作业(十五)统计案例-【假期作业】2026年高二数学寒假假期作业（北师大版·新教材）

寒假作业成功无捷径，学习当奋斗！ 作业（十流） 统计案例 1知识整合 1.相关关系 如果两个变量之间确实有一定的关系，但 没有达到可以互相决定的程度，它们之间 的关系带有一定的随机性，像这样两个变 量之间的关系，统计学上都称为相关关系 2.线性相关 (1)线性相关：如果由变量的成对数据、散 点图或直观经验可知，变量x与变量y之 间的关系可以近似地用一次函数来刻画， 则称x与y线性相关. (2)正相关和负相关 若x与y线性相关，如果一个变量增大， 另一个变量大体上也增大，则称这两个变 量正相关；如果一个变量增大，另一个变量 大体上减小，则称这两个变量负相关 3.线性回归方程Y=a十bX中 (x,-x)(y一) 6=1 2xy:一nxy (x,-x)2 xi-nz i=1 i=1 a=y-bx. 4.线性回归方程Y=a十bX的性质 (1)回归直线一定过点(x,y), (2)回归系数的实际意义 ①是回归方程的斜率； ②当X增大一个单位时，Y增大个 单位 5.相关系数 (1)定义 统计学里一般用 2(x,-x)(y一y) 含x,-含0.- 38 [每日格言] 今 月 日 日 星期 历 天气 xy:一nxy i=1 ,(2x-n2)(-ny) i= 来衡量y与x的线性相关性强弱，这里的 称为线性相关系数（简称为相关系数）. (2)性质 ①|r≤1，且y与x正相关的充要条件是 r>0,y与x负相关的充要条件是r<0; ②x越小，说明两个变量之间的线性相关 性越弱，|r越大，说明两个变量之间的线 性相关性越强； ③x=1的充要条件是成对数据构成的 点都在回归直线上 6.2×2列联表 (1)定义：如果随机事件A与B的样本数 据整理成如下的表格形式. A A 总计 B a b a+b B d c+d 总计 atc b+d a+b+c+d 因为这个表格中，核心数据是中间4个格 子，所以这样的表格通常称为2×2列 联表。 (2)x2计算公式： n(ad-bc)2 X=a+b)C+)a+c)6+d,其中 n=a+b+c+d. 7.独立性检验 任意给定一个α（称为显著性水平，通常取 为0.05,0.01等)，可以找到满足条件 P(x≥k)=a的数k(称为显著性水平a对 应的分位数)，就称在犯错误的概率不超 过a的前提下，可以认为A与B不独立 [每日格言】知识给人重量，成就给人光彩，大多数人只 (也称为A与B有关)；或说有1一α的把 握认为A与B有关.若X<k成立，就称 不能得到前述结论.这一过程通常称为独 立性检验， 2基础演练 1.(2025·北京丰台区高二期末)下列两个变 量具有相关关系的是 A.正方体的体积与棱长 B.汽车匀速行驶时的路程与时间 C.人的体重与饭量 D.人的身高与视力 2.一位母亲记录了儿子3~9岁的身高，数据 (略)，由此建立的身高与年龄的回归模型 为y=7.19x+73.93,用这个模型预测这 个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是 A.身高一定是145.83cm B.身高在145.83cm以上 C.身高在145.83cm左右 D.身高在145.83cm以下 3.下表是甲、乙两个班级进行数学考试，按学 生考试及格与不及格统计成绩后的2×2 列联表，则x的值为 ( 不及格 及格 合计 甲班 12 33 45 乙班 9 36 45 合计 21 69 90 A.0.559 B.0.456 C.0.443 D.0.4 4.(2025·河南洛阳模拟)某科技公司随着技 术的进步和管理的逐渐规范，生产成本逐 年降低，该公司对2012年至2024年的生 产成本y(万元)进行统计，根据统计数据 作出如下散点图： 3 看到了光彩，而不去称量重量。高二数学（配BSD版） 生产成本y万元 3600 3500 340( 3300 3200 3100 --- 3000 由此散点图，判断下列四个经验回归方程 类型中最适合作为2012年至2024年该公 司的生产成本y与时间变量x(x的值依 次为1,2，…，13)的经验回归方程类型 的是 () A.y=ax2+b(a>0) B.y=ax+b(a>0) C.y=aln x+b(a<0) D.y=&+b(a<0) 3综合演练 1.在一组样本数据(x1,y1),（x2,y2),…, (xm,yn)(n≥2，x1,x2,…,xm不相等)的散 点图中，若所有样本点(x,y:)(i=1, 2…,W都在直线y=+3上，则这组 样本数据的相关系数r= A.-1 c- D.1 2.已知变量y关于x的回归方程为y= ec-o.6,若对y=ec-o.6两边取自然对数，可 以发现lny与x线性相关，现有一组数据 如下表所示： 5 则当x=6时，预测y的值为 A.9 B.8 C.e D.es 寒假作业人的一生就是进行尝试，尝试得越多，生 3.根据分类变量x与y的观察数据，计算得 到x2=2.974,依据下表给出的x2独立性 检验中的小概率值和相应的临界值，作出 下列判断，正确的是 ( 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A.有95%的把握认为变量x与y独立 B.有95%的把握认为变量x与y不独立 C.变量x与y独立，这个结论犯错误的概 率不超过10% D.变量x与y不独立，这个结论犯错误的 概率不超过10% 4.(多选)某公司过去五个月的广告费支出x (单元：万元)与销售额y(单位：万元)之间 有下列对应数据： 8 40 60 50 70 工作人员不慎将表格中y的第一个数据丢 失.已知y对x呈线性相关关系，且回归方 程为y=6.5x十17.5，则下列说法正确 的有 ( A.销售额y与广告费支出x正相关 B.丢失的数据（表中▲处）为30 C.该公司广告费支出每增加1万元，销售 额一定增加6.5万元 D.若该公司下月广告费支出为8万元，则 销售额约为75万元 5.(2025·济宁模拟)某传媒公司针对“社交 电商用户是否存在性别差异”进行调查，共 调查了40n(n∈N+)个人，得到如下列联 表.若根据独立性检验有95%的把握认为 “社交电商用户存在性别差异”，则n的最 小值为 活就越美好。 [每日格言] 是社交电商用户 不是社交电商用户合计 男性 8n 12m 20n 女性 12n 8n 20n 合计 20n 20n 40m 参考公式： n(ad-bc)2 X=a+bd+0(ac(6+D,其中n= a+b+c+d. 6.某公司为了预测下月产品销售情况，找出 了近7个月的产品销售量y(单位：万件) 的统计表： 月份代码t 1 2 3 4 5 6 7 销售量y y2 y3 y4 (万件) 但其中数据污损不清，经查证y,=9.32, i=1 4=40.1720y-=0.5. (1)请用相关系数说明销售量y与月份代 码t有很强的线性相关关系； (2)求y关于t的回归方程（系数精确到 0.01)； (3)公司经营期间的广告宣传费x:=√ (单位：万元)（i=1,2,…,7),每件产品的 销售价为10元，预测第8个月的毛利润能 否突破15万元，请说明理由.（毛利润等于 销售金额减去广告宣传费) 参考公式及数据：√7≈2.646，相关系数r= 2(4-0y-) =,当|r>0.75时， √2(，-02，-y)” 认为两个变量有很强的线性相关关系，回 [每日格言]对于最有能力的领航人，风浪总是格外的 归方程y=t十a中斜率和截距的最小二 乘估计公式分别为 2(t:-t)(y:-y ,a=y-bi. 2) 4真题体验 1.(2025·天津卷)已知r为相关系数，则下 列说法错误的是 () A.若X~N(μ，o2),则P(X≤一o)= P(X≥μ十o) B.若X~N(1,22),Y~N(2,2),则 P(X<1)<P(Y<2) C.r越接近1，相关性越强 D.|r越接近0，相关性越弱 2.(2025·全国一卷)为研究某疾病与超声波 检查结果的关系，从做过超声波检查的人 群中随机调查了1000人，得到如下列 联表： 超声波检查结果 组别 合计 正常 不正常 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 女 汹涌。 高二数学（配BSD版） (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病 的概率为p,求p的估计值； (2)根据小概率值α=0.001的独立性检 验，分析超声波检查结果是否与患该疾病 有关 n(ad-bc)2 x-(a+b)(cFd)(a+e)(6+d)' P(x2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 3.(2025·上海卷)2024年巴黎奥运会，中国 获得了男子4×100米混合泳接力金牌，以 下是历届奥运会男子4×100米混合泳接 力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照 升序排列 206.78207.46207.95209.34209.35 210.68213.73214.84216.93216.93 (1)求这组数据的极差与中位数； (2)从这10个数据中任选3个，求恰有2 个数据在211以上的概率； (3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程 为y=一0.311x+b,年份x的平均数为 2006,预测2028年冠军队的成绩（精确到 0.01秒) 寒假作业真正的价值并不在人生的舞台上，而在手 5易误警示 易错一对独立性检验不理解致误 [示例1]对196位接受心脏搭桥手术的病 人和196位接受血管清障手术的病人进行 了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作 过心脏病，调查结果如下表所示： 又发作过 未发作过 合计 心脏病 心脏病 心脏搭桥手术 39 157 196 血管清障手术 29 167 196 合计 68 324 392 由上表可以发现：接受心脏搭桥手术的病 人又发作过心脏病的比接受血管清障手术 的病人又发作过心脏病的要多一些.于是 有人下结论说，在这两种手术中，接受心脏 搭桥手术与又发作心脏病有关系.你认为 这一判断科学吗？ 名师叮嘱 独立性检验的基本思想类似于数学中的反 证法，要确认两个分类变量有关系这一结论成立 的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设 “两个分类变量没有关系”成立，在该假设下构造 x2统计量.如果x2的观测值较大则在一定程度 上说明假设不合理，具体地说，若x2>10.828,则 有99.9%的把握认为“两个分类变量有关系”；若 x>6.635,则有99%的把握认为“两个分类变量 有关系”；若x2>2.706,则有90%的把握认为 “两个分类变量有关系”；而若x2≤2.706，则认为 没有充分的证据显示两个分类变量有关系，但不 能说明两分类变量无关， 女 民们扮演的角色中。 [每日格言] 易错二对相关系数不理解致误 [示例2]我国为全面建设社会主义现代化 国家，制定了从2021年到2025年的“十四 五”规划.某企业为响应国家号召，汇聚科 研力量，加强科技创新，准备增加研发资 金.现该企业为了解年研发资金投入额x (单位：亿元)对年盈利额y(单位：亿元)的 影响，研究了“十二五”和“十三五”规划发 展期间近10年年研发资金投入额x:和年 盈利额y:的数据.通过对比分析，建立了 两个函数模型：①y=a十Bx2,②y=e+t, 其中a,B,入，t均为常数，e为自然对数的底 数.令u,=x,,=lny:(i=1,2,…,10),经 计算得如下数据： y 2(x,-) (y.-9) u 1 26215 65 2 680 5.36 u 2(u,-0)· 10 是(u,-2 (x-x)· =1 -u)2 (y:-y) (:-o) 11250 130 2.6 12 (1)哪一个模型拟合程度更好，并说明理由. (2)(1)根据(1)的选择及表中数据，建立y 关于x的回归方程（回归系数精确到0.01）； (iⅱ)若希望2026年年盈利额y为200亿 元，请预测2026年的年研发资金投入额x 为多少亿元（结果精确到0.01）. 参考数据：ln2≈0.693，ln5≈1.609. 名师叮嘱 (1)相关系数判定两变量线性相关关系的强弱. (2)利用相关系数还可比较两个非线性模型拟合 程度的优劣，方法是用换元法把它们化为线性相 关模型，然后比较其相关系数.[每日格言]相信是成功的起点，坚持是成功的终点 所以的分布列为 2 1 5 5 5 E=1×号+2×号+3×=2. 设考生乙正确完成实验操作的题数为， 易知B(3,号)》 所以P(-0)=C(1-号)广=， P(D-c(号)广--号 9 P(2)=G(号)广(-)广- P()=C(哈)广=8 所以？的分布列为 0 1 2 3 P 2 27 9 9 27 E7-3×号-2. (2)由(1)，知E=E7=2, Ds=(1-2)2×号+(2-2)×是+(3-2)2x日=号， Dg=3x号×(1-号）=号， p(≥2)-+日-P(7≥2)-音+-9 2727 所以DEDn,P(≥2)>P(n≥2). 故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平 相当；从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的 水平更稳定；从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通 过的可能性更大 因此甲的实验操作能力较强， 【真题体验】 1.BC由题意可知，X~N(1.8,0.1),所以P(X>2)< P(X>1.8)=0.5,P(X<1.9)≈0.8413，所以P(X>2) <P(X≥1.9)=1-P(X<1.9)≈1-0.8413=0.1587< 0.2,所以A错误，B正确.因为Y~N(2.1,0.1),所以P(Y< 2.2)≈0.8413，P(Y>2)>P(Y>2.1)=0.5,所以P(2<Y< 2.1)=P(2.1<Y<2.2)=P(Y<2.2)-P(Y2.1)≈0.8413 -0.5=0.3413,所以P(Y>2)=P(2<Y<2.1)+ P(Y≥2.1)≈0.3413+0.5=0.8413>0.8，所以C正确， D错误.综上，选BC. 2.解析X的所有可能取值为1,2,3，则P(X=1)= c(号)°==房P(X=2)=c(号)广x6=器 px-0-cx(信）×6=2 12 25 ,所以X的分布 列为 X 2 P 12 25 25 25 所以Ex=1+2x号+3x器-需 25 答案 61 25 【易误警示】 [示例1][解析]概率密度函数”(x)和(x)的图象关 于同一条直线对称，所以h2一凸·又”（x)的图象的对称 而的用餐醉种春的右线整省省家网为 知概率密度函数9(x)和P2(x)的图象一样“高瘦”，9（x) 的图象明显“矮胖”，从而可知01=2<0.故选D. [答案]D [示例2][解析](1)设A表示“甲、乙两人的演出序号至 少有一个为奇数”，则A表示“甲、乙两人的演出序号均为 偶数”，故 5 高二数学（配BSD版） PA)-1Pa)=1-=1-吉-专 (2)的取值范围为{0,1,2,3,4}，则 P(=0)=5A=3,P(=1)-4-4 A 3 A =15 P(=2)=A=5,P(3)=2 A= P(=4)= A2_1 =151 所以￡的分布列为 0 1 2 3 4 力 4 1 3 5 15 15 所以=0号+1×+2吉+3×号+4×言=号， D=号×(0-)广+×(1-号)+号×(2-)》 +品×(3-号)'+×（告）广-台， 标准基为v顶-眉 作业（十五）统计案例 【基础演练】 1.C2.C3.A4.C 【综合演练】 1.A2.C3.D4.AB 5.解析由列联表计算X_40nX2mX12m-8m×8m）2 20n×20nX20n×20n 号m≥3.841，则n≥8.841×号=2.40625，所以若有 95%的把握认为“社交电商用户存在性别差异”，则n的最 小值为3. 答案3 6.解析(1)由题中的数据和附注中的参考数据得=4， 24,-i)=28√2(x-)=0., 含4-09%-)=.-x=40.17-4X9.32=2, 所以r= 2.89 ≈0.99>0.75， 2√7×0.55 所以销售量y与月份代码t有很强的线性相关关系 (2)由y=9.2≈1.331及1)，得 7 之)y- _2.89≈0.103， (,-t)2 28 1 a=y-bt≈1.331-0.103×4≈0.92， 所以y关于t的回归方程为y=0.10t十0.92. (3)当t=8时，代入回归方程，得 y=0.10×8+0.92=1.72(万件)， 故第8个月的毛利润为 之=10×1.72-√8=17.2-2×1.414=14.372， 因为14.372<15， 所以预测第8个月的毛利润不能突破15万元. 【真题体验】 1.B对于A,根据正态分布对称性可知，P(X≤u一o)= P(X≥十σ)，A说法正确； 对于B,根据正态分布对称性可知，P(X<1)=P(Y<2)= 0.5,B说法错误； 对于C和D,相关系数|r|越接近0，相关性越弱，越接近 1,相关性越强，故C和D说法正确. 故选B. 2.解析(1)由题表可知，检查结果不正常者有200人，检查 结果不正常者中患有该疾病的有180人， 所以由样本估计总体得p=288-0.9。 (2)零假设H。:超声波检查结果与是否患该疾病无关。 寒假作业读书不觉已春深，一寸光阴一寸金。 X-10X20X20280X780)=765.625>10.828, 800×200×200×800 所以依据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H。 不成立，即认为超声波检查结果与是否患该疾病有关. 3.解析(1)这组数据的极差为216.93一206.78=10.15， 中位数为209.35+210.68=210.015. (2)记“从这10个数据中任选3个，恰有2个数据在211以 上”为事件A, 由题可知，这10个数据中在211以上的有4个， 故P(A)=CC-6X6=3 12010 (3)由题可知，x=2006,y=211.399, 代入y=-0.311x+b,得211.399=-0.311×2006+b, 解得=835.265， 则y=-0.311x+835.265， 将x=2028代入，得y=204.557≈204.56 故预测2028年冠军队的成绩为204.56秒. 【易误警示】 [示例1][解析]从所给的列联表中可知病人有两种类 型：做过心脏搭桥手术和做过血管清障手术，每种类型又 有两种情况：又发作过心脏病和未发作过心脏病.问题是 用表中所给出的数据来检验上述两种状态是否有关系，这 是一个独立性检验问题，解决的方法是通过构造X统计 量观察值来研究.提出假设H。:做过心脏搭桥手术与又发 作心脏病没有关系 由于a=39,b=157,c=29,d=167,a+b=196,c+d= 196,a+c=68,b十d=324,n=392,由公式可得x2统计量 n(ad-bc) 观测值为X=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d 第二部分 一、数列的概念 【即学即用】 1.解析此数列共有7项，首项为98，末项为280. 答案798280 2.解析①④为有穷数列，②③为无穷数列， 答案 ①④②③ 3.C由n11=0.96,解得n=24.故选C 4.解析（1)由通项公式可知 22-1 52-124_8 a4=2X2=1a:-2×5-19-3 (2)由通项公式可知 6=sin登-sinx=0,=sim经=n受-1. 5.解析：a+1一an=2(n十1)一3-(2n-3)=2>0, .an+1 >an(n∈N). .数列{an}为递增数列， 6.解析（1)"a,=p"+g,且a1=-24,= 3 4 1 p十q=-2' 1 解得p=2 (p2+g=-3 q=-1, a,的通项公式是a,=(号》广-1. (2)令an= 中()-1=鬻 第三部分 综合检测卷 1.C2.A3.C4.B5.C 6.B设“C正常工作”为事件G,“D正常工作”为事件H, “A与B中至少有一个不正常工作”为事件T,“E与F中 至少有一个不正常工作”为事件R,则P(G)=P(HD)=2, P(T)=P(R)=1-合×日=圣，所以系统正常工作的 叛率P=1-P(T)P(R)P(G)P(A)-器故选B [每日格言] 392×(39×167-157×29)2 196×196×68×324 =1.78, 因为X=1.78<2.706,推断H。成立，所以我们没有理由 说“做过心脏搭桥手术”与“又发作心脏病”之间有关系. [示例2][解析](1)设y关于u的相关系数为r1,v关于 x的相关系数为r2,由题意，得 2(u-)(y-) =1 130 r=1 2w-含(% W/11250×2 1 (x,-)(0-0) -1 12 r2= 公a-含- √65×2.613≈0.92. 三1 因为m<r2,所以从相关系数的角度看，模型y=e+ 的拟合程度更好. (2)(1)由y=e+“,得lny=t十ax,即v=t十x, (x,-x)(g- i=1 2=12≈0.18， (x-x)2 65 i=0-Ax=5.36-号×26=0.56， i-1 651 所以v关于x的回归直线方程为元=0.18x十0.56， 所以lny=0.18x十0.56，则y=e.18z+o.56 （i)将y=200代入y=e.18r+o.56,则21n5十31n2= 0.18x十0.56，解得x≈26.32， 所以预测2026年的年研发资金投入额为26.32亿元. 新知预习 (合》广一6解得0-8故是a,中的第8项 (3):a,=(分)广-1，且（合）广随m的增大而减小， ∴.a.的值随n的增大而减小， ∴.{an}是递减数列. 二、数列中的递推关系 【即学即用】 1.B由已知，得a2=4a1+3=3,a3=4a2+3=15,a4= 4a3十3=63，a5=4a4十3=255.故选B. 2.解析由已知，得a,=1+1=2,a,=1十1 3 a =2,a4 1+1=5, a3 4=1十日-号故此数列的前5项为1,2， 358 z’35 3.D当n为奇数时，Sn=(-1)”=-1,当n为偶数时S。=0. 故选D. 4解析0白题意，好十站2，年得伦： (2)由(1)，得Sn=n2+n十1时，当n=1时，a1=S1=3, 当n2时，an=n2+n+1-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n, /3,n=1, 所以a,={2m,n≥2(n∈N+). 综合提升 16 7.D因为号+号1，所以点A(1,号)在描国C的内部，设描圆 号+苦=1的右焦点为R,易知F20以由A(1号)，得 1AF=;,根据椭圆的定义可得PF+|PF=2a=6,所以 |PA+|PF=|PAI+6-IPFL.因为|PA-|PFI≥-IAFI,所 以PA+PF≥6-AF=6-号-号，所以1PA+PF的最 小值为3.故选D