专题03 圆中的9种最值问题（高效培优专项训练）数学沪科版九年级下册

专题03 圆中的9种最值问题 题型一：利用圆的性质求最值 题型二：利用将军饮马模型求最值 题型三：利用圆外点到圆的距离求最值 题型四：利用直线与圆的特殊位置关系求最值 题型五：利用定点定长构造圆求最值 题型六：利用定弦定角构造圆求最值 题型七：利用四点共圆求最值 题型八：利用米勒定理求最值 题型九：利用阿氏圆求最值 题型一：利用圆的性质求最值 如图，过圆内一定点M的所有弦中，直径AB最长，与直径垂直的弦CD最短. 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（10，0），直线y＝kx+8与⊙O交于B、C两点，则弦BC长的最小值（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 2．如图，在中，直径，弦，点是的中点，过点作于点，若点、在上运动（点、与点、不重合），则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．6 3．（24-25九年级上·安徽淮南·月考）如图，是的直径，，弦是上的动点，取的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025•滁州校级模拟）等腰直角三角形ABC中，已知AC＝4，点O是斜边AB上的动点，以点O为圆心，BO为半径画圆交AC边于点P，交AB边于点Q，则AQ的最大值为（　　） A．4 B． C． D． 5．（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与轴交于两点，点为上一动点，于点，则点在上运动过程中，线段的长的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，是的直径，，，点D是弦上的一个动点，那么的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 7．如图，的直径，弦，且弦在圆上滑动（的长度不变，点C、D与点A、B不重合），过点C作于点P，若M是的中点，则的最大值是 ． 题型二：利用将军饮马模型求最值 已知C,D为⊙O上直径同侧两点，P为直径AB上一动点，求PC+PD 的最小值.如图，作点D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点P′，则P′D=P′D′，故当点P 与点P′重合时，PC+PD取得最小值，最小值为CD′ 的长. 8．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，在矩形中，，，点，分别是，边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 9．如图，为的直径，A、B是上的两点，过A作于点C，过B作于点D， P为上的任意一点，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，在半圆中，直径，是半圆上两点，是直径上一点，若，，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，矩形中，，点在边上且，点为直线上一动点，连接，将沿着折痕折叠，得到，动点在边上，连接，则最小值是（   ） A． B． C． D． 12．（2025•宣城一模）如图，矩形ABCD的边AB＝8，AD＝6，M为BC的中点，P是矩形内部一动点，且满足∠ADP＝∠PAB，N为边CD上的一个动点，连接PN，MN，则PN+MN的最小值为 　　 ． 题型三：利用圆外点到圆的距离求最值 1.已知直线及圆上一动点求最值，想到过圆心作直线的垂线. 2.已知圆外一定点及圆上一动点求最值，想到连接定点与圆心. 13．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且与轴分别交于两点，若点、点关于原点对称，则的最大值为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 14．（2022•萧县校级开学）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A和点B分别为y轴和x轴上的动点，且AB＝4，点C为线段AB的中点，已知点P（4，3），则PC+CO的最大值为（　　） A．7 B．9 C．10 D．11 15．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 16．（2025·安徽芜湖·一模）如图，在矩形中，，，E是矩形内部的一个动点，且，则线段最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．6 17．（2023•明光市二模）如图，正方形ABCD的边长为2，点P是射线AD上一个动点，点Q在BP上，且满足∠BCQ＝∠BPC，则线段CQ的最小值为（　　） A． B．1 C． D． 18．（2024•埇桥区校级二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E是BC右侧一点且CE⊥BE，点G是AB上一点，点F是DE的中点，若∠DGE＝90°，则FG的最大值为（　　） A． B． C． D． 19．（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）如图，矩形中，，，为边上一点（不与、重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点，则的最小值是（   ） A．4 B． C． D． 20．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，C，D是半径为2的上两动点，且，P为弦的中点，Q为线段的中点．当C，D两点在圆上运动时，的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 21．（2024·安徽·模拟预测）如图，是正方形的边的中点，是正方形内一点，连接，将线段以为中心逆时针旋转得到线段．连接．若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 22．如图，抛物线与轴交于、两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（     ） A．4 B． C． D．5 23．（2025·安徽芜湖·二模）如图，M是等腰直角三角形的边的中点，P是平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点M，P之间的距离为1，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．3 D． 24.如图，在中，，，．的半径为1，点P是边上的动点，过点P作的一条切线，点D为切点，则线段长的最小值为 ． 25．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，动点 P 在正方形内部，E 为边的中点，且． （1）当 时，的度数为 ； （2）点D到点P的最小距离为 ． 26．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）数学兴趣小组开展探究活动，针对九年级上册数学教材习题24.1的第14题进行了深入研究． 【书本原题】如图，是上的四个点，．判断的形状，并证明你的结论． 小红证明如下： 如图1，在中，， …… （1）请你帮他完成后面的证明过程． 【深入探究】 （2）小红在完成此题后，他发现线段，他的发现正确吗？试说明理由． 【应用实践】 （3）如图2，若点是的中点，点在上移动的过程中，小红发现线段的长度一定存在最小值．若的半径为2，请你求出线段的最小值． 题型四：利用直线与圆的特殊位置关系求最值 已知动点与定直线求最值，动点的轨迹是圆，想到利用直线与圆的位置关系，通常在相切时取得最值. 27．（2023•庐江县模拟）如图，AB，AC分别是半圆O的直径和弦，AB＝5，AC＝4，D是上的一个动点， 连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，则BE的最小值是（　　） A．2 B．3 C．2 D．3 28．在中，，D，E分别是的中点，若等腰绕点A逆时针旋转，得到等腰，记直线与的交点为P，则点P到所在直线的距离的最大值为 ． 29．（2020·安徽合肥·一模）如图所示，已知矩形ABCD，AB=4，AD=3，点E为边DC上不与端点重合的一个动点，连接BE，将BCE沿BE翻折得到BEF，连接AF并延长交CD于点G，则线段CG的最大值是(     )    A．1 B．1.5 C．4- D．4- 30．如图，在矩形中，，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到；当射线交线段于点P时，连接，则的最大值为 ． 题型五：利用定点定长构造圆求最值 已知定点和定长，想到动点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆. 如图，动点P到定点O的距离为定值d，则点P的轨迹为以点O 为圆心，d 为半径的圆. 31．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 32．如图，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，4），点C为坐标平面内一动点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A． B． C． D． 33．（2025·安徽芜湖·二模）如图，在四边形中，，连接，若，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 34．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．则线段的最大值为（    ） A． B． C． D． 35．（2023·安徽宣城·二模）如图，在中，，过点作，且，连接，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型六：利用定弦定角构造圆求最值 已知定弦和弦所对的角为定值，想到动点的轨迹是以定直线为弦的圆. 固定线段AB所对动角∠P为定值,则点P运动轨迹为过A,B,P 三点的圆 原理:弦AB 所对的同侧圆周角恒相等 备注：点P 在优弧、劣弧上运动皆可 36．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（　　） A．6 B．3 C．24 D．44 37．（2023秋•太和县期末）如图，P是边长为1的正方形ABCD内的一个动点，且满足∠PBC+∠PDC＝45°，则CP的最小值是（　　） A． B． C． D． 38．（2022•巢湖市二模）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段PD的最小值为（　　） A．22 B． C．4 D．2 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/28 11:31:36；用户：初中数学；邮箱：15055239005；学号：52628688 39．（2025·安徽阜阳·三模）如图，在正方形中，，点在正方形内部，且满足，连接，取，的中点，连接，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 题型七：利用四点共圆求最值 对角互补型:如图，若∠A+∠C=180∘ 或∠B+∠D=180∘ ,则A,B,C,D 四点共圆 同侧等角型：如图（2），若∠A=∠C,则A,B,C,D 四点共圆 40．如图，正方形的边长为，点是正方形外一动点，且点在的右侧，，为的中点，当运动时，线段的最大值为（    ） A． B． C． D． 41．（2023春•长丰县校级期中）如图，BD为边长为a的菱形ABCD的对角线，∠BAD＝60°，点M，N分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿AB，BD向终点B和D运动，连接DM和AN，DM和AN相交于点P，连接BP，则BP的最小值为 　　 ． 题型八：利用米勒定理求最值 已知点A,B是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM 上的一个动点，则当且仅当△ABP的外接圆与边OM相切于点P时，∠APB 最大. 证明：如图,在边OM上任取一点P′（不与P点重合）， 连接AP′ ,BP′,BP′与圆相交于点R,连接AR,  ∴∠APB=∠ARB>∠AP′B （利用三角形外角性质）, ∴当圆与OM相切时，∠APB 最大. 42．“已知，点A，B是边上不重合的两个定点，点C是边上的一个动点，当的外接圆与边相切于点C时，的值最大．”这是由德国数学家米勒提出的最大角问题，我们称之为米勒定理．已知矩形，，点E是射线上一点，点F是射线上的一动点．当时，则的值最大为（    ） A． B． C． D． 43.德国数学家米勒提出最大视角问题，这一问题一般描述的是：如图，已知点、是的边上的两个定点，点是边上的一个动点，当在何处时，最大？ 问题的答案是：当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大．人们称这一命题为米勒定理．在足球比赛中，球员在双方球门前的不同位置起脚射门，对球门的威胁是不同的，触球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高．如图为室内人制足球场示意图，设球场长大约为，宽大约为米，球门长大约为，在某场比赛中有一位球员欲在边线上的某点处射门，为使得张角最大，则大约为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 44．如图，已知点A、B的坐标分别是、，点C为x轴正半轴上一动点，当最大时，点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 45．综合与实践 【问题提出】 （1）如图，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙已跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，求证：． 【数学理解】 德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图，已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大，人们称这一命题为米勒定理． 【问题解决】 （2）如图，已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点，当的外接圆与轴相切于点时，最大，当最大时，求点的坐标． 题型九：利用阿氏圆求最值 模型：如图，已知点P是半径为r的⊙O上一动点，点A，B 为⊙O外两定点，且r=k⋅OB(0<k<1)，连接PA，PB ，则当“PA+k⋅PB”的值最小时，P 点的位置如何确定? 作法：①如图，将系数不为1的线段(PB) 两端点分别与圆心相连，即连接OP ； ②计算出线段与的长度比 ； ③在上取一点，连接，使得 ，即构造，则，即 ； ④将“”的最小值转化为“”的最小值，连接，与 交于点，利用“两点之间线段最短”转化为的长，点 即为所求. 巧记：计算 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造子母型相似三角形. 46．【新知探究】新定义：平面内两定点 A, B ，所有满足 k ( k 为定值)的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”， 【问题解决】如图，在△ABC 中，CB 4 ， AB 2AC ，则△ABC 面积的最大值为 ．    47.如图，在中，，，，以点为圆心，为半径作，分别交，于，两点，点是上一个动点，则的最小值为 ． 48．【问题呈现】 习题课上，老师给出了如下的题目：如图，在中，，，，点为平面上一动点且，求的最小值． 【思路点拨】 老师给出了提示：在线段上取一点，使得． （1）李华同学发现，连接后，可得到一对相似三角形． 请找到图中的相似三角形并证明； 请你根据李华的思路，求的最小值． 【新知引入】 老师告诉同学们，在图中，无论点在上如何运动，的值都不变．更一般地，若平面上一动点与两定点距离之比为定值时，那么动点在一个定圆上运动．这个定理由阿波罗尼奥斯发现，因此这个圆被称为“阿氏圆”．定义：满足的点的轨迹为阿氏圆． 【实践操作】 （2）如图所示，直线上有两点、，请用无刻度的直尺与圆规，从阿氏圆或阿氏圆中，选择一个作图，并说明选择的是哪一个．（不写作法，保留作图痕迹） 【思维拓展】 （3）如图，是的平分线，，请直接写出面积的最大值． 49．【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”． 【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？    第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP； 第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似∽（图2）； 第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）． 【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．    (1)的最小值是多少？ (2)请求出（1）条件下，点P的坐标． 50．【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中， ，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵， ∴ 证明过程缺失 ∴ ∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆中的9种最值问题 题型一：利用圆的性质求最值 题型二：利用将军饮马模型求最值 题型三：利用圆外点到圆的距离求最值 题型四：利用直线与圆的特殊位置关系求最值 题型五：利用定点定长构造圆求最值 题型六：利用定弦定角构造圆求最值 题型七：利用四点共圆求最值 题型八：利用米勒定理求最值 题型九：利用阿氏圆求最值 题型一：利用圆的性质求最值 如图，过圆内一定点M的所有弦中，直径AB最长，与直径垂直的弦CD最短. 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（10，0），直线y＝kx+8与⊙O交于B、C两点，则弦BC长的最小值（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 【解答】解：如图，∵y＝kx+8必过点D（0，8）， ∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦， ∵点D的坐标是（0，8）， ∴OD＝8， ∵以原点O为圆心的圆过点A（10，0）， ∴圆的半径为10， ∴OB＝13， ∴BD＝6， ∴BC＝2BD＝12， ∴BC的长的最小值为12； 故选C． 2．如图，在中，直径，弦，点是的中点，过点作于点，若点、在上运动（点、与点、不重合），则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【详解】如图所示，延长CF交于T，连接DT， ∵AB是直径，AB⊥CT， ∴CF=FT， ∵DE=EC， ∴， 当DT是直径时，EF的值最大， 此时，EF最大值为， 故选：B． 3．（24-25九年级上·安徽淮南·月考）如图，是的直径，，弦是上的动点，取的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为以为直径的，连接， ∵， ∴当点在的延长线上时，的值最大， ∵是的直径，，弦， ∴， ∴是等边三角形， ， 取的中点，连接， 则，， 在中，， ， ， ∴的最大值为， 故选：B． 4．（2025•滁州校级模拟）等腰直角三角形ABC中，已知AC＝4，点O是斜边AB上的动点，以点O为圆心，BO为半径画圆交AC边于点P，交AB边于点Q，则AQ的最大值为（　　） A．4 B． C． D． 【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝4， ∴AC＝BC＝4，， 在圆O中，OB＝OQ＝OP， ∴若要AQ最大，则BQ最小，即半径最小， 此时OP⊥AC，则OP⊥BC， ∴△OAP∽△BAC， ∴， 设AQ＝x，则半径， ∴， 解得：， 故选：B． 5．（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与轴交于两点，点为上一动点，于点，则点在上运动过程中，线段的长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，连接，过点作于点，连接． ， ． 在中， ，， ，， ，，． ， ． ， ， ，． ， ， 点在以为直径的上运动， ． 当点在的延长线上时，的长最小，最小值为． 故选：B． 6．如图，是的直径，，，点D是弦上的一个动点，那么的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【详解】解：作，于E，于M，连接． ∵是的直径， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，的值最小，最小值为， ∵， ∴， ∵， ∴ 在中，， ∴ ∴ 由勾股定理得，， ∴的最小值为． 故选：B． 7．如图，的直径，弦，且弦在圆上滑动（的长度不变，点C、D与点A、B不重合），过点C作于点P，若M是的中点，则的最大值是 ． 【答案】4 【详解】解：延长交于点K，连接， ∵， ∴， ∵M是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最大时，的值最大， 即当为直径时，的值最大， ∵的直径， ∴， 故答案为：4． 题型二：利用将军饮马模型求最值 已知C,D为⊙O上直径同侧两点，P为直径AB上一动点，求PC+PD 的最小值.如图，作点D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点P′，则P′D=P′D′，故当点P 与点P′重合时，PC+PD取得最小值，最小值为CD′ 的长. 8．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，在矩形中，，，点，分别是，边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【详解】解：，点为的中点， ， 点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧（一部分）， 作关于的对称点，连接，交于，当为与的交点时，的值最小，最小值为的长， ，， ， 在中，， ， 的最小值为， 故选：A． 9．如图，为的直径，A、B是上的两点，过A作于点C，过B作于点D， P为上的任意一点，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵过A作于点C，过B作于点D， ∴，， ∵，A、B是上的两点， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴ ， 延长与⊙O相交于点G， ∵MN为的直径，， ∴，， ∴ ， 当点P在直线上时，取最小值，且最小值， 过G作于点H， 又∵， ∴，， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴ ， ∴ ， ∴的最小值是：， 故选：B． 10．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，在半圆中，直径，是半圆上两点，是直径上一点，若，，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，将半圆补充成一个整圆，过点作的垂线交于点，连接交于点，连接，延长交于点，连接， ∵为直径，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴最小值为的长度， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 11．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，矩形中，，点在边上且，点为直线上一动点，连接，将沿着折痕折叠，得到，动点在边上，连接，则最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴点在以点为圆心、为半径的圆上， 如图，作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点， 则， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即最小值是， 故选：． 12．（2025•宣城一模）如图，矩形ABCD的边AB＝8，AD＝6，M为BC的中点，P是矩形内部一动点，且满足∠ADP＝∠PAB，N为边CD上的一个动点，连接PN，MN，则PN+MN的最小值为 　　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∵∠ADP＝∠PAB， ∴∠ADP+∠PAD＝∠PAB+∠PAD＝∠BAD＝90°， ∴点P的运动路线为以AD为直径的圆， 作以AD为直径的⊙O，作点M关于直线DC的对称点M′，连接OM′交⊙O于点P′，连接M′N，OP， 则OP＝OP′＝3，M′N＝MN， ∴PN+MN＝PN+M′N＝PN+M′N+OP﹣OP′≥OM′﹣OP′＝OM′﹣3， ∴PN+MN的最小值为OM′﹣3； 连接OM， ∵四边形ABCD是矩形，点O是AD的中点，点M为BC的中点， ∴ODADBC＝CM＝3，OD∥CM，∠ODC＝90°， ∴四边形OMCD是矩形， ∴OM＝DC＝AB＝8， ∵点M关于直线DC的对称点M′， ∴M′M＝2MC＝6， 在Rt△M′OM中， 由勾股定理，得OM′， ∴PN+MN的最小值为OM′﹣3＝10﹣3＝7， 故答案为：7． 题型三：利用圆外点到圆的距离求最值 1.已知直线及圆上一动点求最值，想到过圆心作直线的垂线. 2.已知圆外一定点及圆上一动点求最值，想到连接定点与圆心. 13．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且与轴分别交于两点，若点、点关于原点对称，则的最大值为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【详解】解：连接，如图： ∵点A、点B关于原点O对称， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴，即， 当取得最大时，有最大值， ∵点P是上的任意一点， ∴当点P在的延长线上与交于点P时，最大，如图： ∵的半径为2，圆心M的坐标为， ∴， ∴的最大值为14． 故选：C． 14．（2022•萧县校级开学）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A和点B分别为y轴和x轴上的动点，且AB＝4，点C为线段AB的中点，已知点P（4，3），则PC+CO的最大值为（　　） A．7 B．9 C．10 D．11 【解答】解：∵∠AOB＝90°，点C为线段AB的中点， ∴， ∴点C在以O为圆心2为半径的圆上运动． 如图，连接PO并延长交⊙O于点C， 这时，PC最大值＝PO+OC7， ∴PC+CO的最大值＝7+2＝9． 故选：B． 15．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， 设的中点为，连接，当点在与的交点处时，最短，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 16．（2025·安徽芜湖·一模）如图，在矩形中，，，E是矩形内部的一个动点，且，则线段最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．6 【答案】A 【详解】解：如图， ，， ， 在以为直径的上， 连接交圆于，当与重合时，线段的长最小， ， ， ， ， ， 线段的最小值为8． 故选答案为：A． 17．（2023•明光市二模）如图，正方形ABCD的边长为2，点P是射线AD上一个动点，点Q在BP上，且满足∠BCQ＝∠BPC，则线段CQ的最小值为（　　） A． B．1 C． D． 【解答】解：如图，连接AQ， ∵∠BCQ＝∠BPC，且∠CBQ＝∠PBC， ∴△BCQ∽△BPC， ∴BQ：BC＝BC：BP， ∵AB＝BC， ∴BQ：AB＝AB：BP， ∵∠ABQ＝∠PBA， ∴△ABQ∽△PBA， ∴∠AQB＝∠BAP＝90°， ∴点Q的运动轨迹是在以AB为直径的圆上， 如图，取AB中点O，连接OC交⊙O于Q，则CQ此时最小， ∵BC＝2， ∴OB＝1， ∴OC， ∵OQ＝1， ∴CQ1． 故选：C． 18．（2024•埇桥区校级二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E是BC右侧一点且CE⊥BE，点G是AB上一点，点F是DE的中点，若∠DGE＝90°，则FG的最大值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵∠DGE＝90°，点F是DE的中点， ∴， ∵CE⊥BE， ∴∠BEC＝90°， ∴点E在以BC为直径的⊙H上，如图， ∴当D、H、E在同一直线上时，DE有最大值，即FG的最大值为， ∵在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6， ∴CD＝8，， ∴，， FG的最大值为， 故选：A． 19．（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）如图，矩形中，，，为边上一点（不与、重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点，则的最小值是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：矩形， ，， 如图，取中点，再取中点，连接，， ，， ，， 点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆弧， 点为的中点， ， 点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧， 当点、、共线时，值最小， 连接， 最小为， 故选：A． 20．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，C，D是半径为2的上两动点，且，P为弦的中点，Q为线段的中点．当C，D两点在圆上运动时，的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】解：如图，过点O作于点E，连接， 由题意可知，，， ， 是等腰直角三角形， ∵P为弦的中点， ， ∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 令，则；令，则，解得：， ，， ， 是等腰直角三角形， ∵Q为线段的中点， ， 由三角形三边关系得，则当C、D、P移动到时，此时三点共线，取最小值． 故选A． 21．（2024·安徽·模拟预测）如图，是正方形的边的中点，是正方形内一点，连接，将线段以为中心逆时针旋转得到线段．连接．若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解，如图，连接，将以为中心，逆时针旋转，点的对应点为， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 如图，当、、三点共线时，的值最小， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ， 由旋转得：， ， ， 的值最小为． 故选：B． 22．如图，抛物线与轴交于、两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（     ） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【详解】解：连接， 抛物线关于轴对称， ， ， 是的中位线， ， 当长最大时，长最大， 当过圆心时，长最大， 当时， ， 的坐标是， ， 的坐标是， ， ， 的半径是， ， ， ， 的最大值是 故选：B． 23．（2025·安徽芜湖·二模）如图，M是等腰直角三角形的边的中点，P是平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点M，P之间的距离为1，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．3 D． 【答案】C 【详解】解：连接，，将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，， 由旋转性质得，，，即， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， 则点Q在以H为圆心，1为半径的圆上运动， ∵， ∴当M、Q、H共线时，最小，最小值为， ∵点M是等腰直角三角形边的中点，， ∴，， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 24.如图，在中，，，．的半径为1，点P是边上的动点，过点P作的一条切线，点D为切点，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接，，如图所示： 为的一条切线， ， ， 为半径是定值， 当最小时，取得最小值， 由垂线段最短可知，当时，最小， ，，． ， ， ，解得， ， 故答案为：． 25．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，动点 P 在正方形内部，E 为边的中点，且． （1）当 时，的度数为 ； （2）点D到点P的最小距离为 ． 【答案】 /65度 【详解】解：E 为边的中点，， ， ∴动点P在以E为圆心、以1为半径的半圆(不包括点)上，如图， ， 当时,， 连接，交半圆E于点Q，则当点P运动到点Q处时，点D到点P的距离最小为的长度， ， 由勾股定理，得， . 26．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）数学兴趣小组开展探究活动，针对九年级上册数学教材习题24.1的第14题进行了深入研究． 【书本原题】如图，是上的四个点，．判断的形状，并证明你的结论． 小红证明如下： 如图1，在中，， …… （1）请你帮他完成后面的证明过程． 【深入探究】 （2）小红在完成此题后，他发现线段，他的发现正确吗？试说明理由． 【应用实践】 （3）如图2，若点是的中点，点在上移动的过程中，小红发现线段的长度一定存在最小值．若的半径为2，请你求出线段的最小值． 【详解】解：（1）是等边三角形，理由如下： 在中，， ，， ， ∴是等边三角形． （2），理由如下： 在上截取，如图： ， 为等边三角形， ，， 在和中， ， ， ，即． （3）∵点是的中点， 点在上移动过程中，点在以为直径的圆上运动，设圆心为，则当点B、M、F共线，且点在线段上时，最小， 如图，连接，过点作于点，过点作于点， 等边是的内接正三角形， 平分，平分， ， 的半径为2， ， ，，， ，，， ， 在Rt中，， ． 题型四：利用直线与圆的特殊位置关系求最值 已知动点与定直线求最值，动点的轨迹是圆，想到利用直线与圆的位置关系，通常在相切时取得最值. 27．（2023•庐江县模拟）如图，AB，AC分别是半圆O的直径和弦，AB＝5，AC＝4，D是上的一个动点， 连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，则BE的最小值是（　　） A．2 B．3 C．2 D．3 【解答】解：取AC中点M，连接MB，EM，BC， ∵AB是半⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC3， ∵MCAC4＝2， ∴MB， ∵CE⊥AD， ∴∠AEC＝90°， ∴MEAC＝2， ∵ME+BE≥BM， ∴BE≥MB﹣ME2， ∴BE的最小值是2． 故选：A． 28．在中，，D，E分别是的中点，若等腰绕点A逆时针旋转，得到等腰，记直线与的交点为P，则点P到所在直线的距离的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作，交所在直线于点G， ∵在以A为圆心，为半径的圆上， 当所在直线与⊙A相切时，直线与的交点P到直线的距离最大， 此时四边形是正方形，， 则， 故，， 故点P到所在直线的距离的最大值为：， 故答案为：． 29．（2020·安徽合肥·一模）如图所示，已知矩形ABCD，AB=4，AD=3，点E为边DC上不与端点重合的一个动点，连接BE，将BCE沿BE翻折得到BEF，连接AF并延长交CD于点G，则线段CG的最大值是(     )    A．1 B．1.5 C．4- D．4- 【答案】D 【详解】由图可知：DG最小时CG最大，故当∠GAD最小（∠GAB最大）时，CG取最大值， ∵F在以B为圆心，BC为半径的圆上， ∴AF与圆相切时，∠GAB最大， 即AF⊥BF，此时点G、E重合， ∵AB∥CD， ∴∠BAF=∠AED， ∵∠AFB=∠D=90°，BF=BC=AD, ∴△ABF≌△AED， ∴AE=AB=4， ∴DE=， ∴CE=CG=, 故选：D.    30．如图，在矩形中，，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到；当射线交线段于点P时，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，的运动轨迹为为圆心为半径的圆， 四边形是矩形， ， ， ， ， 与相切， 当取得最大值时，取得最大值， 如上图，当与相切时，取得最大值， 此时与重合， 设， ， 由翻折得：， ， ， ， 在中 ， 解得：， 的最大值为； 故答案为：． 题型五：利用定点定长构造圆求最值 已知定点和定长，想到动点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆. 如图，动点P到定点O的距离为定值d，则点P的轨迹为以点O 为圆心，d 为半径的圆. 31．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题知，点C为平面内一动点，，即点C在以点B为圆心，以为半径的圆上， 在轴负半轴取点，连接，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则当取得最大值时，取得最大值， 连接并延长，交于点， 此时取得最大值， 在中，， ∴， 所以的最大值为：． 故选D． 32．如图，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，4），点C为坐标平面内一动点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求过圆内一点的最长弦、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论． 【详解】解：如图， ∵点C为坐标平面内一点，BC＝2， ∴C在⊙B上，且半径为2， 取OD＝OA＝4，连接CD， ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OM＝CD， 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB＝OD＝4，∠BOD＝90°， ∴BD＝4， ∴CD＝4+2， ∴OM＝CD＝2+1，即OM的最大值为2+1； 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点． 33．（2025·安徽芜湖·二模）如图，在四边形中，，连接，若，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，取中点，绕点逆时针旋转至，连接， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点在以点为圆心，长为直径的圆上，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，有最小值， 设，则，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 故选：． 34．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．则线段的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得点在以点为圆心，为半径的上， 在轴的负半轴上取点，连接， 分别过点和作，，垂足分别为，， ， ， ， ， 即， ， ， ， 当取得最大值时，取得最大值， 当、、三点共线，且点在上时，取得最大值， 中，， ， ． 故选：． 35．（2023·安徽宣城·二模）如图，在中，，过点作，且，连接，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，作的外接圆，过点作交延长线于点，连接， 则，， 由题意得，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当三点共线时，有最大值． 故选：A． 题型六：利用定弦定角构造圆求最值 已知定弦和弦所对的角为定值，想到动点的轨迹是以定直线为弦的圆. 固定线段AB所对动角∠P为定值,则点P运动轨迹为过A,B,P 三点的圆 原理:弦AB 所对的同侧圆周角恒相等 备注：点P 在优弧、劣弧上运动皆可 36．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（　　） A．6 B．3 C．24 D．44 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ABP+∠PBC＝90°， ∵∠PBC＝∠PAB， ∴∠PAB+∠PBA＝90°， ∴∠APB＝90°， ∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，连接OC交⊙O于P，此时PC最小， ∵OC2， ∴PC的最小值为24， 故选：C． 37．（2023秋•太和县期末）如图，P是边长为1的正方形ABCD内的一个动点，且满足∠PBC+∠PDC＝45°，则CP的最小值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°， 在凹四边形BCDP中， ∵∠BCD＝90°，∠PBC+∠PDC＝45°， ∴∠BPC+∠CPD＝360°﹣∠BCD﹣（∠PBC+∠PDC）＝225°， ∴∠BPD＝360°﹣（∠BPC+∠CPD）＝135°， 得点P在运动过程中，使得∠BPD＝135°， 即点P在正方形ABCD内，以A为圆心，AB为半径的圆弧上， 由图可得AP+CP≥AC， 当点A、P、C三点共线时，CP取得最小值，最小值为AC﹣AP， 在Rt△ABC中， ∵AB＝BC＝1， ∴AC， ∵AP＝AB＝1， ∴CP＝AC﹣AP． 故选：D． 38．（2022•巢湖市二模）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段PD的最小值为（　　） A．22 B． C．4 D．2 【解答】解：如图，在BE的上方，作△OEB，使得OE＝OB，∠EOB＝120°，连接OD，过点O作OQ⊥BE于Q，OJ⊥AD于J． ∵∠BPE∠EOB， ∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OE为半径的⊙O， ∴当点P落在线段OD上时，DP的值最小， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∵AB＝3，AE：EB＝1：2， ∴BE＝2， ∵OE＝OB，∠EOB＝120°，OQ⊥EB， ∴EQ＝BQ，∠EOQ＝∠BOQ＝60°， ∴OQ＝1，OE＝2， ∵OJ⊥AD，OQ⊥AB， ∴∠A＝∠AJO＝∠AQO＝90°， ∴四边形AQOJ是矩形， ∴AJ＝OQ＝1， JO＝AQ＝2， ∵AD＝5， ∴DJ＝AD﹣AJ＝4， ∴OD2， ∴PD的最小值＝OD﹣OP＝22， 故选：A． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/28 11:31:36；用户：初中数学；邮箱：15055239005；学号：52628688 39．（2025·安徽阜阳·三模）如图，在正方形中，，点在正方形内部，且满足，连接，取，的中点，连接，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】解：连接， ∵分别是，的中点， ∴， ∵， ∴点共圆，圆心为的中点，记为， 当三点共线时，最小，此时最小， 连接，交于点， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 题型七：利用四点共圆求最值 对角互补型:如图，若∠A+∠C=180∘ 或∠B+∠D=180∘ ,则A,B,C,D 四点共圆 同侧等角型：如图（2），若∠A=∠C,则A,B,C,D 四点共圆 40．如图，正方形的边长为，点是正方形外一动点，且点在的右侧，，为的中点，当运动时，线段的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，连接、交于点，连接、． ， 、、、四点共圆， 正方形的边长为， ， 为的中点，是的中点， ， ， 当点在线段上时，， 即线段的最大值为． 故选：D． 41．（2023春•长丰县校级期中）如图，BD为边长为a的菱形ABCD的对角线，∠BAD＝60°，点M，N分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿AB，BD向终点B和D运动，连接DM和AN，DM和AN相交于点P，连接BP，则BP的最小值为 　　 ． 【解答】解：∵菱形ABCD中∠BAD＝60°， ∴△ABD为等边三角形，AB＝AD， ∴AB＝AD＝BD＝a，∠DAM＝∠ABN＝60°， ∵点M和点N的时间和速度相同， ∴AM＝BN， ∴△DAM≌△ABN（SAS）， ∴∠ADM＝∠BAN， ∵∠DAP+∠BAN＝∠DAM＝60°， ∴∠PDA+∠PAD＝60°， ∴∠APD＝120°， 延长CD至点E，使得ED＝CD，连接AE，则△AED是等边三角形， ∴AE＝ED＝AD＝a，∠EAD＝∠EDA＝∠AED＝60°， ∴∠DEA+∠APD＝180°，∠EAD+∠DAP+∠EDA+∠ADP＝180°， ∴点A、P、D、E四点共圆，记为⊙O， 连接BO交⊙O于点P，此时BP最小， 过点O作OH⊥ED于点H，连接OD，则∠EOD＝2∠EAD＝120°，∠OHD＝90°，DHEDa， ∴∠HDO＝30°， ∴r＝OD，∠ODB＝∠EDA+∠ADB﹣∠ODE＝60°+60°﹣30°＝90°， ∴OB， ∴BP最小值＝OB﹣r， 故答案为：． 题型八：利用米勒定理求最值 已知点A,B是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM 上的一个动点，则当且仅当△ABP的外接圆与边OM相切于点P时，∠APB 最大. 证明：如图,在边OM上任取一点P′（不与P点重合）， 连接AP′ ,BP′,BP′与圆相交于点R,连接AR,  ∴∠APB=∠ARB>∠AP′B （利用三角形外角性质）, ∴当圆与OM相切时，∠APB 最大. 42．“已知，点A，B是边上不重合的两个定点，点C是边上的一个动点，当的外接圆与边相切于点C时，的值最大．”这是由德国数学家米勒提出的最大角问题，我们称之为米勒定理．已知矩形，，点E是射线上一点，点F是射线上的一动点．当时，则的值最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由米勒定理可知，最大时，的外接圆与射线相切于点，如图， 过点作，则，， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵与射线相切于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，，则， ∴，则， ∴，则， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即：的值最大为， 故选：A． 43.德国数学家米勒提出最大视角问题，这一问题一般描述的是：如图，已知点、是的边上的两个定点，点是边上的一个动点，当在何处时，最大？ 问题的答案是：当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大．人们称这一命题为米勒定理．在足球比赛中，球员在双方球门前的不同位置起脚射门，对球门的威胁是不同的，触球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高．如图为室内人制足球场示意图，设球场长大约为，宽大约为米，球门长大约为，在某场比赛中有一位球员欲在边线上的某点处射门，为使得张角最大，则大约为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【详解】根据米勒定理可知，当的外切圆相切时，最大，如图，设的外接圆的圆心为，过点作，垂足分别为，连接，当与点重合时，最大 ∴四边形是矩形，则，即张角最大时，则 ∵宽大约为米，球门长大约为， 根据对称性可得， ∴， 在中， ∴ 即大约为 故选：C． 44．如图，已知点A、B的坐标分别是、，点C为x轴正半轴上一动点，当最大时，点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点、作，点与轴相切于点时，最大， 连接、、，作轴于，如图， 点、的坐标分别是、， ，， ， ， ， 与轴相切于点， 轴， 四边形为矩形， ， ， 在中，， 点坐标为，． 故选：B． 45．综合与实践 【问题提出】 （1）如图，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙已跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，求证：． 【数学理解】 德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图，已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大，人们称这一命题为米勒定理． 【问题解决】 （2）如图，已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点，当的外接圆与轴相切于点时，最大，当最大时，求点的坐标． 【详解】（） ∴， ∵， ∴； （）如图， 连接，，过点作交轴于点，连接， ∴，， ∵与轴相切， ∴轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型九：利用阿氏圆求最值 模型：如图，已知点P是半径为r的⊙O上一动点，点A，B 为⊙O外两定点，且r=k⋅OB(0<k<1)，连接PA，PB ，则当“PA+k⋅PB”的值最小时，P 点的位置如何确定? 作法：①如图，将系数不为1的线段(PB) 两端点分别与圆心相连，即连接OP ； ②计算出线段与的长度比 ； ③在上取一点，连接，使得 ，即构造，则，即 ； ④将“”的最小值转化为“”的最小值，连接，与 交于点，利用“两点之间线段最短”转化为的长，点 即为所求. 巧记：计算 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造子母型相似三角形. 46．【新知探究】新定义：平面内两定点 A, B ，所有满足 k ( k 为定值)的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”， 【问题解决】如图，在△ABC 中，CB 4 ， AB 2AC ，则△ABC 面积的最大值为 ．    【答案】 【详解】解：以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作∠CAP=∠ABC，AP与BC的延长线交于点P， ∵∠APC=∠BPA， AB 2AC ∴△APC∽△BPA， ∴ ∴BP=2AP，CP=AP ∵BP－CP=BC=4 ∴2AP－AP=4 解得：AP= ∴BP=，CP=，即点P为定点 ∴点A的轨迹为以点P为圆心，为半径的圆上，如下图所示，过点P作BC的垂线，交圆P于点A1，此时A1到BC的距离最大，即△ABC的面积最大 S△A1BC=BC·A1P=×4×= 即△ABC面积的最大值为 故答案为：．    47.如图，在中，，，，以点为圆心，为半径作，分别交，于，两点，点是上一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：在上截取，连接，，， ，， ， ，， ， ， ， ， 当、、三点共线时，的值最小， 在中，，， ， 的最小值， 故答案为：． 48．【问题呈现】 习题课上，老师给出了如下的题目：如图，在中，，，，点为平面上一动点且，求的最小值． 【思路点拨】 老师给出了提示：在线段上取一点，使得． （1）李华同学发现，连接后，可得到一对相似三角形． 请找到图中的相似三角形并证明； 请你根据李华的思路，求的最小值． 【新知引入】 老师告诉同学们，在图中，无论点在上如何运动，的值都不变．更一般地，若平面上一动点与两定点距离之比为定值时，那么动点在一个定圆上运动．这个定理由阿波罗尼奥斯发现，因此这个圆被称为“阿氏圆”．定义：满足的点的轨迹为阿氏圆． 【实践操作】 （2）如图所示，直线上有两点、，请用无刻度的直尺与圆规，从阿氏圆或阿氏圆中，选择一个作图，并说明选择的是哪一个．（不写作法，保留作图痕迹） 【思维拓展】 （3）如图，是的平分线，，请直接写出面积的最大值． 【详解】解：（1）， 证明：，， ， 又， ； 如图，连接， ， ， ， ， ，，， ， ， ，即， 故的最小值为； （2）作阿氏圆如图所示： （3）解：过点作，垂足为，作∠的外角平分线交射线于点，取中点，连接， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是外角平分线， 同理可证明， ∴， ∴ ∵中点， ∴为定点且， ∵平分，平分， ∴， ∴点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 过点作于点， ∵， ∴当点重合时，面积有最大值，面积的最大值为． 49．【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”． 【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？    第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP； 第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似∽（图2）； 第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）． 【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．    (1)的最小值是多少？ (2)请求出（1）条件下，点P的坐标． 【详解】（1）解：如图，在x轴上取点，连接，    ∵点，点， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点P在上时，取得最小值， ∴， 故最小值为； （2）∵，， ∴设直线的解析式为，将点代入得： ，解得， ∴， 设， ∵半径为3， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴ ． 50．【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中， ，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵， ∴ 证明过程缺失 ∴ ∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 【详解】解：模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． ∴， ∴当A、P、M三点共线时最小，如图， ∵， 此时． 故答案为：； 模型探究：证明：∵， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 模型应用：解：延长至点E使，连接，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴当点E，P，B在一条直线上时，最短为线段， ∴的最小值． ∴的最小值为13． 故答案为：13． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $