变式10-1】（24-25高一下·福建莆田·期中）在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由正弦定理化简已知可得，再由是锐角，得到，然后根据正弦定理和三角形内角和将周长用表示，结合三角恒等变化和三角函数图象即可求得范围. 【解答过程】因为， 根据正弦定理得，， 因为为锐角，所以， 所以，即，而A为锐角， 所以， 因为根据正弦定理， 所以， 因为三角形周长为， 又因为，所以， 所以， 因为，即， 所以， 即，， 所以. 故选：C. 【变式10-2】（24-25高一下·福建福州·月考）已知在锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，. (1)求角； (2)若，D为中点，，求b； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由正弦定理可得，根据三角形内角和定理和两角和的三角函数即可求解； （2）由已知可得，两边完全平方即可求解； （3）由正弦定理可得，，借助三角恒等变换及三角函数的图象与性质即可求解. 【解答过程】（1）因为， 根据正弦定理，得， 所以， 所以， 即， 因为，所以， 又，所以； （2）因为D为中点，所以， 所以， 所以， 所以，解得或（舍去）， 故； （3）由正弦定理：， 所以，， 因为，所以，所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以， 所以，， 所以，所以， 所以的取值范围为. 【变式10-3】（24-25高一下·广东湛江·月考）记锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为S，已知． (1)求角A； (2)若，求三角形周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据面积公式，余弦定理，结合两角差的正弦公式，化简可得，根据角A的范围，即可得答案. （2）根据正弦定理，可得，化简可得，根据锐角三角形，可求得角B的范围，根据正弦型函数的图象与性质，即可得答案. 【解答过程】（1）由面积公式得，即， 由余弦定理得， 所以， 则， 所以，即， 因为，则， 所以，即 （2）由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以， 所以，则， 所以三角形周长为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.6 余弦定理、正弦定理（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 余弦定理解三角形】 2 【题型2 余弦定理边角互化的应用】 2 【题型3 正弦定理解三角形】 5 【题型4 正弦定理边角互化的应用】 6 【题型5 正弦定理判定三角形解的个数】 6 【题型6 正、余弦定理判定三角形形状】 7 【题型7 三角形面积公式的应用】 8 【题型8 几何图形中的计算】 8 【题型9 证明三角形中的恒等式或不等式】 10 【题型10 求三角形中的边长或周长的最值或范围】 11 知识点1 余弦定理 1．余弦定理 (1)余弦定理及其推论的表示 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 推论 2．解三角形 (1)解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. (2)余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①类型1：已知两边及一角，解三角形 解法：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； ②类型2：已知三边，解三角形 解法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一； 解法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解. 3．余弦定理判断三角形形状的常用结论 (1)△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或b2=a2+c2或c2=a2+b2； (2)△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2，且b2+c2>a2，且a2+c2>b2； (3)△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2，且b2+c2<a2，且a2+c2<b2； (4)若sin2A= sin2B，则A=B或. 【题型1 余弦定理解三角形】 【例1】（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（24-25高一下·贵州黔东南·期末）已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，，，则（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 【变式1-2】（24-25高一下·四川攀枝花·期末）在△中，，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，在平面四边形ABCD中，，则DB的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【题型2 余弦定理边角互化的应用】 【例2】（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·安徽合肥·一模）在中，内角的对边分别为，若，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 【变式2-2】（24-25高一下·天津武清·月考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【变式2-3】（24-25高一下·江苏苏州·月考）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 知识点2 正弦定理 1．正弦定理 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得(k>0)，则a=k，b=k，c=k，由此可得正弦定理的下列变形： ①，，，a=b，a=c，b=c； ②====； ③a:b:c=sinA:sinB:sinC； ④=2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 2．正弦定理解三角形 (1)正弦定理在解三角形中的应用 公式反映了三角形的边角关系. 由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=.上述的每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的边和角， ②已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角. 3．对三角形解的个数的研究 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若sinB=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若sinB==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若sinB=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<sinB=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三角形内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 4．利用正弦定理判断三角形形状 (1)方法一：化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识（分解因式、配方等）得到边的关系，如a=b，a2+b2=c2等，进而确定三角形的形状.利用的公式为：sinA=，sinB=，sinC=. (2)方法二：化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状.利用的公式为：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 【题型3 正弦定理解三角形】 【例3】（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（   ） A． B． C． D．或 【变式3-1】（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知的内角的对边分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一下·河南许昌·期末）若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 正弦定理边角互化的应用】 【例4】（24-25高一下·湖南娄底·期末）在中，角、、的对边分别为、、.已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一下·广东广州·期中）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·江苏盐城·月考）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一下·河南·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【题型5 正弦定理判定三角形解的个数】 【例5】（24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一下·河南南阳·月考）在中，角所对的边分别为，已知，若三角形有两解，则边的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一下·福建龙岩·期末）在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一下·江苏镇江·期中）在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，，若有两解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型6 正、余弦定理判定三角形形状】 【例6】（24-25高一下·山西吕梁·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式6-1】（24-25高一下·河南安阳·期末）在中，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【变式6-2】（24-25高一下·天津滨海新·期末）在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式6-3】（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状是（    ） A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 知识点3 三角形面积公式 1．三角形的面积公式 (1)常用的三角形的面积计算公式 ①(分别为边a,b,c上的高). ②将，，代入上式可得，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. (2)三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，=. 【题型7 三角形面积公式的应用】 【例7】（24-25高一下·新疆巴音郭楞·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且则的面积为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【变式7-1】（24-25高三上·江苏盐城·月考）在△ABC中，已知，则△ABC面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一下·河南·月考）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若． (1)求角B； (2)若，，求的面积S． 【变式7-3】（24-25高一下·吉林长春·月考）已知的内角的对边分别为，的面积为，已知. (1)求； (2)若，求的面积的最大值. 【题型8 几何图形中的计算】 【例8】（24-25高一下·吉林松原·期末）在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高三上·山东·期中）如图所示，在平面四边形中，，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高一下·广东佛山·期中）在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，. (1)求的大小； (2)求的值. 【变式8-3】（24-25高一下·云南玉溪·期中）如图，在中，，为边上一点且，. (1)若，求的面积； (2)求的取值范围. 【题型9 证明三角形中的恒等式或不等式】 【例9】（25-26高三上·河北保定·月考）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)记的中点为，若，且，求的周长． 【变式9-1】（2025·北京东城·一模）在中. (1)求的值及的面积； (2)求证：. 【变式9-2】（24-25高一下·河南开封·期中）已知四边形是由与拼接而成，如图所示，，.    (1)求证：； (2)若，，求的长. 【变式9-3】（2025·全国·模拟预测）在中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D在B，E之间，． (1)求证：． (2)若，求证：． 【题型10 求三角形中的边长或周长的最值或范围】 【例10】（24-25高一下·重庆万州·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25高一下·福建莆田·期中）在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25高一下·福建福州·月考）已知在锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，. (1)求角； (2)若，D为中点，，求b； (3)若，求的取值范围. 【变式10-3】（24-25高一下·广东湛江·月考）记锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为S，已知． (1)求角A； (2)若，求三角形周长的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $