专题7.3 复数的三角表示（高效培优讲义）数学人教A版高一必修第二册

专题7.3 复数的三角表示 教学目标 1.准确识记复数三角表示的定义，理解其结构特征（z =），明确模r与辐角的内涵及取值要求（r≥0，辐角的主值范围[0,2π)）； 2.掌握复数代数形式（a + bi）与三角形式的互化公式，能根据已知条件（如实部、虚部或模、辐角）熟练完成双向转换； 3.理解复数三角形式下乘、除运算的法则，能借助三角恒等变换推导运算公式，并准确进行计算； 4.阐释复数三角表示的几何意义，建立“模对应向量长度、辐角对应向量方向”的直观认知，关联复平面内点、向量与复数的三角形式表征。 教学重难点 1.重点 复数三角形式的乘、除运算法则及其几何意义（乘法：模相乘、辐角相加；除法：模相除、辐角相减，对应复平面内向量的伸缩与旋转变换）。 2.难点 数学思想的灵活运用：在复杂问题中，难以主动选择三角形式简化运算（如复数乘方、开方或向量旋转问题），缺乏对不同表示形式适用场景的判断能力。 知识点01 复数的三角表达式 1、复数的辐角 以轴的正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边的角，叫做复数的辐角． 适合于 的辐角的值，叫辐角的主值．记作：，即． 2、复数的三角表达式 一般地，任何一个复数都可以表示成 的形式．其中，是复数的模；是复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来叫做复数的代数表示式，简称代数形式． 注意：复数三角形式的特点：模非负，角相同，余弦前，加号连 3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件： 两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别 ． 【即学即练】 1．若复数的辐角的主值为的辐角的主值为，则的代数形式为 ． 2．任何一个复数都可以表示为，且可以表示为三角形式代表复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角.著名数学家棣莫弗就此进行了深度探究，发现，该公式称为棣莫弗公式.根据上面的知识，若复数满足，则可能的取值为（    ） A． B． C． D． 知识点02 复数三角形式的乘法及其几何意义 设、的三角形式分别是：，． 则． 简记为：模数相乘，幅角相加 几何意义：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是 ． 【即学即练】 1．计算的值是（    ） A． B． C． D． 2．计算(cos＋isin)÷＝ ． 知识点03 复数三角形式的除法及其几何意义 设、的三角形式分别是：，． 则． 简记为：模数相除，幅角相减 几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是 ． 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)． 2．把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式和它的辐角主值分别是（    ） A．， B． C． D． 题型01 复数的三角形式 【典例1】欧拉公式（其中为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则的实部为 ． 复数三角形式的判断依据和变形步骤 （1）判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连． （2）变形步骤：首先确定复数z对应点所在象限（此处可假定θ为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角．此步骤可简称为“定点→定名→定角”． 【变式1】将下列复数的三角形式转化为代数形式，代数形式转化为三角形式． (1)； (2)； (3)； (4) 【变式2】若复数z满足，则z的共轭复数的代数形式是＝ ． 【变式3】将复数化为三角形式正确的是（　   　） A． B． C． D． 题型02 复数的代数形式表示成三角形式 【典例1】复数的三角形式为（   ） A． B． C． D． 复数的代数形式化三角形式的步骤 （1）先求复数的模； （2）决定辐角所在的象限； （3）根据象限求出辐角（常取它的主值）； （4）写出复数的三角形式． 【变式1】把下列复数的代数形式化为三角形式： (1)； (2). 【变式2】的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【变式3】将下列复数表示成三角形式 (1)； (2)． 题型03 把复数表示成代数形式 【典例1】设复数， (1)写出的三角形式； (2)复数满足，且在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，，求的代数形式． 把复数表示成代数形式的注意事项 （1）类似三角形式的复数求模和辐角时，注意三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连． （2）由三角形式表示成代数形式，直接求出角的三角函数值，化简即可． 【变式1】设复数，复数满足，且在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，且，求的代数形式. 【变式2】若复数满足，则的代数形式是 . 【变式3】已知，求复数（用代数形式表示）. 题型04 复数的三角形式乘法运算 【典例1】已知复数，则 . 复数的三角形式乘法运算的注意事项：两个复数相乘，积还是一个复数，它的模等于各复数的模的积，它的幅角等于各复数的幅角的和．简单的说，两个复数三角形式相乘的法则为：模数相乘，幅角相加． 【变式1】计算：． 【变式2】计算下列各式，并用三角形式表示： (1)； (2)； (3). 【变式3】复数的虚部是 ；若复数满足为虚数单位，则的取值范围为 . 题型05 复数的三角形式除法运算 【典例1】计算： (1)； (2)． 复数的三角形式除法运算的注意事项：两个复数相除，商还是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的模，它的幅角等于被除数的辐角减去除数的辐角．简单的说切记两个复数三角形式除法运算法则：模数相除，幅角相减． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算： (1)； (2)． 题型06 复数的三角形式乘、除运算的几何意义 【典例1】（1）写出复数的三角形式． （2）在复数集内解方程． （3）如图，在复平面的上半平面内有一个等边三角形，点所对应的复数是，求顶点所对应的复数的代数形式． 复数的三角形式乘、除运算的几何意义的注意事项 1、复数乘法几何意义是解题关键．把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是． 2、复数除法几何意义是解题关键．把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是． 【变式1】我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则. 其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，. (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作正方形. （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求证：. 【变式2】我们知道，复数可以用的形式来表示，与复平面内的点是一一对应的，复数的模，即是复平面内的点到坐标原点的距离．又复数与平面向量也是一一对应的，所以也可以借助与非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角来刻画的方向，在此基础上再来认识一下复数的乘除法运算． 如：，，角；，，角，由．即：复数，相当于将复数伸长了倍，同时逆时针旋转角后得到． (1)计算，并从模与角度的变化来解释除法运算的几何意义； (2)现将直角坐标平面内任意一点，绕坐标原点逆时针旋转角，并将的长度伸长倍后得到点．请借助以上复数运算的知识，推导点与点伸缩旋转变换的坐标关系； (3)已知反比例函数，现将函数上的点都逆时针旋转后得到点的曲线，求曲线上的点坐标关系式． 【变式3】两个复数相乘时，如图所示，先画出与对应的向量，，然后把向量绕点按 时针方向旋转角，（如果，就要把绕点按 时针方向旋转），再把它的模变为原来的 倍，得到向量，表示的复数就是积 ，这是复数乘法的几何意义. 1．已知复数z，w均不为0，则（   ） A． B． C． D． 2．欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉提出的.利用欧拉公式可知在复平面内对应的点位于第 象限. 3．已知复数，则复数的辐角 . 4．定义：复数（）的三角形式为，其中，，是复数的模，是复数的辐角，规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作. (1)求出方程的所有复数根，并求这些根的辐角的主值； (2)已知，，求. 5．定义“变换”如下：设是一个关于复数z的表达式，若，则称复平面内点经过“变换”得到点.例如当时，点经过“变换”得到. (1)已知复数可以写成()，若()，求点经过“变换”得到的点的坐标； (2)若()，设直线，是否存在，使得直线上的任意一点“变换”到点后，点都在函数（其中为的反函数）的图象上？若存在，试求出有序实数对及此时的值；若不存在，请说明理由； (3)设()，其中.集合，，若对于集合中任意的复数在复平面内所对应的点经过“变换”后得到的点都是集合内的元素，求的取值范围.（分别为复数的实部与虚部） 6．欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位.它的一个简单而重要的结论是：余弦函数和正弦函数可以用定义在复数集上的指数函数构造出来，即.欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”.当时，得到等式，数学里最重要的五个常数被联系在一起，仿佛一句诗，道尽了数学之美. (1)证明：若，则与互为共轭复数； (2)已知，欧拉公式在复数集内可推广为，需要指出的是，和是复数，它们不是的实部和虚部，且.容易证明，两角和的余弦公式在复数范围内仍然成立，即.定义函数，.证明：； (3)若，令，证明：. 7．任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且若，，则（    ） A． B． C． D． 8．数学家在解决判别式的二次方程时引入了虚数，例如解得：，．实际上高阶方程同样在复数域中有解，如解得：，，；解得：，，，．数学家高斯发现对于一元次多项式方程在复数域内有且只有个根（重根按重数计算，如解得：），这就是著名的代数基本定理． (1)已知方程的复数根在复平面内对应的点必然均分单位圆．试求解方程在复数域中的所有解； (2)已知复数的乘方运算满足，试求在复数域中的所有解； (3)试证明：方程（，且为偶数）在复数域内的所有解的和为． 9．欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（     ）. A．0 B． C．1 D．2 10．在复平面内，常把复数和向量进行一一对应．现把复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数虚部为 ． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.3 复数的三角表示 教学目标 1.准确识记复数三角表示的定义，理解其结构特征（z =），明确模r与辐角的内涵及取值要求（r≥0，辐角的主值范围[0,2π)）； 2.掌握复数代数形式（a + bi）与三角形式的互化公式，能根据已知条件（如实部、虚部或模、辐角）熟练完成双向转换； 3.理解复数三角形式下乘、除运算的法则，能借助三角恒等变换推导运算公式，并准确进行计算； 4.阐释复数三角表示的几何意义，建立“模对应向量长度、辐角对应向量方向”的直观认知，关联复平面内点、向量与复数的三角形式表征。 教学重难点 1.重点 复数三角形式的乘、除运算法则及其几何意义（乘法：模相乘、辐角相加；除法：模相除、辐角相减，对应复平面内向量的伸缩与旋转变换）。 2.难点 数学思想的灵活运用：在复杂问题中，难以主动选择三角形式简化运算（如复数乘方、开方或向量旋转问题），缺乏对不同表示形式适用场景的判断能力。 知识点01 复数的三角表达式 1、复数的辐角 以轴的正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边的角，叫做复数的辐角． 适合于的辐角的值，叫辐角的主值．记作：，即． 2、复数的三角表达式 一般地，任何一个复数都可以表示成的形式．其中，是复数的模；是复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来叫做复数的代数表示式，简称代数形式． 注意：复数三角形式的特点：模非负，角相同，余弦前，加号连 3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件： 两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等． 【即学即练】 1．若复数的辐角的主值为的辐角的主值为，则的代数形式为 ． 【答案】 【分析】先设，再依次根据结合其辐角及其定义即可计算求解参数. 【详解】设，则， 因为复数的辐角的主值为，所以①， 因为复数的辐角的主值为，所以②， 由①②可得，，所以.故答案为：. 2．任何一个复数都可以表示为，且可以表示为三角形式代表复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角.著名数学家棣莫弗就此进行了深度探究，发现，该公式称为棣莫弗公式.根据上面的知识，若复数满足，则可能的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】根据棣莫弗定理可得的一般形式，求出、可得答案. 【分析】设，其中，则， 所以，而，则， 故即，故， 故B，D正确，A，C错误. 故选：BD. 知识点02 复数三角形式的乘法及其几何意义 设、的三角形式分别是：，． 则． 简记为：模数相乘，幅角相加 几何意义：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是． 【即学即练】 1．计算的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的三角运算公式运算即可. 【详解】因为 所以， 所以， 故选：B. 2．计算(cos＋isin)÷＝ ． 【答案】 【分析】根据复数除法的几何意义即可得结果. 【详解】由复数除法的几何意义知：(cos＋isin)÷＝. 故答案为： 知识点03 复数三角形式的除法及其几何意义 设、的三角形式分别是：，． 则． 简记为：模数相除，幅角相减 几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是． 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)利用复数三角形式的乘法法则直接进行计算作答. (2)利用复数三角形式的除法法则直接进行计算作答. 【详解】（1）. （2） . 2．把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式和它的辐角主值分别是（    ） A．， B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可知，即可求出，再根据对应的坐标即可得出它的辐角主值. 【详解】由题可知， 则， ， 可知对应的坐标为，则它的辐角主值为.故选：B. 题型01 复数的三角形式 【典例1】欧拉公式（其中为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则的实部为 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，求出复数的代数形式即可得解. 【详解】依题意，， 所以的实部为． 故答案为： 复数三角形式的判断依据和变形步骤 （1）判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连． （2）变形步骤：首先确定复数z对应点所在象限（此处可假定θ为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角．此步骤可简称为“定点→定名→定角”． 【变式1】将下列复数的三角形式转化为代数形式，代数形式转化为三角形式． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）求出三角函数值展开后可得； （2）结合诱导公式求出三角函数值展开后可得； （3）先计算模长，再求辐角，然后可得； （4）先计算模长，再求辐角，然后可得. 【详解】（1）. （2）. （3）复数的模长为1，辐角为，所以. （4）复数的模长为1，辐角为，. 【变式2】若复数z满足，则z的共轭复数的代数形式是＝ ． 【答案】/ 【分析】由复数的三角形式结合共轭复数的概念即可求解. 【详解】设，则，， 所以， 所以，解得， 所以， 故答案为： 【变式3】将复数化为三角形式正确的是（　   　） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由复数的三角形式逐个判断即可. 【详解】 所以辅角主值为，辅角为， 结合选项令，可得辅角为，BC两种情况不存在， 故选：AD. 题型02 复数的代数形式表示成三角形式 【典例1】复数的三角形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对应象限角的三角函数值及诱导公式，写出复数的三角形式即可求解. 【详解】∵，， ∴，，故选项A，C错误； ∵，， ∴，，故选项B正确，选项D错误. 故选：B. 复数的代数形式化三角形式的步骤 （1）先求复数的模； （2）决定辐角所在的象限； （3）根据象限求出辐角（常取它的主值）； （4）写出复数的三角形式． 【变式1】把下列复数的代数形式化为三角形式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】运用复数的三角形式公式计算即可. 【详解】（1）由题意知，， 在复平面内对应的点在第三象限，设为辐角主值， 所以，即， 所以. （2）由题意知，， 在复平面内对应的点在第四象限，设为辐角主值， 所以，即， . 【变式2】的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】合理化简原复数，表示为三角形式即可. 【详解】由题意得，故D正确. 故选：D 【变式3】将下列复数表示成三角形式 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)当时,； 当时，. 【分析】（1）根据同角三角函数的商数关系及诱导公式，再结合复数表示的三角形式 即可求解； （2）根据三角函数的二倍角公式及诱导公式，再结合复数表示的三角形式即可求解； 【详解】（1）， ， （2）. ∵当时，，， ∴， 当时，，， ∴. 题型03 把复数表示成代数形式 【典例1】设复数， (1)写出的三角形式； (2)复数满足，且在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，，求的代数形式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据公式，即可直接得出答案； （2）设，根据三角恒等变换表示出，然后根据已知得出的值，代入即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，， 所以，. （2）由已知可设， 则. 所以，. 由已知可得，所以， 所以，. 又，所以. 所以，. 把复数表示成代数形式的注意事项 （1）类似三角形式的复数求模和辐角时，注意三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连． （2）由三角形式表示成代数形式，直接求出角的三角函数值，化简即可． 【变式1】设复数，复数满足，且在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，且，求的代数形式. 【答案】 【解析】设出复数的三角形式，将化为三角形式，再计算乘法，根据题意，进行求解. 【详解】因为， 设， 由题设知，所以. 又，所以， 所以 【变式2】若复数满足，则的代数形式是 . 【答案】 【解析】先写出的三角形式，再进行化简整理即可. 【详解】设，则， ∴， ∴，解得.故答案为：. 【变式3】已知，求复数（用代数形式表示）. 【答案】 【解析】设出复数，根据模长以及辐角，列方程，求出复数的实部和虚部即可. 【详解】设，则. ∵，∴.① ∵，∴.② 联立①②，解得或 （经检验，为增根，应舍去）， ∴. 题型04 复数的三角形式乘法运算 【典例1】已知复数，则 . 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用复数乘法的三角表示求出，进而求出模. 【详解】复数， 所以.故答案为：1 复数的三角形式乘法运算的注意事项：两个复数相乘，积还是一个复数，它的模等于各复数的模的积，它的幅角等于各复数的幅角的和．简单的说，两个复数三角形式相乘的法则为：模数相乘，幅角相加． 【变式1】计算：． 【答案】 【分析】利用三角形式的复数乘法、除法、乘方运算法则求解即可. 【详解】因为 ． 【变式2】计算下列各式，并用三角形式表示： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据复数三角形式的乘法公式和乘方公式计算即可. 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式. 【变式3】复数的虚部是 ；若复数满足为虚数单位，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】借助复数的运算法则及复数的三角形式运算即可得. 【详解】，故复数的虚部是； 因为复数满足，则设，有， 因此， 而时，，则， 即， 于是，所以的取值范围为. 故答案为：；. 题型05 复数的三角形式除法运算 【典例1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用复数运算的三角表示化简可得结果； 【详解】（1）原式． （2）原式 ． 复数的三角形式除法运算的注意事项：两个复数相除，商还是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的模，它的幅角等于被除数的辐角减去除数的辐角．简单的说切记两个复数三角形式除法运算法则：模数相除，幅角相减． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】直接利用复数的三角表示的运算法则结合三角恒等变换计算得到答案. 【详解】（1）原式． （2）原式． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】复数化为三角形式，按三角形式的乘除运算法则，即可求解. 【详解】（1）． （2）原式． 题型06 复数的三角形式乘、除运算的几何意义 【典例1】（1）写出复数的三角形式． （2）在复数集内解方程． （3）如图，在复平面的上半平面内有一个等边三角形，点所对应的复数是，求顶点所对应的复数的代数形式． 【答案】（1）；（2），，，，，；（3）． 【分析】（1）根据复数三角形式定义直接求解； （2）根据复数定义直接求解； （3）作出图形，根据为等边三角形，将点对应的复数表示为，利用复数旋转可得出点所对应的复数为，利用两角和的正弦、余弦公式求出的正弦值和余弦值，即可得出点所对应的复数． 【详解】（1）， （2）因为，所以， 即 所以 解得，，，，， （3）如图，由题意可知，为等边三角形． 又，其中为的辐角． 将绕原点按逆时针方向旋转可得， 则， 又，，∴， ， ∴，∴所对应的复数为． 复数的三角形式乘、除运算的几何意义的注意事项 1、复数乘法几何意义是解题关键．把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是． 2、复数除法几何意义是解题关键．把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是． 【变式1】我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则. 其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，. (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作正方形. （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求证：. 【答案】(1)， (2)（ⅰ）存在，；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据复数三角形式运算的几何意义与运算法则求复数，. （2）（ⅰ）设，，借助复数三角形式的运算，用表示出点的坐标，求的长度，根据长度为，看看是否存在即可. （ⅱ）根据，把表示成与有关的三角函数，结合角的取值范围，求函数值域即可. 【详解】（1）连接，因为四边形，， 所以，又，所以，即， 因为， 所以， ， 所以，. （2）设，，则， 设对应的复数为，则， （ⅰ）设对应的复数为，， 设对应的复数为，所以， 所以， 由已知可得， 所以，又，所以，所以. （ⅱ）设对应的复数为， 所以， 所以，又，，， 所以 所以， 所以，所以，又， 所以，所以的范围为. 【变式2】我们知道，复数可以用的形式来表示，与复平面内的点是一一对应的，复数的模，即是复平面内的点到坐标原点的距离．又复数与平面向量也是一一对应的，所以也可以借助与非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角来刻画的方向，在此基础上再来认识一下复数的乘除法运算． 如：，，角；，，角，由．即：复数，相当于将复数伸长了倍，同时逆时针旋转角后得到． (1)计算，并从模与角度的变化来解释除法运算的几何意义； (2)现将直角坐标平面内任意一点，绕坐标原点逆时针旋转角，并将的长度伸长倍后得到点．请借助以上复数运算的知识，推导点与点伸缩旋转变换的坐标关系； (3)已知反比例函数，现将函数上的点都逆时针旋转后得到点的曲线，求曲线上的点坐标关系式． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）先由复数的除法运算化简，再结合向量间的关系得出复数除法的几何意义. （2）设出点对应的复数为，坐标原点逆时针旋转角，并将的长度伸长倍，即，从而可得出答案. （3）由（2）知：，解出，代入方程从而得出答案. 【详解】（1）令，，，则，，，，， 复数相当于将复数缩短了倍，顺时针旋转了得到 （2）设点对应的复数为：，设：， 点对应的复数为，则 所以 （3）由（2）知：，， 代入反比例函数得到，化简得：． 【变式3】两个复数相乘时，如图所示，先画出与对应的向量，，然后把向量绕点按 时针方向旋转角，（如果，就要把绕点按 时针方向旋转），再把它的模变为原来的 倍，得到向量，表示的复数就是积 ，这是复数乘法的几何意义. 【答案】逆 顺 1．已知复数z，w均不为0，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设，，x，y，a，，结合复数的运算、共轭复数定义及复数的模的性质逐个计算判断选项. 【详解】设，，x，y，a，，则 对A，令，则，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，取，，则， ，故，故C错误， 对D，，， 得到，故，故D正确. 故选：BD 2．欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉提出的.利用欧拉公式可知在复平面内对应的点位于第 象限. 【答案】四 【分析】根据欧拉公式及复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】由题意得， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故答案为：四. 3．已知复数，则复数的辐角 . 【答案】 【分析】根据复数的运算先计算复数，进而得，再转化为三角形式即可求解. 【详解】由题意有，所以， 所以， 所以， 故答案为：. 4．定义：复数（）的三角形式为，其中，，是复数的模，是复数的辐角，规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作. (1)求出方程的所有复数根，并求这些根的辐角的主值； (2)已知，，求. 【答案】(1)复数根分别为，，主值分别为， (2) 【分析】（1）根据题意，求得方程的根，，结合辐角主值的计算方法，即可求解； （2）根据三角恒等变换的公式，化简得到，结合辐角主值的概念，即可求解. 【详解】（1）由题意，方程，即，解得，即， 故方程的所有复数根为，， 对于复数，可得，所以，又由，则； 对于，可得，所以，又由，则， 故，的辐角的主值分别为和. （2）由题意，可得 ， 所以，解得，所以. 5．定义“变换”如下：设是一个关于复数z的表达式，若，则称复平面内点经过“变换”得到点.例如当时，点经过“变换”得到. (1)已知复数可以写成()，若()，求点经过“变换”得到的点的坐标； (2)若()，设直线，是否存在，使得直线上的任意一点“变换”到点后，点都在函数（其中为的反函数）的图象上？若存在，试求出有序实数对及此时的值；若不存在，请说明理由； (3)设()，其中.集合，，若对于集合中任意的复数在复平面内所对应的点经过“变换”后得到的点都是集合内的元素，求的取值范围.（分别为复数的实部与虚部） 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)或. 【分析】（1）根据给定定义及函数关系求解. （2）根据变换的定义及点与直线关系，建立恒成立的方程，进而求得方程组的解. （3）根据给定变换求出，再利用的几何意义建立不等式组，进而求出范围. 【详解】（1）依题意，点P对应的复数为， ，则点Q对应的复数为，所以. （2）设点P对应的复数为， 则点Q对应的复数， 点Q坐标为， 由点P在直线上，得， 的反函数为， 将点Q的坐标带入中得， 代入并整理得到， 由对于任意的该方程都成立，得， 解得或， 所以有序实数对为，或，. （3）设，则， ， 因此复数z经过“变换”后在复平面内得到的点的集合是一个圆心为、 内半径为、外半径为的一个圆环中辐角在内的部分， 又该部分点集是集合的子集，且， 则或， 解得或， 所以的取值范围是或. 6．欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位.它的一个简单而重要的结论是：余弦函数和正弦函数可以用定义在复数集上的指数函数构造出来，即.欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”.当时，得到等式，数学里最重要的五个常数被联系在一起，仿佛一句诗，道尽了数学之美. (1)证明：若，则与互为共轭复数； (2)已知，欧拉公式在复数集内可推广为，需要指出的是，和是复数，它们不是的实部和虚部，且.容易证明，两角和的余弦公式在复数范围内仍然成立，即.定义函数，.证明：； (3)若，令，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据欧拉公式展开复数，得出与实部相同，虚部相反，满足共轭复数定义；（2）运用双曲函数和三角函数的转换关系，，应用三角函数加法公式计算；（3）把已知条件代入复数表达式，分离实部和虚部，利用构造方程，得出结论. 【详解】（1）证明：， 的实部为，虚部为 又的实部为，虚部为 与实部相同，虚部相反，互为共轭复数. （2）代入双曲函数定义，应用三角函数加法公式： （3）代入已知复数表达式并分离实部与虚部： 由， ， 得， 由，整理得 7．任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据所给公式逐一验算各个选项即可得解. 【详解】由题可得，，，， 故选：ABD． 8．数学家在解决判别式的二次方程时引入了虚数，例如解得：，．实际上高阶方程同样在复数域中有解，如解得：，，；解得：，，，．数学家高斯发现对于一元次多项式方程在复数域内有且只有个根（重根按重数计算，如解得：），这就是著名的代数基本定理． (1)已知方程的复数根在复平面内对应的点必然均分单位圆．试求解方程在复数域中的所有解； (2)已知复数的乘方运算满足，试求在复数域中的所有解； (3)试证明：方程（，且为偶数）在复数域内的所有解的和为． 【答案】(1)答案见解析 (2)． (3)证明见解析 【分析】（1）根据代数基本定理可求得方程的个复数根； （2）化简得，令，利用代数基本定理求出方程的三个复数根据，进而可得出方程的三个复数根； （3）由题意可知方程（，且为偶数），方程的个解对应的点均分单位圆，则相邻两个解夹角为，求出这个复数解与轴正方向的夹角，可知与夹角相差，即，利用并项求和法可证得结论成立. 【详解】（1）有解， 又其余个根在复平面内对应的点与对应的点均分单位圆， 所以复向量与轴正方向夹角分别为、、、、、， 故解为，    ，，，， ． （2）化简得，令，即， 由题知，，则， 其余个解与复数对应点均分单位圆， 所以，， 即，，， 综上，在复数域中的所有解为，， ． （3）对于方程（，且为偶数），设该方程有解， 方程的个解对应的点均分单位圆，则相邻两个解夹角为， 故所有解与轴正方向的夹角分别为， 因为为偶数，所以，……， ， ， 所以与夹角相差，即， 所以当，且为偶数时，方程在复数域内的所有解的和为． 9．欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（     ）. A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】由题设新定义得，再应用乘方运算得，且，即可得. 【详解】由题设，则， 所以， 由，则，故时的最大值为2. 故选：D 10．在复平面内，常把复数和向量进行一一对应．现把复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数虚部为 ． 【答案】 【分析】由复数乘法的几何意义可知，根据复数的三角表示可求得旋转后的复数，根据虚部的定义求解即可. 【详解】由题意，复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转， 可得， 所以，所得的向量对应的复数虚部为. 故答案为：. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $