综合检测卷-【假期作业】2026年高二数学寒假假期作业（北师大版·新教材）

寒假作业读书不觉已春深，一寸光阴一寸金。 X-10X20X20280X780)=765.625>10.828, 800×200×200×800 所以依据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H。 不成立，即认为超声波检查结果与是否患该疾病有关. 3.解析(1)这组数据的极差为216.93一206.78=10.15， 中位数为209.35+210.68=210.015. (2)记“从这10个数据中任选3个，恰有2个数据在211以 上”为事件A, 由题可知，这10个数据中在211以上的有4个， 故P(A)=CC-6X6=3 12010 (3)由题可知，x=2006,y=211.399, 代入y=-0.311x+b,得211.399=-0.311×2006+b, 解得=835.265， 则y=-0.311x+835.265， 将x=2028代入，得y=204.557≈204.56 故预测2028年冠军队的成绩为204.56秒. 【易误警示】 [示例1][解析]从所给的列联表中可知病人有两种类 型：做过心脏搭桥手术和做过血管清障手术，每种类型又 有两种情况：又发作过心脏病和未发作过心脏病.问题是 用表中所给出的数据来检验上述两种状态是否有关系，这 是一个独立性检验问题，解决的方法是通过构造X统计 量观察值来研究.提出假设H。:做过心脏搭桥手术与又发 作心脏病没有关系 由于a=39,b=157,c=29,d=167,a+b=196,c+d= 196,a+c=68,b十d=324,n=392,由公式可得x2统计量 n(ad-bc) 观测值为X=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d 第二部分 一、数列的概念 【即学即用】 1.解析此数列共有7项，首项为98，末项为280. 答案798280 2.解析①④为有穷数列，②③为无穷数列， 答案 ①④②③ 3.C由n11=0.96,解得n=24.故选C 4.解析（1)由通项公式可知 22-1 52-124_8 a4=2X2=1a:-2×5-19-3 (2)由通项公式可知 6=sin登-sinx=0,=sim经=n受-1. 5.解析：a+1一an=2(n十1)一3-(2n-3)=2>0, .an+1 >an(n∈N). .数列{an}为递增数列， 6.解析（1)"a,=p"+g,且a1=-24,= 3 4 1 p十q=-2' 1 解得p=2 (p2+g=-3 q=-1, a,的通项公式是a,=(号》广-1. (2)令an= 中()-1=鬻 第三部分 综合检测卷 1.C2.A3.C4.B5.C 6.B设“C正常工作”为事件G,“D正常工作”为事件H, “A与B中至少有一个不正常工作”为事件T,“E与F中 至少有一个不正常工作”为事件R,则P(G)=P(HD)=2, P(T)=P(R)=1-合×日=圣，所以系统正常工作的 叛率P=1-P(T)P(R)P(G)P(A)-器故选B [每日格言] 392×(39×167-157×29)2 196×196×68×324 =1.78, 因为X=1.78<2.706,推断H。成立，所以我们没有理由 说“做过心脏搭桥手术”与“又发作心脏病”之间有关系. [示例2][解析](1)设y关于u的相关系数为r1,v关于 x的相关系数为r2,由题意，得 2(u-)(y-) =1 130 r=1 2w-含(% W/11250×2 1 (x,-)(0-0) -1 12 r2= 公a-含- √65×2.613≈0.92. 三1 因为m<r2,所以从相关系数的角度看，模型y=e+ 的拟合程度更好. (2)(1)由y=e+“,得lny=t十ax,即v=t十x, (x,-x)(g- i=1 2=12≈0.18， (x-x)2 65 i=0-Ax=5.36-号×26=0.56， i-1 651 所以v关于x的回归直线方程为元=0.18x十0.56， 所以lny=0.18x十0.56，则y=e.18z+o.56 （i)将y=200代入y=e.18r+o.56,则21n5十31n2= 0.18x十0.56，解得x≈26.32， 所以预测2026年的年研发资金投入额为26.32亿元. 新知预习 (合》广一6解得0-8故是a,中的第8项 (3):a,=(分)广-1，且（合）广随m的增大而减小， ∴.a.的值随n的增大而减小， ∴.{an}是递减数列. 二、数列中的递推关系 【即学即用】 1.B由已知，得a2=4a1+3=3,a3=4a2+3=15,a4= 4a3十3=63，a5=4a4十3=255.故选B. 2.解析由已知，得a,=1+1=2,a,=1十1 3 a =2,a4 1+1=5, a3 4=1十日-号故此数列的前5项为1,2， 358 z’35 3.D当n为奇数时，Sn=(-1)”=-1,当n为偶数时S。=0. 故选D. 4解析0白题意，好十站2，年得伦： (2)由(1)，得Sn=n2+n十1时，当n=1时，a1=S1=3, 当n2时，an=n2+n+1-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n, /3,n=1, 所以a,={2m,n≥2(n∈N+). 综合提升 16 7.D因为号+号1，所以点A(1,号)在描国C的内部，设描圆 号+苦=1的右焦点为R,易知F20以由A(1号)，得 1AF=;,根据椭圆的定义可得PF+|PF=2a=6,所以 |PA+|PF=|PAI+6-IPFL.因为|PA-|PFI≥-IAFI,所 以PA+PF≥6-AF=6-号-号，所以1PA+PF的最 小值为3.故选D [每日格言]世界上没有绝望的处境，只有对处境绝 8.D设事件A为“李明与甲组选手比赛”，事件B为“李明 与乙组选手比赛”，事件C为“李明获胜”，则由题可知 PA=子，P(B)=寸 对于A,李明与甲组选手比赛且获胜的概率为P(AC)= PAP(CA=号X0.6=号，故A正确； 对于B,李明获胜的概率为P(C)=P(A)P(C|A)十 P(B)P(CB)=号×0,6+号×0.5=品故B正确； 对于C,若李明获胜，则选手来自甲组的概率为P(A|C) 2 8-昌-号C压瑰 P(C) 30 对于D,若李明获胜，则选手来自乙组的概率为P(B引C)= -PP9A-寺X05 P(C) P(C) 17= 吕，故D错，故 3 选D. 9.CD对于A,若随机变量X服从两，点分布，P(X=1)= 合则DX=号×(1-合)=日，故A错误；对于B,若随 1 机变量Y的方差DY=2,则D(3Y+2)=9DY=18,故B错 误；对于C,若随机变量专服从二项分布B(4,分)，则 P(=3)=C(日）广·(1-号)广-子，故c正确， 对于D,若随机变量7服从正态分布N(5,G2),P(2)= 0.1,则P(n>8)=0.1,故P(2<<8)=1-P(7<2)- P(>8)=0.8,故D正确. 综上，故选CD. 10.CD对于A,AB=(2,1,0),AC=(-1,2,1),不存在实 数入，使得AB=入AC,所以AB与AC不是共线向量，所以 A错误；对于B,因为AB=(2,1,0),所以与AB共线的单 位向量为(25，源0)支(2,9o,所以B饼 误；对于C,向量AB=(2,1,0),BC=(-3,1,1),所以 cos(AB,BC)=AB·BC lABIIBCI =臣，所以C玉确；对于 D,设平面ABC的法向量是n=(x,y,之)，因为AB= (21,0),A花=(-12,1)，所以n:A5=0即 ln·AC=0, 二x十2y十z=0,令x-1,则n=(1,-2,5)是平面ABC 2x十y=0, 的一个法向量，所以D正确.故选CD. 11.ABC对于A,由AF=AFB可知，A,F,B三点共线，所以 AB是抛物线的焦，点弦，设直线AB的倾斜角为α，α∈(0，π)， AG),B,则AB=+石+力。≥2p,故 A正确； 1 对于B,由焦点弦与焦半径的结论可知AF十BF可 2恒成立，故B正确； 对于C,sin∠AFO=sin(π-a)=sina∈(0,1]，故3λ>0， 俊得sin∠AF0=2y2,故C正确； 3 对于D,Vλ>0，在△AOB中，|AO2+|BO12-|AB2= x号+2px十x号十2px2-(x1十x2十p)2=-2x1x2-p<0,所 以cos∠AOB<0,即不存在λ>0，使得cos∠AOB≥0，故 D错误.故选ABC. 12.解析将4名同学分成人数为2,1,1的3组有C=6种 分法，再将3组同学分到3个小区共有A=6种分法，由 分步乘法计数原理可得不同的安排方法共有6×6= 36种. 答案36 6 望的人。 高二数学（配BSD版） 13.解析由题意可知，|AF1I一AF2|=2a①，|BF1| IBF2|=2a②，①+②得|AF1|+|BF1|-|AB|=4a, 即AF1I+|BF1+AB|=4a+2|AB|,又△F1AB的周 长为10b,所以4a+2|AB=106,即AB|=10b,40= 2 -2a,又AB228,所以5b-2a≥26，即26+2a 5a0,所以2（白）°-5·白+2≤0，解得号<么≤2， a a 2 因为e2=1+ 所以∈[县所以e[ 62 答案 [ 14.解析(1)，5为奇数，∴.展开式中中间两项的二项式系 数最大，它们分别为T=C(x号)3·(3x2)2=90x, T4=Cg(x号)2·(3x2)3=270x号 (2)（x+3x2)°的展开式的通项为 T+1=C(x)5-*(3x2)=Cg·3·x导6+，k=0, 1,2,3,4,5. 假设第k+1项的系数最大，则C3之C3， lC3≥C+13+1, 5！ 5！ ÷5-)1×32(6-(- 5！ 51 (5-)！k产(4-k)川(k+1)刀X3, 3- 1 即〈 1 3 5=产十1' k∈N+,k=4, ∴展开式中系数最大的项为T,=Cgx号(3x)=405z等」 答案(1)90x,270x号(2)405x器 15.解析(1)因为圆心C在直线1：y=2x一4上，且在直线 y=x一1上，所以圆心C为两直线的交，点， 联立y=2x二4解得{x=3所以C(3,2》. y=x-1, y=2, 易知切线的斜率存在，设其方程为y一3=(x一0)，即 x一y十3=0，根据圆心到直线kx一y十3=0的距离等于 半径1，可得3-2+3=1，解得k=0或=-3 √R2+1 4” 故切线方程为y=3或3x十4y一12=0. (2)根据题意可得圆C的方程为 (x-a)2+(y-2a+4)2=1. 设M(x,y),:|MA=2MO1, .√x十(y-3)=2√x2十y,化简可得 x2+(y+1)2=4, 故点M在以(0，一1)为圆心，2为半径的圆上，记D(0,一1). 又点M也在圆C上，故圆C和圆D有交点， .2-1≤1CD1≤1+2，即1≤√a2+(2a-4+1)≤3， 整理得5a2-12a十8≥0且5a2-12a≤0， 解得0区a≤号 实数a的取值范国是[0，号]， 16.解析（1)由分层随机抽样知识，得 750 抽取的男生人数为45×750十600=25， 抽取的女生人数为45一25=20， 20释0 y=6. (2)列联表如下： 男生 女生 总计 有兴趣 20 12 32 非有兴趣 8 13 总计 25 20 45 寒假作业业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随 X-45X20X82X5)'≈2.163<2.706， 32×13×25×20 所以不能判定在犯错误的概率不超过10%的前提下认为 是否对足球有兴趣与性别有关系. (3)所选的2名学生中至少有1名女生的概率P= CC+C C -10 17.解析(1)证明如图，因为E,F分别为PC,PB的中 点，所以EF∥BC 又BCC平面ABC,EF￠平面ABC, 所以EF∥平面ABC. 又EFC平面AEF,平面AEF与平面ABC的交线为I, 所以EF∥L,从而l∥BC. 而BCC平面PBC,l中平面PBC,所以l∥平面PBC. (2)存在.取AC的中点D,连接PD, 因为△PAC是边长为2的正三角形， 所以PD⊥AC,AD=1,PD=√JPA2-AD=√3. 又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC, 且PDC平面PAC,所以PD⊥平面ABC. 由(1)可知，在底面ABC内过点A作BC的平行线，即平 面AEF与底面ABC的交线I. 由题意可得AC2+BC2=AB2,即AC⊥BC, 取AB的中点M,连接DM,则DM∥BC. 因为AC⊥BC,所以DM⊥AC. 以D为坐标原点，DA,DM,DP所在直线分别为x,y,之 轴，建立空间直角坐标系， M B 则A(1,0,0),P(0,0,√3)，C(-1,0,0),B(-1,4,0), (-,）(-2） 设Q1,0,则P成=1，-.正=(-是0，) EF=(0,2,0), 设平面AEF的法向量为n=(x,y,z), AE·n=0, 即-2x+2=0, 则E市.n=0,2y=0, 取之=√3，则x=1,y=0,即n=(1,0,W3)是平面AEF的 一个法向量， n·PQ 所以cos(n,PQ》= 1-3 nP 12√4+ -4+1 又直线PQ与平面AEF所成角为Q, 于是sina=|cos(PQ,n)l=1 √4+t 又cos(P,EF)= PQ·EF 2t P1EF2√4+2√4+F 而异面直线PQ,EF所成角为B, 于是cosB=|cos (PQ,EF)|= √4+' 因为a十P=受，所以sina=cosA, 所以 1 =川，所以=1. √4+平√4+t 62 [每日格言] 当t=1时，AQ=(0,1,0),此时有|AQ1=1； 当t=一1时，AQ=(0,一1,0)，此时有|AQ=1. 综上所述，这样的，点Q存在，且有|AQ|=1. 18.解折(1①由题意，得P(B)-2法=日， 25 P(A)-若-号，P(AB)=房， 25 2 则P(BA)=PCAB)=251 P(A)2=: 5 P(AB)=P(A)·P(B),.事件A和事件B独主. (2)记外观与内饰均同色为事件A1,外观与内饰都异色 为事件A2,仅外观或仅内饰同色为事件A?, PA)=+C+c+G-器-鵠 C25 300 P(A2)= CC+CCi2484 C6 30025' P(A3)= CIC+Cl2 C+C Ci2+CC15477 C 3001501 P(A2)<P(A)<P(A3), .一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都异色，二等奖 为两个汽车模型的外观与内饰均同色，三等奖为两个汽 车模型仅外观或内饰同色」 X的分布列如表： X 150 300 600 P 77 49 4 150 150 7品+30×3+60×号-271. EX=150×50 19.解折0南题毫-2要，所以号-吕。 a 设a2=9t,t>0,则c2=8t,所以b=t. 又|AB2=a2+b2=10t=10, 所以1=1，所以C的方程为号+=1. (2)(1)设R(x,y),由(1)知A(0,-1),又P(m,n), 所以AP·AR=(m,n+1)·(x,y+1)=mx+(n+1): (y+1)=AP1·1AR1·cos0=3.① 由加=k,得=十1，@ m 3m 由①②得xm++y=n+2-m二n m2+(n+1)2, 3m_n十2-m2-n2 故R(m+m+),m+(n+1))】 （1)尚(1)得am-士2-立=3km-得十 3m n2+8n-2=0,即m2+(n+4)2=18. 由题设Q(3cos0,sin),K(0,-4), 则|KQ|2=(3cos0)2+(sin0+4)2=-8sin0+8sin0 +25, 设=sn0,则KQ12=-852+8s+25=-8(:-之)P+ 27(-1s1), 故当9=sm0=之时，KQ取得最大值，且KQ1= 35, 故|PQ|的最大值为|KQ|mx十3√2=3(W3+√2).[每日格言]成功的信念在人脑中的作用就如闹钟，会在你需要时将你唤醒。 高二数学（配BSD版） 第三部分 综合提升 综合检测卷 （时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.(2025·人大附中高二期末)在四面体 B OABC中，OA+AB-CB= ( A.2 B.3 A.OA B.AB C.4 D.5 c,oc D.AC 6.一个系统如图所示， A,B,C,D,E,F为6个 2.双曲线2-菁=1的箭近线方程为( 部件，其正常工作的 A.y=士√3x B.y=士3x 概率都是，且是否正常工作是相互独立 Cy=± D.y=±3 的，当A,B都正常工作或C正常工作， 或D正常工作，或E,F都正常工作时， 3.已知某校50名学生的身高与体重的散点 系统就能正常工作，则系统正常工作的概 图如图所示，则下列说法正确的是( 率是 体重kg 100 B 80 6 Cg 9 28 D.64 160165170175180185190195身高/cm 7已知F是椭圆C:。十 义=1的左焦点， A.身高越高，体重越重 B.身高越高，体重越轻 P是C上-点，A1,号)，则IPA+PF C.身高与体重成正相关 的最小值为 D.身高与体重成负相关 0 A.3 4.某市文明办举行“少年儿童心向党”主题活 动，原定表演6个节目，已排成节目单， C.4 D号 开演前又临时增加了2个互动节目.如果 8.(2025·佛山摸底)中国象棋是一种益智游 保持原节目的顺序不变，那么不同排法种 戏，也体现博大精深的中国文化.某学校举 数为 办了一次象棋比赛，李明作为选手参加.除 ( 李明之外的其他选手中，甲、乙两组的人数 A.28 B.56 C.42 D.72 之比为2：1，李明与甲、乙两组选手比赛 5.如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB, 获胜的概率分别为0.6,0.5.从甲、乙两组 点M为PA的中点，BD=λBN.若MN⊥ 参赛选手中随机抽取一位选手与李明比 AD,则的值为 赛，下列说法不正确的是 45 寒假作业坚韧是成功的一大要素，只要在门上敲得够久够大声，终会把人唤醒的。 [每日格言] A.李明与甲组选手比赛且获胜的概率 C.3>0,使得sin∠AF0=22 为号 D.3λ>0，使得cos∠AOB≥0 B李明获脸的概率为品 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15分. C.若李明获胜，则选手来自甲组的概率 12.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传 为号 活动，每名同学只去1个小区.每个小区 D.若李明获胜，则选手来自乙组的概率 至少安排1名同学，则不同的安排方法共 为号 有 种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共 13.已知双曲线C:一31(a>0,b>0)的 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 左、右焦点分别为F1,F2.过F2作直线1 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得 与双曲线C的右支交于A,B两点，若 部分分，有选错的得0分， △F1AB的周长为10b,则双曲线C的离 9.下列结论正确的是 心率的取值范围是 A.若随机变量X服从两点分布，且 14.在二项式(x+3x2)5的展开式中， P(X=1)=2,则DX=2 ()二项式系数最大的项为 (2)系数最大的项为 .(本题第一 B.若随机变量Y的方差DY=2,则 空2分，第二空3分) D(3Y+2)=8 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应 C.若随机变量服从二项分布B(4,), 写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)(2025·烟台高二期末)已知A 则P(=3)=1 4 (0,3),直线l:y=2x一4，设圆C的半径 D.若随机变量)服从正态分布N(5,o2), 为1，圆心在1上， P(<2)=0.1,则P(2<<8)=0.8 (1)若圆心C也在直线y=x一1上，过A 10.已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0), 作圆C的切线，求切线的方程； C(一1,3,1)，则下列结论正确的有( ) (2)若圆C上存在点M,使|MA|= A.AB与AC是共线向量 2|MO(O为坐标原点)，求圆心C的横 坐标a的取值范围. B.与AB共线的单位向量是(1,1,0)》 C.AB与BC夹角的余弦值是-5⑤ 11 D.平面ABC的一个法向量是(1，一2,5) 11.(2025·重庆调研)已知O为坐标原点， F是抛物线E:y=2px(p>0)的焦点， A,B是E上两点，且A庐=λFB,则 A.Hλ>0，|AB|≥2p BY0,十丽一号 1=2 46 [每日格言]凡事要三思，但比三思更重要的是三思而行。 高二数学（配BSD版） 16.(15分)某体育机构对某高中一年级 17.(15分)(2025·无锡模拟)如图，在三棱 750名男生、600名女生采用分层随机抽 锥P-ABC中，侧面PAC是边长为2的 样的方法抽取45名学生对足球进行兴趣 正三角形，BC=4,AB=2√5，E,F分别 调查，统计数据如下所示： 为PC,PB的中点，平面AEF与底面 表1男生 ABC的交线为1. 有兴趣 无所谓 无兴趣 人数 2 2 3 表2女生 有兴趣 无所谓 无兴趣 人数 12 y 2 (1)证明：L∥平面PBC; (2)已知平面PAC⊥平面ABC,则直线L (1)求x,y的值； 上是否存在点Q,使得直线PQ与平面 (2)填写下面的2×2列联表，并判断能否 在犯错误的概率不超过10%的前提下认 AEF所成角α与异面直线PQ,EF所成 为是否对足球有兴趣与性别有关系； 角9满足a十B=牙，若存在，求出AQ, 男生 女生 总计 若不存在，请说明理由. 有兴趣 非有兴趣 总计 (3)在抽取的45名学生中，从无兴趣的学 生中随机选取2名，求所选的2名学生中 至少有1名女生的概率P, 附：X2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' n=a+b+c+d. P(x≥k) 0.10 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 47 寒假作业如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。 [每日格言】 18.(17分)第二十届上海国际汽车工业展览 19.(17分)(2025·全国一卷)已知椭圆C: 会于2023年4月18日在上海国家会展 中心举行.某汽车企业准备了25个汽车 导+芳=1a6>0)的离心率为2空，下 模型，其外观与内饰的颜色分布如下表 顶点为A,右顶点为B,|AB引=√10. 所示： (1)求C的方程； 红色外观 蓝色外观 (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线 棕色内饰 8 12 AP上，且满足|AP|·|AR|=3. (i)设P(m,n),求R的坐标（用m,n表 米色内饰 2 3 示)； 现将这25个汽车模型进行编号. (ⅱ)设O为坐标原点，Q是C上的动点， (1)若小明从25个汽车模型编号中随机 直线OR的斜率是直线OP的斜率的3 选取一个，记事件A为小明取到的模型 倍，求|PQ的最大值. 为红色外观，事件B为小明取到的模型 为米色内饰，求P(B)和P(BA),并据此 判断事件A和事件B是否独立； (2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在 一次抽奖中，每人一次性从25个汽车模 型编号中选取两个，给出以下抽奖规则： ①选到的两个模型会出现三种结果，即外 观和内饰均同色、外观和内饰都异色以及 仅外观或仅内饰同色；②按结果的可能性 大小设置奖项，概率越小奖项越高；③该 抽奖活动的奖金金额为一等奖600元、二 等奖300元、三等奖150元.请你分析奖 项对应的结果，设X为奖金金额，写出X 的分布列，并求出X的数学期望. 48