一、数列的概念&二、数列中的递推关系-【假期作业】2026年高二数学寒假假期作业（北师大版·新教材）

[每日格言]伟大的事业不是靠力气、速度和身体的敏捷完成的，而是靠性格、意志和知识的力量完成的。高二数学（配BSD版） 第二部分 新知预习 一、数列的概念 知识点1 数列的概念及其分类 4.根据以下数列的通项公式，写出对应数列 的第2项和第5项： (1)概念：按照一定次序排列的一列数称为 n2-1 数列，数列中的每一个数都称为这个数列 (1)am=2n-1 的项，各项依次称为这个数列的第1项（或 首项)，第2项…组成数列的数的个数称 (2b.=sin2受 为数列的项数， (2)分类：一般地，项数有限的数列称为有 穷数列，项数无限的数列称为无穷数列.有 穷数列的最后一项一般也称为末项」 [即学即用] 1.已知数列：98,122,163,205,236,238,280. 此数列共有 项，其中首项为 ,末项为 2.下列数列： ①1,1,1②1,1,1…③2,2,1 2’4’8,… ④-1,1，-1. 有穷数列为 ,无穷数列为 (只填序号) 知识点2数列的通项 知识点3：数列与函数的关系 般地，如果数列的第n项an与n之间 (1)数列{a,}可以看成定义域为正整数集 的关系可以用am=f(n)来表示，其中f(n)是 的子集的函数，数列中的数就是自变量从 关于n的不含其他未知数的表达式，则称上 小到大依次取正整数值时对应的函数值， 述关系式为这个数列的一个通项公式 而数列的通项公式也就是相应函数的解析 显然，根据数列的通项公式，能够写出这 式.这就提示我们，数列也可以用平面直角 个数列的任意一项 坐标系中的点来直观地表示， [即学即用] (2)我们也可以用类似函数性质的术语来 3.已知数列号号…n中则0.96是该 描述数列.例如，从第2项起，每一项都大 n 于它的前一项的数列称为递增数列；从第 数列的 ( 2项起，每一项都小于它的前一项的数列 A.第20项 B.第22项 称为递减数列；各项都相等的数列称为常 C.第24项 D.第26项 数数列（简称为常数列）. 43 寒假作业读书是在别人思想的帮助下，建立起自己的思想。 [每日格言] [即学即用] 6.已知数列{an}的通项公式为an=p”十g 5.已知数列{am}的通项公式为am=2n-3, 判断这个数列是递增数列还是递减数列： （p,g∈R0,且a=-分a,=-名 (1)求{an}的通项公式； (2)- 是a,中的第几项？ (3)该数列是递增数列还是递减数列？ 二、数列中的递推关系 知识点1数列的递推关系 知识点2 数列的前n项和 ! 如果已知数列的首项（或前几项），且数 般地，给定数列{an},称Sn=a1十a2十 列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一 a3十…十am为数列{an}的前n项和.显然有 个公式来表示，则称这个公式为数列的递推 S1,n=1, an= 关系（也称为递推公式或递归公式）， Sn-Sn-1,n≥2(n∈N+). [即学即用] ! [即学即用] 1.数列{an}满足an=4a-1十3(n>1),且 3.已知数列{am}的通项公式为an=(一1)”， a1=0,则此数列的第5项是 ( 则其前n项和S,为 () A.15 B.255 A.-1 B.1 C.16 D.63 C.0 D.0或一1 2.设数列{a,}满足a,=1,a,=1十1(m>1), 4.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+bn十c, an- 且S1=3,S2=7.求 写出这个数列的前5项. (1)b,c的值； (2)数列{an}的通项公式寒假作业读书不觉已春深，一寸光阴一寸金。 X-10X20X20280X780)=765.625>10.828, 800×200×200×800 所以依据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H。 不成立，即认为超声波检查结果与是否患该疾病有关. 3.解析(1)这组数据的极差为216.93一206.78=10.15， 中位数为209.35+210.68=210.015. (2)记“从这10个数据中任选3个，恰有2个数据在211以 上”为事件A, 由题可知，这10个数据中在211以上的有4个， 故P(A)=CC-6X6=3 12010 (3)由题可知，x=2006,y=211.399, 代入y=-0.311x+b,得211.399=-0.311×2006+b, 解得=835.265， 则y=-0.311x+835.265， 将x=2028代入，得y=204.557≈204.56 故预测2028年冠军队的成绩为204.56秒. 【易误警示】 [示例1][解析]从所给的列联表中可知病人有两种类 型：做过心脏搭桥手术和做过血管清障手术，每种类型又 有两种情况：又发作过心脏病和未发作过心脏病.问题是 用表中所给出的数据来检验上述两种状态是否有关系，这 是一个独立性检验问题，解决的方法是通过构造X统计 量观察值来研究.提出假设H。:做过心脏搭桥手术与又发 作心脏病没有关系 由于a=39,b=157,c=29,d=167,a+b=196,c+d= 196,a+c=68,b十d=324,n=392,由公式可得x2统计量 n(ad-bc) 观测值为X=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d 第二部分 一、数列的概念 【即学即用】 1.解析此数列共有7项，首项为98，末项为280. 答案798280 2.解析①④为有穷数列，②③为无穷数列， 答案 ①④②③ 3.C由n11=0.96,解得n=24.故选C 4.解析（1)由通项公式可知 22-1 52-124_8 a4=2X2=1a:-2×5-19-3 (2)由通项公式可知 6=sin登-sinx=0,=sim经=n受-1. 5.解析：a+1一an=2(n十1)一3-(2n-3)=2>0, .an+1 >an(n∈N). .数列{an}为递增数列， 6.解析（1)"a,=p"+g,且a1=-24,= 3 4 1 p十q=-2' 1 解得p=2 (p2+g=-3 q=-1, a,的通项公式是a,=(号》广-1. (2)令an= 中()-1=鬻 第三部分 综合检测卷 1.C2.A3.C4.B5.C 6.B设“C正常工作”为事件G,“D正常工作”为事件H, “A与B中至少有一个不正常工作”为事件T,“E与F中 至少有一个不正常工作”为事件R,则P(G)=P(HD)=2, P(T)=P(R)=1-合×日=圣，所以系统正常工作的 叛率P=1-P(T)P(R)P(G)P(A)-器故选B [每日格言] 392×(39×167-157×29)2 196×196×68×324 =1.78, 因为X=1.78<2.706,推断H。成立，所以我们没有理由 说“做过心脏搭桥手术”与“又发作心脏病”之间有关系. [示例2][解析](1)设y关于u的相关系数为r1,v关于 x的相关系数为r2,由题意，得 2(u-)(y-) =1 130 r=1 2w-含(% W/11250×2 1 (x,-)(0-0) -1 12 r2= 公a-含- √65×2.613≈0.92. 三1 因为m<r2,所以从相关系数的角度看，模型y=e+ 的拟合程度更好. (2)(1)由y=e+“,得lny=t十ax,即v=t十x, (x,-x)(g- i=1 2=12≈0.18， (x-x)2 65 i=0-Ax=5.36-号×26=0.56， i-1 651 所以v关于x的回归直线方程为元=0.18x十0.56， 所以lny=0.18x十0.56，则y=e.18z+o.56 （i)将y=200代入y=e.18r+o.56,则21n5十31n2= 0.18x十0.56，解得x≈26.32， 所以预测2026年的年研发资金投入额为26.32亿元. 新知预习 (合》广一6解得0-8故是a,中的第8项 (3):a,=(分)广-1，且（合）广随m的增大而减小， ∴.a.的值随n的增大而减小， ∴.{an}是递减数列. 二、数列中的递推关系 【即学即用】 1.B由已知，得a2=4a1+3=3,a3=4a2+3=15,a4= 4a3十3=63，a5=4a4十3=255.故选B. 2.解析由已知，得a,=1+1=2,a,=1十1 3 a =2,a4 1+1=5, a3 4=1十日-号故此数列的前5项为1,2， 358 z’35 3.D当n为奇数时，Sn=(-1)”=-1,当n为偶数时S。=0. 故选D. 4解析0白题意，好十站2，年得伦： (2)由(1)，得Sn=n2+n十1时，当n=1时，a1=S1=3, 当n2时，an=n2+n+1-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n, /3,n=1, 所以a,={2m,n≥2(n∈N+). 综合提升 16 7.D因为号+号1，所以点A(1,号)在描国C的内部，设描圆 号+苦=1的右焦点为R,易知F20以由A(1号)，得 1AF=;,根据椭圆的定义可得PF+|PF=2a=6,所以 |PA+|PF=|PAI+6-IPFL.因为|PA-|PFI≥-IAFI,所 以PA+PF≥6-AF=6-号-号，所以1PA+PF的最 小值为3.故选D