专题7.2 复数的四则运算（高效培优讲义）数学人教A版高一必修第二册

专题7.2 复数的四则运算 教学目标 1.理解复数的基本概念（虚数单位i、复数、实部、虚部），掌握复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R)；能区分实数、虚数、纯虚数，掌握其判定条件；理解复数相等的充要条件并能应用求解简单问题。 2.虚数单位i的引入及规定（i^2=-1，实数与i的运算律）； 3.实数、虚数、纯虚数的分类判定条件； 4.复数相等充要条件的应用前提（必须将复数化为标准代数形式，且a,b,c,d∈R）； 教学重难点 1.重点 复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R})及实部、虚部的识别； 2.难点 纯虚数的判定条件（a=0且b≠0），避免忽略b≠0的易错点； 知识点01 复数的加减运算 1、复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： 知识点诠释： （1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样．很明显， 两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形． （2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式． 2、复数的加法运算律： 交换律： 结合律： 【即学即练】 1．（1）化简求值：； （2）；求满足上述条件的实数x，y的值； （3）.求满足上述条件的实数x，y的值. 【答案】（1）；（2）；（3）或1，或2. 【分析】（1）利用复数加减运算法则计算出答案； （2）利用复数相等的条件得到方程组，求出答案； （3）利用复数相等的条件得到方程组，求出答案. 【详解】（1）； （2），故，解得， （3），故， 解得或1，或2. 2．已知复数满足，且，则＝ ． 【答案】 【分析】先设根据给定条件，结合复数相等和复数模公式计算作答. 【详解】设， 又，所以， 又，所以， 所以， 所以， 所以． 故答案为：. 知识点02 复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数． 2、复数加、减法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量． 设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是， 由于，所以和的和就是与复数对应的向量． 【即学即练】 1．设复数满足，求： (1)的取值范围； (2)的最大值. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）满足不等式的复数所对应的点在以为圆心，1为半径的圆上及圆内，利用几何图形求解该圆上点到原点距离的范围即为的取值范围； （2）代表满足已知圆及圆内点到的距离，利用几何图形求解即可. 【详解】（1）满足不等式的复数所对应的点在以为圆心，1为半径的圆上及圆内，如图所示. （1）解法代表满足已知圆及圆内点到原点的距离，因此距离最大值为圆心到原点的距离5加半径1，最小值为圆心到原点的距离5减半径1，即. 解法2：由不等式，得，即，解得. （2）（2）代表满足已知圆及圆内点到的距离，所以点到点的距离为，所以，即最大值为6. 2．已知复数，满足且，则对于任意的复数， 的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得，简化运算，不妨设，利用复数的几何意义转化为，根据加权费马定理求最小值即可. 【详解】设，因为， 所以，， 根据对称性，不妨取， 则，，的几何意义为复平面中到点的距离， ， 如图，将顺时针旋转得到，， 则，所以， 又，所以， 所以. 故答案为：. 知识点03 复数的乘除运算 1、乘法运算法则： 设，（），我们规定： 知识点诠释： （1）两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． （2）在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数（分母实数化），化简后写成代数形式． 2、乘法运算律： （1）交换律： （2）结合律： （3）分配律： 【即学即练】 1．已知复数所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【分析】举例说明AB是错误的；根据复数模的概念，判断C的真假；利用复数乘法的运算法则，判断D的真假. 【详解】对A：设，，则，但复数，不能比较大小，故不成立，所以A错误； 对B：取，，则，，但，所以不成立，所以B错误； 对C：由，所以，故C正确； 对D：设，，. . 由，当时，有，代入得： . 结合，所以， 所以，所以； 当时，或. 若，则，所以，所以，可得； 若，则，因为，，所以，可得. 综上可知，D正确. 故选：CD 2．若，则的虚部为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的运算化简等式可得，结合可得结果. 【详解】因为，所以，即，故， 所以复数的虚部为. 故选：B. 题型01 复数代数形式的加、减运算 【典例1】设复数满足，且，则 . 【答案】 【分析】设，根据题意列方程组即可计算. 【详解】设，所以，由， 所以， 因为， 所以， 故答案为：. 解决复数加减运算的思路 两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）． 【变式1】设复数，满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】用参数设出两个复数，根据复数模长的计算公式，用参数表示出所有模长，求出结果. 【详解】设，， 因为，所以， 由可得， 带入解得，则. 故选：C. 【变式2】已知复数是虚数单位）． (1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围； (2)设，分别记复数在复平面上对应的点为，求与的夹角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，再利用其对应的点所在象限得不等式组，故可求参数的范围； （2）利用夹角公式可求夹角. 【详解】（1）由题意， ， 第一象限需满足：，解得 . （2）当 时，点 ， ， 设的夹角为，则， 且. 【变式3】已知复数，． (1)若是纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据纯虚数的定义列方程求出，再利用复数的模长公式计算即可； （2）根据复数的几何意义列不等式组，求解即可. 【详解】（1）因为是纯虚数，所以，解得， 则，所以，故． （2）由题意可得，解得， 所以的取值范围为． 题型02 复数加减法的几何意义 【典例1】已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，且点，，连接后构成三角形.若复数满足，则在复平面内对应的点为的 .（填“外心”“重心”或“垂心”） 【答案】外心 【分析】设对应点为，根据复数的向量表示及向量减法的几何意义得，即可得结论. 【详解】设对应点为，且， 根据向量减法的几何意义知，即到三角形三个顶点的距离相等， 所以在复平面内对应的点为的外心. 故答案为：外心 复数与向量的对应关系的两个关注点 （1）复数（）是与以原点为起点，为终点的向量一一对应的． （2）一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变． 【变式1】设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据复数加减的几何意义可求. 【详解】设在复平面内对应的向量分别为. 由题意可知，， 由于，则以为邻边的平行四边形为矩形， 由于矩形的对角线相等，故. 故选：C. 【变式2】已知复数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用复数的几何意义，将转化为点到圆上的距离问题，进而利用圆心到点距离可得的取值范围. 【详解】表示对应的点是以原点为圆心，半径的圆上的点, 的几何意义表示圆上的点和之间的距离， 于是，的最大值为， 最小值为， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式3】已知复数z满足，则的最小值为（      ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】设复数z在复平面内对应的点为Z，由复数的几何意义可知点的轨迹为轴，则问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值，从而即可求解. 【详解】解：设复数z在复平面内对应的点为Z， 因为复数z满足，所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等， 所以在复平面内点的轨迹为轴， 又表示点到点的距离， 所以问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值， 所以的最小值为2， 故选：B. 题型03 复数模的综合问题 【典例1】设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数，，且，（其中），若可以与任意实数比较大小． (1)求向量对应的复数； (2)设中点为Z，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的表达式，根据为实数的条件求出的值，进而得到和，再根据向量与复数的对应关系求出向量对应的复数； （2）利用中点坐标公式求出中点对应的复数，最后根据复数的模的计算公式求出 【详解】（1）． 可与任意实数比较大小，为实数， ，解得．，， 向量对应的复数为． （2）的中点Z对应的复数为，． 表示复平面内，对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解． 【变式1】已知x为实数，复数． (1)当x为何值时，复数z的模最小？ (2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数的图象上，其中，，求的最小值及取得最小值时m，n的值． 【答案】(1) (2)的最小值为，，． 【分析】(1) 利用复数的模的计算公式，结合二次函数的性质求最值. (2) 先求出模最小时复数对应的点，代入函数得到关系式，再利用均值定理求最值. 【详解】（1）， 当且仅当时，复数z的模最小，为． （2）当复数z的模最小时，． 又点Z位于函数的图象上，所以． 又，，所以， 当且仅当时等号成立．又，，， 所以，．所以的最小值为， 此时，． 【变式2】已知复数. (1)若m = 0，求|z|； (2)若z是纯虚数，求m的值； (3)若z对应复平面上的点在第四象限，求m的范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据时，可求出复数，再根据复数模的概念求模； （2）根据纯虚数的概念，可求出m 的值； （2）实部大于零且虚部小于零得出m的范围. 【详解】（1）因为，所以；则； （2）若是纯虚数，则，解得或且且，即； （3）若z对应复平面上的点在第四象限，则，解得， 所以m的取值范围是. 【变式3】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答： 已知复数，，满足，________________. (1)若为实数，求复数； (2)若复数，在复平面内的对应点为，，且，求复数. 【答案】(1)或 (2)或. 【分析】（1）选择①，设，由条件可得，由条件为实数，结合复数运算可得，解方程可求结论； 选择②，由为实数，结合复数运算可得，解方程可得结论， 选择③，设，由条件可得，由条件为实数，结合复数运算可得，解方程可求结论； （2）选择①或③，设，由条件可得，，解方程求可得结论. 选择②，由条件可得，解方程求可得结论. 【详解】（1）选择条件①，设，，， 又为实数， ，，即，，解得或， 故或. 选择条件②，，为实数，， 即，， 则，解得， 当为偶数时， ； 当为奇数时， 故或. 选择条件，为实数，设， ,则，解得或， 故或. （2）选择条件①、，，， 设，则， 又，，即， 又，， 解得或， 故或. 选择条件②，，，， ，即， 化简得，又， 则，解得， 当为偶数时，； 当为奇数时， ， 故或. 题型04 复数代数形式的乘法运算 【典例1】若复数在复平面上所对应的向量分别是、，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】C 【分析】由题可得， ，然后由基本不等式结合题意可判断选项正误. 【详解】， 则 ， 则. 由基本不等式，. 当，且时，等号成立，则. 故选：C （1）两个复数代数形式乘法的一般方法 ①首先按多项式的乘法展开． ②再将换成． ③然后再讲行复数的加、减运簯． （2）常用公式 ①． ②． ③． 【变式1】，是复数，下列说法正确的是（   ） A．若，则是纯虚数 B．若，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点关于实轴对称 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】对于A，设，由可得是纯虚数；对于B，由，互为共轭虚数可得，在复平面内对应的点关于实轴对称；对于C、D选项，举出反例即可判断. 【详解】对于A，设，则，则，解得且，所以是纯虚数，故A正确； 对于B，设，因为，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点，在复平面内对应的点，则，在复平面内对应的点关于实轴对称； 对于C，假设，，则，，，即，故C选项错误； 对于D， 假设，，则，，，即，但不都是实数，不能比较大小，不能得到，故D选项错误； 故选：AB 【变式2】已知复数，满足，且的虚部比的虚部大. (1)求，； (2)设，在复平面内，将复数逆时针旋转得到复数，求复数. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设，，根据题意列出方程组，求解即可； （2）找出复数在复平面内对应的点，再将其绕着原点逆时针旋转得到新的点的坐标，即可求出复数.. 【详解】（1）设，，， 则， 则，得或， 因的虚部比的虚部大，则， 则， （2）， 则复数在复平面内对应的点为， 将点绕着原点逆时针旋转，得， 则将复数逆时针旋转得到复数. 【变式3】已知复数的实部为-1，则下列说法正确的是（   ） A．复数z的虚部为5 B．复数z的共轭复数 C． D．z在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】C 【分析】首先展开复数的乘积，利用实部为求出的值，再代入计算虚部、模、共轭复数和对应点的象限，逐一验证选项即可. 【详解】由的实部为可得，， 解得，则. 复数的虚部为，故A错误； 复数的共轭复数，故B错误； ，故C正确； z在复平面内对应的点为，在第三象限，故D错误. 故选：C. 题型05 复数代数形式的除法运算 【典例1】已知复数z对应复平面内的点. (1)设，求的模； (2)如果，求实数a，b的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据复数几何意义得，再结合共轭复数概念、复数乘方运算以及复数模的计算公式即可得到答案； （2）根据复数的乘方和除法运算即可得到方程组，解出即可. 【详解】（1）由题设知， 则， 故. （2）由， 有， 由题设条件，知， 根据复数相等的定义，得，解得. （1）两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式． ②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数． ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． （2）常用公式 ①；②；③． 【变式1】已知，，若复数z满足条件，则 . 【答案】 【分析】先根据题意，求出，再结合复数运算法则即可求解. 【详解】由，得， 因，所以. 故答案为：. 【变式2】已知复数，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义求解即可； （2）由，则，再通过复数的乘除法计算即可. 【详解】（1）由题意可得：，且， 解得， 所以的值为； （2）若m＝2，则， 所以， 所以，， 所以. 【变式3】已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为 . 【答案】 【分析】由复数的乘法、除法运算求得，再结合共轭复数的概念即可求解. 【详解】由， 得， 故， 则复数的虚部为， 故答案为： 题型06 在复数范围内解方程 【典例1】设关于的方程是． (1)若方程有实数根，求锐角和实数根； (2)证明：对任意，方程无纯虚数根． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）先将原方程可化为，再根据复数相等的条件得出左边复数的实部与虚部都为0得到关于的方程组，解之即得． （2）利用反证法证明方程有纯虚数根，推出矛盾即可． 【详解】（1）原方程可化为，方程有实数根，设为， ∴. 又θ是锐角，故． （2）假设方程有纯虚数根，可设根为，，， 则化为， 即，可得， 因为，所以方程无实根. 故假设不成立，所以方程无纯虚数根． 当一元二次方程中时，在复数范围内有两根且互为共轭复数． 【变式1】已知方程有两个虚根，且则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据方程有两个虚根得出判别式的范围，再利用求根公式求出两根，最后根据求出实数的值. 【详解】因为方程有两个虚根，所以，解不等式可得， 由求根公式可得方程的两个虚根为：， 设，， 则， 根据复数的模的计算公式可得， 已知，即，解得，满足. 故选：B. 【变式2】已知复数的实部为1，且，若是关于的方程的根，则 . 【答案】1 【分析】根据复数模求出复数，再由根与系数的关系求解即可. 【详解】设， 则，解得， 所以或， 由题意可知，. 故答案为：1 【变式3】设，复数． (1)若为纯虚数，求实数a的值； (2)若复数是关于x的方程的一个根，求的值． 【答案】(1)或． (2)1或-1 【分析】（1）根据复数的乘法和虚数的概念进行求解即可. （2）将复数代入方程中得到关于的等式，然后可求得，进而求出结果. 【详解】（1）由题意知， 又为纯虚数，所以，解得或． （2）因为复数是关于的方程的一个根， 所以，整理得， 所以，解得，或， 所以，或． 1．设复数，，其中． (1)若，求的值； (2)探究是否存在，使得，并说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据复数模的公式，列方程求解； （2）先计算，再根据复数的性质，列方程求解． 【详解】（1），， ，， ，，即，解得，即． （2）， ， ，的虚部为0，，该方程无实数解， 不存在实数，使得． 2．计算 . 【答案】 【分析】根据复数的乘方运算法则求解即可. 【详解】因为， 所以. 因为 ， 所以. 所以 . 故答案为：. 3．已知是虚数单位，是关于的方程（其中）的一个根，则= . 【答案】 【分析】根据题意，得到，列出方程组，求得，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由是关于的方程的一个根， 可得，整理得， 所以，解得，所以， 则. 故答案为：. 4．已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的除法与加法运算计算即可. 【详解】因为，所以. 故选：A 5．已知复数，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】举例说明判断AD；利用复数运算及共轭复数、复数模的意义计算判断BC. 【详解】对于A，取，，而，A错误； 对于B，设， ，由， 得，，B正确； 对于C，由及，设，， ，解得， 则，C正确； 对于D，取，，而，D错误.故选：BC 6．已知复数，则（    ） A． B．在复平面上，对应的向量与对应的向量的夹角为 C． D．若，则的最大值为3 【答案】ACD 【分析】根据复数的运算法则、复数的模、复数的几何意义和向量夹角的计算等知识，分别对各选项进行计算分析判断. 【详解】因为，所以， ，， 所以，A选项正确； ，，C选项正确； 对应向量，对应向量，，故夹角不是，B选项错误； 即，在复平面上所对应点为到所对应点的距离为2的点，即圆心为，半径为2的圆，所以当时，的最大值为3，D选项正确； 故选：ACD. 7．已知复数是方程的一个根，且在复平面内对应的点位于第四象限．复数，若为纯虚数，则为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由求根公式求出，由为纯虚数求出，确定. 【详解】由已知，因为在复平面内对应的点位于第四象限， 所以. 所以， 因为为纯虚数，所以，解得， 所以，所以.故选：C. 8．已知复数（为虚数单位）． (1)若，求复数的共轭复数及； (2)若是关于的方程的一个虚根，求实数的值． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）结合已知条件，根据复数的四则运算法则计算即可； （2）将z代入二次方程即可求出m的值． 【详解】（1）复数为虚数单位， ， ∴复数的共轭复数； （2）是关于的方程的一个虚根， ，整理得：， 则，且，解得：． 9．已知关于的方程有两个复数根． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)或4 【分析】（1）已知方程，结合讨论判别式的情况，得出关于的不等式组求解. （2）分和两种情况讨论，当，通过韦达定理得到，，结合得到关于的方程求解；当时，两虚数根与是共轭虚数，根据求解. 【详解】（1）已知，则. 若，根为实数，虚部为0，不满足. 若，根为虚数，由求根公式得：. 由可知，，. 所以 （2）i）当，即时，由韦达定理知：，. 若，两根异号，. 由或（，故舍去）. 若，两根同号为负，， 由，矛盾，舍去. ii）当，即时，与是共轭虚数，则，结合，得， 综上，或4. 10．代数基本定理是数学中最重要的定理之一，其内容为：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根.由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积.进而，一元次复系数多项式方程有n个复数根（重根按重数计）. (1)在复数集中解方程：； (2)写出一个以为根的一元六次实系数多项式方程；（不需要写证明过程） (3)已知一元十次实系数多项式满足，求的值. 【答案】(1)，，， (2)（答案不唯一） (3) 【分析】（1）将方程因式分解得，再利用一元二次方程求根公式进行求解即可. （2）根据代数基本定理可写出满足条件的一元六次多项式方程，化简可得结果； （3）设，分析的根，根据代数基本定理表示出，令列方程求解a，最后令求解. 【详解】（1）由题意得，， 即，解得、1或， 所以方程在复数集中的解为，，，. （2）以为根的一元六次实系数多项式为： 所以， 所以， 所以， 所以以为根的一个一元六次实系数方程为： . （3）设， 因为是一元十次实系数多项式，所以是一元十一次实系数多项式， 因为，所以， 所以有11个根， 根据代数基本定理，得， 即， 令，则， 所以，解得. 令，得， 所以，解得. 11．已知复数z满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据复数模的几何意义，转化为点到圆心的距离加半径可得最大值，减半径可得最小值即可. 【详解】表示对应的点是单位圆上的点， 的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离， 的取值范围转化为点到圆心的距离加上半径可得最大值， 减去半径可得最小值， 所以最大距离为，最小距离为， 所以的取值范围为. 故答案为：. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.2 复数的四则运算 教学目标 1.理解复数的基本概念（虚数单位i、复数、实部、虚部），掌握复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R)；能区分实数、虚数、纯虚数，掌握其判定条件；理解复数相等的充要条件并能应用求解简单问题。 2.虚数单位i的引入及规定（i^2=-1，实数与i的运算律）； 3.实数、虚数、纯虚数的分类判定条件； 4.复数相等充要条件的应用前提（必须将复数化为标准代数形式，且a,b,c,d∈R）； 教学重难点 1.重点 复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R})及实部、虚部的识别； 2.难点 纯虚数的判定条件（a=0且b≠0），避免忽略b≠0的易错点； 知识点01 复数的加减运算 1、复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： 知识点诠释： （1）复数加法中的规定是实部与实部 ，虚部与虚部 ，减法同样．很明显， 两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形． （2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式． 2、复数的加法运算律： 交换律： 结合律： 【即学即练】 1．（1）化简求值：； （2）；求满足上述条件的实数x，y的值； （3）.求满足上述条件的实数x，y的值. 2．已知复数满足，且，则＝ ． 知识点02 复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数 （）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数 ． 2、复数加、减法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量． 设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是， 由于，所以和的和就是与复数对应的向量． 【即学即练】 1．设复数满足，求： (1)的取值范围； (2)的最大值. 2．已知复数，满足且，则对于任意的复数， 的最小值为 ． 知识点03 复数的乘除运算 1、乘法运算法则： 设，（），我们规定： 知识点诠释： （1）两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个 ． （2）在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的 （分母实数化），化简后写成代数形式． 2、乘法运算律： （1）交换律： （2）结合律： （3）分配律： 【即学即练】 1．已知复数所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．若，则的虚部为（　　） A． B． C． D． 题型01 复数代数形式的加、减运算 【典例1】设复数满足，且，则 . 解决复数加减运算的思路 两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）． 【变式1】设复数，满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 【变式2】已知复数是虚数单位）． (1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围； (2)设，分别记复数在复平面上对应的点为，求与的夹角． 【变式3】已知复数，． (1)若是纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 题型02 复数加减法的几何意义 【典例1】已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，且点，，连接后构成三角形.若复数满足，则在复平面内对应的点为的 .（填“外心”“重心”或“垂心”） 复数与向量的对应关系的两个关注点 （1）复数（）是与以原点为起点，为终点的向量一一对应的． （2）一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变． 【变式1】设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】已知复数满足，则的取值范围是 ． 【变式3】已知复数z满足，则的最小值为（      ） A．1 B．2 C． D． 题型03 复数模的综合问题 【典例1】设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数，，且，（其中），若可以与任意实数比较大小． (1)求向量对应的复数； (2)设中点为Z，求． 表示复平面内，对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解． 【变式1】已知x为实数，复数． (1)当x为何值时，复数z的模最小？ (2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数的图象上，其中，，求的最小值及取得最小值时m，n的值． 【变式2】已知复数. (1)若m = 0，求|z|； (2)若z是纯虚数，求m的值； (3)若z对应复平面上的点在第四象限，求m的范围. 【变式3】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答： 已知复数，，满足，________________. (1)若为实数，求复数； (2)若复数，在复平面内的对应点为，，且，求复数. 题型04 复数代数形式的乘法运算 【典例1】若复数在复平面上所对应的向量分别是、，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判定 （1）两个复数代数形式乘法的一般方法 ①首先按多项式的乘法展开． ②再将换成． ③然后再讲行复数的加、减运簯． （2）常用公式 ①． ②． ③． 【变式1】，是复数，下列说法正确的是（   ） A．若，则是纯虚数 B．若，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点关于实轴对称 C．若，则 D．若，则 【变式2】已知复数，满足，且的虚部比的虚部大. (1)求，； (2)设，在复平面内，将复数逆时针旋转得到复数，求复数. 【变式3】已知复数的实部为-1，则下列说法正确的是（   ） A．复数z的虚部为5 B．复数z的共轭复数 C． D．z在复平面内对应的点位于第四象限 题型05 复数代数形式的除法运算 【典例1】已知复数z对应复平面内的点. (1)设，求的模； (2)如果，求实数a，b的值. （1）两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式． ②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数． ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． （2）常用公式 ①；②；③． 【变式1】已知，，若复数z满足条件，则 . 【变式2】已知复数，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，试求的值． 【变式3】已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为 . 题型06 在复数范围内解方程 【典例1】设关于的方程是． (1)若方程有实数根，求锐角和实数根； (2)证明：对任意，方程无纯虚数根． 当一元二次方程中时，在复数范围内有两根且互为共轭复数． 【变式1】已知方程有两个虚根，且则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式2】已知复数的实部为1，且，若是关于的方程的根，则 . 【变式3】设，复数． (1)若为纯虚数，求实数a的值； (2)若复数是关于x的方程的一个根，求的值． 1．设复数，，其中． (1)若，求的值； (2)探究是否存在，使得，并说明理由． 2．计算 . 3．已知是虚数单位，是关于的方程（其中）的一个根，则= . 4．已知复数，则（   ） A． B． C． D． 5．已知复数，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．已知复数，则（    ） A． B．在复平面上，对应的向量与对应的向量的夹角为 C． D．若，则的最大值为3 7．已知复数是方程的一个根，且在复平面内对应的点位于第四象限．复数，若为纯虚数，则为（    ）. A． B． C． D． 8．已知复数（为虚数单位）． (1)若，求复数的共轭复数及； (2)若是关于的方程的一个虚根，求实数的值． 9．已知关于的方程有两个复数根． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的值． 10．代数基本定理是数学中最重要的定理之一，其内容为：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根.由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积.进而，一元次复系数多项式方程有n个复数根（重根按重数计）. (1)在复数集中解方程：； (2)写出一个以为根的一元六次实系数多项式方程；（不需要写证明过程） (3)已知一元十次实系数多项式满足，求的值. 11．已知复数z满足，则的取值范围为 ． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $