专题7.1 复数的概念（高效培优讲义）数学人教A版高一必修第二册

专题7.1 复数的概念 教学目标 1.理解复数的基本概念（虚数单位i、复数、实部、虚部），掌握复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R)；能区分实数、虚数、纯虚数，掌握其判定条件；理解复数相等的充要条件并能应用求解简单问题。 2.虚数单位i的引入及规定（i^2=-1，实数与i的运算律）； 3.实数、虚数、纯虚数的分类判定条件； 4.复数相等充要条件的应用前提（必须将复数化为标准代数形式，且a,b,c,d∈R）； 教学重难点 1.重点 复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R})及实部、虚部的识别； 2.难点 纯虚数的判定条件（a=0且b≠0），避免忽略b≠0的易错点； 知识点01 复数的基本概念 1、虚数单位 数叫倣虚数单位，它的平方等于，即． 知识点诠释： （1）是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； （2）可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． 2、复数的摡念 形如的数叫复数，记作：； 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 注意：复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据． 3、复数的分类 对于复数 若，则为实数，若，则为虚数，若且，则为纯虚数． 分类如下： （） 用集合表示如下图： 4、复数集与其它数集之间的关系 ⊂⊂⊂⊂C（其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，C为复数集．） 5、共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．通常记复数的共轭复数为． 【即学即练】 1．已知复数，． (1)若z为实数，求x的值； (2)若z为虚数，求x的取值范围； (3)若z为纯虚数，求x的值． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）（2）（3）利用复数有相关概念列式求解. 【详解】（1）由z为实数，得，所以. （2）由z为虚数，得，解得， 所以x的取值范围为. （3）由z为纯虚数，得且，所以. 2．下列命题错误的是（   ） A．若，则 B． C．是纯虚数 D．若，则 【答案】ABD 【分析】利用复数不等比大小可判断A选项；利用虚数单位的性质可判断B选项；利用纯虚数的概念可判断C选项；取可判断D选项. 【详解】对于A选项，复数不能比大小，故A错误； 对于B选项，因为，故，故B错误； 对于C选项，因为，所以是纯虚数，故C正确； 对于D选项，当时，，故D错误. 故选：ABD. 知识点02 复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 如果，那么 特别地：． 知识点诠释： （1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样． 根据复数与相等的定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么就有（，）． （2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小． 【即学即练】 1．已知复数，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】； 【分析】利用复数相等的概念结合二次函数和三角函数的有界性求解即可. 【详解】因为 所以 所以 所以 又因为 所以 即 令 则 由二次函数的性质知： 该函数对称轴为： 所以当时，该函数取最大值为6， 当时，该函数取最小值 故答案为：. 2．已知复数z满足，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】先由复数几何意义得复数z所表示的点Z在圆上，再由复数的模长公式结合两点间距离公式得到取得最小值时取得最小值即可求解. 【详解】设，则，所以复数z所表示的点Z在圆上， 因为， 表示圆上的点与定点距离d的平方， 当该距离平方取得最小值时，取得最小值， 而该距离d的平方的最小值为， 所以的最小值为. 故答案为：. 知识点03 复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴： 如图所示，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴 知识点诠释：实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2、复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应． 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． 3、复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数． 设复平面内的点表示复数，向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． 复数集和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即 复数平面向量 这是复数的另一种几何意义． 4、复数的模 设，则向量的长度叫做复数的模，记作． 知识点诠释： ①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小． ②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等． 【即学即练】 1．在复平面内，复数，，，对应的点，，，在同一个圆周上，则实数（    ）． A． B． C．或2 D．或2 【答案】D 【分析】由题意得点，，，在以原点为圆心、半径为的圆上，进一步列方程即可求解. 【详解】在复平面内与题中所给四个复数对应的点依次为， 得到对应的以原点为始点的向量依次为， 则， 可得，同理可得， 因为复数，，，对应的点，，，在同一个圆周上， 所以这些点都在以原点为圆心、半径为的圆上， 所以，解得.故选：D. 2．已知，则下列说法中与“是纯虚数”不等价的是（    ） A． B． C．且 D．或，且 【答案】A 【分析】利用复数的基本概念依次判断即可. 【详解】对于选项A，设，R , 由可知，，即， 但是不能说明一定不等于零，所以不能说明是纯虚数； 对于选项B，设，R , 由可知，即，，所以可知是纯虚数； 对于选项C，复数实部为，虚部不等于，所以可知是纯虚数； 对于选项D，设，R , 由可知，，则， 又因为，所以，同理且，可知，，所以可知是纯虚数； 故选：A. 题型01 复数的概念 【典例1】已知复数的实部为2，其中，为实数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得. 【详解】∵复数的实部为2， ∴，即． 则， 当且仅当，即，时取等号， ∴所求最小值为． 故答案为：． 复数中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部． 【变式1】设，则下列命题中为真命题的序号是 . ①若，则； ②的充要条件为； ③复数为实数的充要条件为； ④若，则为纯虚数. 【答案】③ 【分析】利用实数可以比较大小，复数不能比较大小判断①；举反例判断结合充分，必要条件的定义可判断②；根据充分，必要条件的定义可判断③；举反例说明④. 【详解】对于①，实数可以比较大小，但复数不能比较大小，为实数，但与不一定为实数，如，，故①错误； 对于②，当，时，，故为的充分不必要条件，故②错误；； 对于③，设复数，若为实数，则；若，即，得；所以复数为实数的充要条件为，故③正确； 对于④，若，则为实数，故④错误. 故答案为：③ 【变式2】已知复数，.若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由复数相等列出方程，得到的表达式，结合换元法，由二次函数的值域，即可得到结果. 【详解】由两个复数相等可得， 即， 化简可得，其中， 当时，取得最小值，， 当时，取得最大值，， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式3】已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的实部为25 B．若，则的虚部为 C．若为实数，则 D．若为纯虚数，则 【答案】AC 【分析】应用复数定义分别判断实部及虚部判断A，B，再根据复数类型计算求参判断C，D. 【详解】若，则的实部为25，虚部为-5，A正确，B错误. 若为实数，则，得，C正确. 若为纯虚数，则得，D错误. 故选：AC. 题型02 复数相等的充要条件 【典例1】已知复数，，其中．若，求的值． 【答案】 【分析】先计算共轭复数，再根据复数相等求解即可. 【详解】由题意，, 因为， 所以， 解得. 复数相等问题的解题技巧 （1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． （2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． （3）如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的． 【变式1】已知，求实数的值. 【答案】 【分析】利用复数相等的性质建立方程，求解参数即可. 【详解】由， 得， 所以解得 【变式2】已知复数，，且，则λ的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用复数相等建立关系，再消去并结合二次函数求出范围即得. 【详解】由，得， 消去并整理得， 显然，当时，，当时，， 所以λ的取值范围是. 故答案为： 【变式3】已知复数，并且. (1)若为虚数，求的取值范围； (2)求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据复数相等和纯虚数条件，结合余弦函数性质可得； （2）根据复数相等列方程，消去，利用同角三角函数的平方关系，结合二次函数性质求解可得 【详解】（1）因为，所以， 又为虚数，所以，即，所以. （2），， 消去可得， . 题型03 复数与复平面内的点的关系 【典例1】已知为虚数单位，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若z为纯虚数，则复数z在复平面内对应的点在虚轴上 C．若复数z满足，则复数z的虚部为 D．若，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 【答案】BC 【分析】根据复数的性质逐一判断选项. 【详解】对于A，复数无法比大小，复数的模可以比大小，A选项错误； 对于B，纯虚数时，在复平面内对应的点在虚轴上，B选项正确； 对于C，，则， 复数的虚部为，C选项正确； 对于D，， 即复数在复平面内对应的点所构成的图形是一个半径为的圆， 则圆的面积，D选项错误. 故选：BC 利用复数与点的对应关系解题的步骤 （1）找对应关系：复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示，是解决此类问题的根据． （2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解． 【变式1】已知x为实数，复数． (1)当x为何值时，复数z的模最小？ (2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数的图象上，其中，，求的最小值及取得最小值时m，n的值． 【答案】(1) (2)的最小值为，，． 【分析】(1) 利用复数的模的计算公式，结合二次函数的性质求最值. (2) 先求出模最小时复数对应的点，代入函数得到关系式，再利用均值定理求最值. 【详解】（1）， 当且仅当时，复数z的模最小，为． （2）当复数z的模最小时，． 又点Z位于函数的图象上，所以． 又，，所以， 当且仅当时等号成立．又，，， 所以，．所以的最小值为， 此时，． 【变式2】在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义，构造方程得解. 【详解】∵复数对应的点在虚轴上，∴，∴或. 故选：A. 【变式3】在复平面内，复数对应的点为. (1)若为纯虚数，求的值； (2)设为坐标原点，为虚轴负半轴上任意一点，若向量与的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件得，再利用复数的分类，即可求解； （2）设，根据条件，利用向量的夹角公式，得，即可求解. 【详解】（1）由已知得， 为纯虚数，， 解得. （2）设，则， 又， 由，夹角为锐角得：，且与不共线， ， 解得且， 故的取值范围为. 题型04 复数的模及其应用 【典例1】已知复数. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由复数模长的计算可得； （2）由复数相等列出方程，得到的表达式，结合换元法，由二次函数的值域，即可得到结果. 【详解】（1）若，则，即， 解得. （2）由两个复数相等可得， 即， 化简可得，其中， 当时，取得最小值，， 当时，取得最大值，，所以的取值范围是. 复数模的计算 （1）计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． （2）设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解． 【变式1】已知复数. (1)若是实数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围； (3)若，求的值. 【答案】(1). (2). (3)或. 【分析】（1）先算出表达式，实数虚部是，让虚部对应式子为求. （2）已知形式，按条件列不等式组，分别解不等式，取交集得范围. （3）由模的值列等式，两边平方去掉根号，展开合并得方程，因式分解求解. 【详解】（1）， 因为是实数，所以，解得. （2）因为，所以 解得，即的取值范围为. （3）因为，所以， 化简得， 解得或. 【变式2】已知复数，． (1)若，，,对应的点在第四象限求的范围． (2)若， 求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由复数的几何意义，列不等式，即可求解； （2）有复数模的公式，得到，再结合基本不等式，即可求解的最大值. 【详解】（1）由题意知， 解得， 故实数的范围为 ． （2）， 所以， 所以， 故． 当且仅当， 所求最大值为． 【变式3】已知复数在复平面内对应的点位于第四象限． (1)若的实部与虚部之和为7，且，求； (2)若，且的实部不为0，讨论在复平面内对应的点位于第几象限． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）设，由题意得出解出即可求出复数； （2）设，由题意可得出之间的关系，在对讨论即可判断对应的点位于第几象限. 【详解】（1）依题意可设（a，b∈R，a>0，b<0）， 因为z的实部与虚部之和为7，且，所以 解得a=12，b=-5，故 （2）依题意可设 因为 （a>0，b<0）， 所以，且． 因为，所以， 所以 ． 当时，，在复平面内对应的点位于第三象限； 当时，，在复平面内对应的点位于第四象限． 题型05 复数模的几何意义 【典例1】已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为2，且是实数. (1)求； (2)设，在复平面内的对应点分别为，，求以，为邻边的平行四边形的面积.（为坐标原点） 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）先利用复数除法运算和乘法运算，求解，然后设出，再根据为实数求解即可； （2）先根据题（1）条件求出、两点坐标，再求解，然后根据，利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 设，所以， 因为为实数，所以即，所以， （2）因为，， 所以对应点坐标，， 所以，， 因为，， 所以、与轴所成角相等，设为， 所以，，， 所以， 所以. 复数模的几何意义可以延伸为表示复数对应的点与原点之间的距离，从而可以用数形结合解决有关的问题，考查直观想象素养． 【变式1】已知i为虚数单位，复数 (1)若z是实数，求m的值； (2)若z是纯虚数，求m的值； (3)若复数z与在复平面上对应的向量分别为 ，且的夹角为钝角，求m的取值范围. 【答案】(1)3或1 (2)5 (3)或，且. 【分析】（1）由复数为实数，则虚部为零求解； （2）由复数为纯虚数，则实部为零，虚部不为零求解； （3）根据题意，由，且求解. 【详解】（1）因为 是实数， 所以，解得或； （2）因为 是纯虚数， 所以，解得； （3）因为复数z与在复平面上对应的向量分别为 ，且的夹角为钝角， 所以，且， 解得或，且. 【变式2】已知复数 (1)若是虚数，求m的取值范围． (2)若复平面内复数对应的点位于第四象限，求m的取值范围． (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据虚数可得虚部非零，从而可求范围； （2）根据点在第四象限可得实部为正，虚部为负，从而可得范围； （3）根据复数相等结合消参可得，由平方关系和正弦函数的性质可求参数的范围. 【详解】（1）由题意，要使是虚数，则，解得：. （2）由题意，要使点位于第四象限，则需满足，解得：. （3）由得， 由复数相等的定义知，必有， 因为，所以 故的取值范围为 【变式3】已知复数，z在复平面内对应的点记为M，则下列结论正确的是（ ） A．若z为纯虚数，则 B．若，则 C．若点M在第一象限，则 D．若为z的共轭复数且，则 【答案】AB 【分析】根据纯虚数、复数的模、共轭复数的定义以及复平面内点所在象限的特征，分别对各选项进行分析判断. 【详解】对于A选项， 已知为纯虚数，则，则，A选项正确. 对于B选项，已知，即，这说明是一个非正实数，即， 由可得，此时，满足条件，所以若，则，B选项正确. 对于C选项，若点在第一象限，则，得，所以若点在第一象限，则，而不是，C选项错误. 对于D选项，已知，则，即，所以，解得，而不是，D选项错误. 故选：AB. 题型06 复数的轨迹与最值问题 【典例1】已知是虚数单位，若，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，由已知得在复平面的轨迹是以为圆心，为半径的圆，利用圆心到原点的距离加减半径可得答案. 【详解】设，由得， 可得在复平面的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以，即. 故答案为：. 利用几何意义进行转化． 【变式1】设，在复平面内z对应的点为Z，则下列结论中满足条件的点Z的集合对应的图形正确的是（    ）． A．若，则点Z的集合是圆 B．若，则点Z的集合是两个圆所夹的圆环（包括边界） C．若，则点Z的集合是y轴所在的直线 D．若，则点Z的集合是一、三象限角平分线 【答案】ABC 【分析】根据各项复数模的关系式，确定对应点轨迹，即可得. 【详解】A：表示以原点为圆心，1为半径的圆，对； B：表示以原点为圆心，半径分别为1、2的两个圆所成圆环（含边界），对； C：表示到两点距离相等的点，即为轴所在直线，对； D：表示到两点距离相等的点，即为二、四象限的角平分线，错. 故选：ABC 【变式2】已知复数z满足，则的最大值是 . 【答案】 【分析】根据复数模的几何意义，将问题化为求点与点的距离，即可得. 【详解】由的几何意义知，对应点在以点与点为端点的线段上， 由的几何意义知，对应点到点的距离， 所以所求最大值为点与点的距离，由勾股定理得. 故答案为： 【变式3】当复数z满足时，则的最小值是 . 【答案】 【分析】利用复数的模的几何意义求解. 【详解】复数z满足， 复数z到点的距离为1， 又的几何意义是复数z对应的点与的距离， 所求的最小值为：. 故答案为：. 1．复数满足，则 . 【答案】 【分析】先设复数，再根据复数相等的定义可得. 【详解】设，则. 由，所以，根据复数相等的定义可得， ，解得，即. 故答案为：. 2．已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（　　） A．z的共轭复数为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 【答案】BD 【分析】先将的分母实数化，再求出的共轭复数，虚部，模长，点的坐标. 【详解】， ，故选项A错误；的虚部为，故选项B正确； ，故选项C错误； 在复平面内对应的点为，在第一象限，故选项D正确. 故选：BD. 3．已知复数（），则下列说法正确的有（   ） A．复数z的实部为3 B．复数z的共轭复数为 C． D．若z为实数，则 【答案】ABD 【分析】由复数的概念即可判断ABD，求复数的模即可判断C. 【详解】，则实部为3，故A正确；共轭复数为，故B正确； 当z为实数时，故D正确；，故C错误. 故选：ABD． 4．已知复数在复平面内对应的向量为（为坐标原点），在复平面内对应的向量为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出的坐标，利用数量积的坐标式，结合二倍角的正弦公式及与的关系，换元后化成二次函数即可求出最大值. 【详解】依题意，，则， 令，则，， 因此，则当时，取得最大值为2， 故的最大值为 2. 故选：D 5．如果复数满足，那么的最大值是 . 【答案】 【分析】首先将看作是点到两点距离之和为3，然后判断点的轨迹，然后将看作是点到点的距离，最后根据图象即可计算的最大值. 【详解】复数满足， 将其可以看作是点到两点距离之和为3. 因为，所以点的轨迹为线段. 而表示的是点到点的距离， 要求其距离的最大值，则根据图象可知点到点的距离最大， 即. 故答案为：. 6．已知复数 (1)若 ，求角θ； (2)复数对应的向量分别是，若与的夹角为锐角，求θ的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据共轭复数及复数相等的概念列出方程求解即可； （2）由复数得出对应的向量，利用向量夹角公式得出不等式求解，注意检验向量共线时即可得解. 【详解】（1）因为 , 所以， 又，所以. （2）由题意，， 若与的夹角为锐角， 则， 因为，所以， 所以，即， 当时，，即， 解得，此时与的夹角为， 综上，θ的取值范围 7．已知，为虚数单位，复数. (1)若，求的值； (2)若复数对应的点在第三象限，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的分类求解即可； （2）根据复数的几何意义求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，解得； （2）因为复数对应的点在第三象限， 所以，解得. 8．已知复数． (1)当为实数时，求的值； (2)当为纯虚数时，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意得到实部有意义、虚部为0即可； （2）要求实部为0且虚部不为0即可，得到方程组，可得答案. 【详解】（1）为实数， ， 解得或， 当为实数时，或； （2）为纯虚数， ， 解得，当为纯虚数时，. 9．著名数学家棣莫弗出生于法国，他提出了公式，其中.设复数，若正整数满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用题设定义得，进而可得，结合条件，即可求解. 【详解】因为，则， 又，所以， 由，得到，又，且， 则，所以， 故选：D. 10．已知复数 (i为虚数单位)，求适合下列条件的实数的值. (1)z为实数; (2)z为纯虚数. (3)若z在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）由虚部为零，计算可得； （2）由实部为零，虚部不为零计算可得； （3）由实部小于零，虚部大于零计算可得. 【详解】（1）由题意可得，解得或. （2）由题意可得，解得. （3）由题意可得，解得. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.1 复数的概念 教学目标 1.理解复数的基本概念（虚数单位i、复数、实部、虚部），掌握复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R)；能区分实数、虚数、纯虚数，掌握其判定条件；理解复数相等的充要条件并能应用求解简单问题。 2.虚数单位i的引入及规定（i^2=-1，实数与i的运算律）； 3.实数、虚数、纯虚数的分类判定条件； 4.复数相等充要条件的应用前提（必须将复数化为标准代数形式，且a,b,c,d∈R）； 教学重难点 1.重点 复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R})及实部、虚部的识别； 2.难点 纯虚数的判定条件（a=0且b≠0），避免忽略b≠0的易错点； 知识点01 复数的基本概念 1、虚数单位 数叫倣虚数单位，它的平方等于 ，即． 知识点诠释： （1）是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； （2）可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． 2、复数的摡念 形如的数叫复数，记作：； 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 注意：复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据． 3、复数的分类 对于复数 若，则为 ，若，则为 ，若且，则为 ． 分类如下： （） 用集合表示如下图： 4、复数集与其它数集之间的关系 ⊂⊂⊂⊂C（其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，C为复数集．） 5、共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为 时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．通常记复数的共轭复数为． 【即学即练】 1．已知复数，． (1)若z为实数，求x的值； (2)若z为虚数，求x的取值范围； (3)若z为纯虚数，求x的值． 2．下列命题错误的是（   ） A．若，则 B． C．是纯虚数 D．若，则 知识点02 复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别 ，那么我们就说这两个复数 ．即： 如果，那么 特别地：． 知识点诠释： （1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样． 根据复数与相等的定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么就有（，）． （2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小． 【即学即练】 1．已知复数，若，则实数的取值范围为 ． 2．已知复数z满足，则的最小值为 ． 知识点03 复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴： 如图所示，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴 知识点诠释：实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示 ． 2、复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点， 有 的一个复数和它对应． 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是 关系，即 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． 3、复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数． 设复平面内的点表示复数，向量由点 确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． 复数集和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即 复数平面向量 这是复数的另一种几何意义． 4、复数的模 设，则向量的长度叫做复数的模，记作． 知识点诠释： ①两个复数不全是实数时 比较大小，但它们的模 比较大小． ②复平面内，表示两个共轭复数的点关于 对称，并且他们的模 ． 【即学即练】 1．在复平面内，复数，，，对应的点，，，在同一个圆周上，则实数（    ）． A． B． C．或2 D．或2 2．已知，则下列说法中与“是纯虚数”不等价的是（    ） A． B． C．且 D．或，且 题型01 复数的概念 【典例1】已知复数的实部为2，其中，为实数，则的最小值为 ． 复数中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部． 【变式1】设，则下列命题中为真命题的序号是 . ①若，则； ②的充要条件为； ③复数为实数的充要条件为； ④若，则为纯虚数. 【变式2】已知复数，.若，则的取值范围是 . 【变式3】已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的实部为25 B．若，则的虚部为 C．若为实数，则 D．若为纯虚数，则 题型02 复数相等的充要条件 【典例1】已知复数，，其中．若，求的值． 复数相等问题的解题技巧 （1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． （2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． （3）如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的． 【变式1】已知，求实数的值. 【变式2】已知复数，，且，则λ的取值范围是 ． 【变式3】已知复数，并且. (1)若为虚数，求的取值范围； (2)求的取值范围. 题型03 复数与复平面内的点的关系 【典例1】已知为虚数单位，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若z为纯虚数，则复数z在复平面内对应的点在虚轴上 C．若复数z满足，则复数z的虚部为 D．若，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 利用复数与点的对应关系解题的步骤 （1）找对应关系：复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示，是解决此类问题的根据． （2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解． 【变式1】已知x为实数，复数． (1)当x为何值时，复数z的模最小？ (2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数的图象上，其中，，求的最小值及取得最小值时m，n的值． 【变式2】在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 【变式3】在复平面内，复数对应的点为. (1)若为纯虚数，求的值； (2)设为坐标原点，为虚轴负半轴上任意一点，若向量与的夹角为锐角，求的取值范围. 题型04 复数的模及其应用 【典例1】已知复数. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 复数模的计算 （1）计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． （2）设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解． 【变式1】已知复数. (1)若是实数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围； (3)若，求的值. 【变式2】已知复数，． (1)若，，,对应的点在第四象限求的范围． (2)若， 求的最大值． 【变式3】已知复数在复平面内对应的点位于第四象限． (1)若的实部与虚部之和为7，且，求； (2)若，且的实部不为0，讨论在复平面内对应的点位于第几象限． 题型05 复数模的几何意义 【典例1】已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为2，且是实数. (1)求； (2)设，在复平面内的对应点分别为，，求以，为邻边的平行四边形的面积.（为坐标原点） 复数模的几何意义可以延伸为表示复数对应的点与原点之间的距离，从而可以用数形结合解决有关的问题，考查直观想象素养． 【变式1】已知i为虚数单位，复数 (1)若z是实数，求m的值； (2)若z是纯虚数，求m的值； (3)若复数z与在复平面上对应的向量分别为 ，且的夹角为钝角，求m的取值范围. 【变式2】已知复数 (1)若是虚数，求m的取值范围． (2)若复平面内复数对应的点位于第四象限，求m的取值范围． (3)若，求的取值范围． 【变式3】已知复数，z在复平面内对应的点记为M，则下列结论正确的是（ ） A．若z为纯虚数，则 B．若，则 C．若点M在第一象限，则 D．若为z的共轭复数且，则 题型06 复数的轨迹与最值问题 【典例1】已知是虚数单位，若，且，则的取值范围为 ． 利用几何意义进行转化． 【变式1】设，在复平面内z对应的点为Z，则下列结论中满足条件的点Z的集合对应的图形正确的是（    ）． A．若，则点Z的集合是圆 B．若，则点Z的集合是两个圆所夹的圆环（包括边界） C．若，则点Z的集合是y轴所在的直线 D．若，则点Z的集合是一、三象限角平分线 【变式2】已知复数z满足，则的最大值是 . 【变式3】当复数z满足时，则的最小值是 . 1．复数满足，则 . 2．已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（　　） A．z的共轭复数为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 3．已知复数（），则下列说法正确的有（   ） A．复数z的实部为3 B．复数z的共轭复数为 C． D．若z为实数，则 4．已知复数在复平面内对应的向量为（为坐标原点），在复平面内对应的向量为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 5．如果复数满足，那么的最大值是 . 6．已知复数 (1)若 ，求角θ； (2)复数对应的向量分别是，若与的夹角为锐角，求θ的取值范围. 7．已知，为虚数单位，复数. (1)若，求的值； (2)若复数对应的点在第三象限，求的取值范围； 8．已知复数． (1)当为实数时，求的值； (2)当为纯虚数时，求的值． 9．著名数学家棣莫弗出生于法国，他提出了公式，其中.设复数，若正整数满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 10．已知复数 (i为虚数单位)，求适合下列条件的实数的值. (1)z为实数; (2)z为纯虚数. (3)若z在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $