作业(十四)离散型随机变量的均值与方差、正态分布-【假期作业】2026年高二数学寒假假期作业（北师大版·新教材）

寒假作业一个有坚强心志的人，财产可以被人 故P(D+}1-P(D)=0.8,即p1+号×(1-)= 0.8,故p1=15’ 11 同理有0.85A,十×1-p,)=0.75,故A,=号， 故p1<P2 【易误警示】 [示例1][解析]记两个球都是红球为事件A,至少有一 CC 个红球为事件B,则(AB)=PCAB) C 1 P(B) CC+CC=6· C 故选A [答案]A [示例2][解析]令A1=“每天玩手机时间超过1h的学 生”，A2=“每天玩手机时间不超过1h的学生”，B=“任意 调查一名学生，此人近视”，则2=AUA2,且A1,A2互斥， P(A1)=0.2,P(A2)=0.8,P(BA1)=0.5,P(B)=0.4. 依题意，P(B)=P(A,)P(B|A,)+P(A2)P(B|A2)= 0.2X0.5+0.8XP(BA,)=0,4,解得P(BlA,)=日，所 以所求概率为令，故选B [答案]B 作业（十三）离散型随机变量及其分布列、 二项分布与超几何分布 【基础演练】 1.B2.D3.D4.C 【综合演练】 1.AB 2.C 3.B 4.B 5.BC 6.解析(1)0.01×10×5+0.02×10×15+0.015×10× 25+0.03×10×35+0.025×10×45=29, 故估计这500次试验中该AI模型正确识别图象数量的均 值为29. (2)设1次试验中正确识别图象数量不少于20个的概率 为p,则p=0.015×10+0.03×10+0.025×10=0.7, 则XB(3,0.7),X=0,1,2,3, P(X=0)=C3X0.7°X0.3=0.027;P(X=1)=C8× 0.7×0.32=0.189;P(X=2)=C×0.72×0.3=0.441; P(X=3)=C3×0.73X0.3°=0.343. X的分布列为 X 0 1 2 P0.0270.1890.4410.343 EX=3×0.7=2.1. 【真题体验】 1.解析小桐一周跑11圈的概率p=0.5×0.6+0.5× 0.6=0.6.小桐一周运动量达标的概率p=1一0.5×0.4= 0.8,显然X服从二项分布B(4,0.8),故EX=4×0.8=3. 答案0.63.2 2.解析(1)记甲学校获得冠军为事件A, 则P(A)=0.5×0.4×(1-0.8)+0.5×(1-0.4)×0.8+ (1-0.5)×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8=0.6, 所以甲学校获得冠军的概率是0.6. (2)X的可能取值为0,10,20,30， 则P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16, P(X=10)=0.5×0.4×(1-0.8)+0.5×(1-0.4)× 0.8+(1-0.5)×0.4×0.8=0.44, P(X=20)=0.5×(1-0.4)×(1-0.8)+(1-0.5)× (1-0.4)×0.8+(1-0.5)×0.4×(1-0.8)=0.34, P(X=30)=(1-0.5)×(1-0.4)×(1-0.8)=0.06, 故X的分布列为 X0102030 P(X)0.160.440.340.06 X的期望值为EX=0×0.16+10×0.44+20×0.34+ 30×0.06=13, 【易误警示】 [示例1][解析]符合离散型随机变量的定义，C符合连 续型随机变量的定义，故选ABD. [答案]ABD 掠夺，勇气却不会被人剥夺的。 [每日格言] [示例2][解析](1)由题意知的取值范围为{0,1}，所 以服从两点分布. 3 7 P(=1)=0,则P(=0)=1-P(=1)=10 因此的分布列为 0 1 P 3 10 10 (2)若每次抽取后都放回，则每次抽到一等品的概率均为 号，3次抽取可以看成3次独主重复试验，国此刀 B(,品)，它的会布列为P(=)=C(品)广()。 =0,1,2,3,如表： 7 0 3 343 441 189 27 1000 1000 1000 1000 (3)①若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可看成随 机抽取1次，且1次抽取了3件，因此一等品件数X服从 超几何分布，所以从10件产品中任意抽取3件，其中恰有 m件一等品的概率为P(X=m)= CC ,m=0,1,2,3, 所以X的分布列为 0 1 2 3 P 7 21 7 24 40 40 120 ②设事件A为“抽取到的3件产品中一等品件数多于二等 品件数”，A1为“抽取到的3件产品中恰好有1件一等品 和2件三等品”，A2为“抽取到的3件产品中恰好有2件一 等品”，A,为“抽取到的3件产品均为一等品”，则事件A1, A2,A3彼此互斥，且A=A1UA2UA3 7 因为P(A1)= 9=3,P(A)=P(X=2)=40' C。 P(A3)=P(X=3)=120' 31 所以P(A)=P(A1)+P(A,)+P(A)=20,即抽取到 的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为0： 作业（十四） 离散型随机变量的均值与方差、 正态分布 【基础演练】 1.AC2.B3A4子号 【综合演练】 1.C 2.A 3.BCD 4.BC 5.解折X的取值范国为3,4,5)，且P(X=3)=CC- pcX=)-等-是px=5)-答-品 3 Cg141 :EX=3×是+4X员+5×品=([另解]设专为取出 的未使用过的乒乓球，则的取值范围为{1,2,3}，则X +2,Bx=E+2)=3+2=).Dx=(3)× 景+(4-)×祭+(6-)×-品（另解]Ex =3×亮×崇+5×音-器DX=Bx-(Ex0= 器) 答案 1745 4112 6.解析(1)设考生甲正确完成实验操作的题数为，则￡的 取值范围是{1,2,3}， P(=1)==5,P(=2)=4=3 5 01 P(=3)= [每日格言]相信是成功的起点，坚持是成功的终点 所以的分布列为 2 1 5 5 5 E=1×号+2×号+3×=2. 设考生乙正确完成实验操作的题数为， 易知B(3,号)》 所以P(-0)=C(1-号)广=， P(D-c(号)广--号 9 P(2)=G(号)广(-)广- P()=C(哈)广=8 所以？的分布列为 0 1 2 3 P 2 27 9 9 27 E7-3×号-2. (2)由(1)，知E=E7=2, Ds=(1-2)2×号+(2-2)×是+(3-2)2x日=号， Dg=3x号×(1-号）=号， p(≥2)-+日-P(7≥2)-音+-9 2727 所以DEDn,P(≥2)>P(n≥2). 故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平 相当；从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的 水平更稳定；从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通 过的可能性更大 因此甲的实验操作能力较强， 【真题体验】 1.BC由题意可知，X~N(1.8,0.1),所以P(X>2)< P(X>1.8)=0.5,P(X<1.9)≈0.8413，所以P(X>2) <P(X≥1.9)=1-P(X<1.9)≈1-0.8413=0.1587< 0.2,所以A错误，B正确.因为Y~N(2.1,0.1),所以P(Y< 2.2)≈0.8413，P(Y>2)>P(Y>2.1)=0.5,所以P(2<Y< 2.1)=P(2.1<Y<2.2)=P(Y<2.2)-P(Y2.1)≈0.8413 -0.5=0.3413,所以P(Y>2)=P(2<Y<2.1)+ P(Y≥2.1)≈0.3413+0.5=0.8413>0.8，所以C正确， D错误.综上，选BC. 2.解析X的所有可能取值为1,2,3，则P(X=1)= c(号)°==房P(X=2)=c(号)广x6=器 px-0-cx(信）×6=2 12 25 ,所以X的分布 列为 X 2 P 12 25 25 25 所以Ex=1+2x号+3x器-需 25 答案 61 25 【易误警示】 [示例1][解析]概率密度函数”(x)和(x)的图象关 于同一条直线对称，所以h2一凸·又”（x)的图象的对称 而的用餐醉种春的右线整省省家网为 知概率密度函数9(x)和P2(x)的图象一样“高瘦”，9（x) 的图象明显“矮胖”，从而可知01=2<0.故选D. [答案]D [示例2][解析](1)设A表示“甲、乙两人的演出序号至 少有一个为奇数”，则A表示“甲、乙两人的演出序号均为 偶数”，故 5 高二数学（配BSD版） PA)-1Pa)=1-=1-吉-专 (2)的取值范围为{0,1,2,3,4}，则 P(=0)=5A=3,P(=1)-4-4 A 3 A =15 P(=2)=A=5,P(3)=2 A= P(=4)= A2_1 =151 所以￡的分布列为 0 1 2 3 4 力 4 1 3 5 15 15 所以=0号+1×+2吉+3×号+4×言=号， D=号×(0-)广+×(1-号)+号×(2-)》 +品×(3-号)'+×（告）广-台， 标准基为v顶-眉 作业（十五）统计案例 【基础演练】 1.C2.C3.A4.C 【综合演练】 1.A2.C3.D4.AB 5.解析由列联表计算X_40nX2mX12m-8m×8m）2 20n×20nX20n×20n 号m≥3.841，则n≥8.841×号=2.40625，所以若有 95%的把握认为“社交电商用户存在性别差异”，则n的最 小值为3. 答案3 6.解析(1)由题中的数据和附注中的参考数据得=4， 24,-i)=28√2(x-)=0., 含4-09%-)=.-x=40.17-4X9.32=2, 所以r= 2.89 ≈0.99>0.75， 2√7×0.55 所以销售量y与月份代码t有很强的线性相关关系 (2)由y=9.2≈1.331及1)，得 7 之)y- _2.89≈0.103， (,-t)2 28 1 a=y-bt≈1.331-0.103×4≈0.92， 所以y关于t的回归方程为y=0.10t十0.92. (3)当t=8时，代入回归方程，得 y=0.10×8+0.92=1.72(万件)， 故第8个月的毛利润为 之=10×1.72-√8=17.2-2×1.414=14.372， 因为14.372<15， 所以预测第8个月的毛利润不能突破15万元. 【真题体验】 1.B对于A,根据正态分布对称性可知，P(X≤u一o)= P(X≥十σ)，A说法正确； 对于B,根据正态分布对称性可知，P(X<1)=P(Y<2)= 0.5,B说法错误； 对于C和D,相关系数|r|越接近0，相关性越弱，越接近 1,相关性越强，故C和D说法正确. 故选B. 2.解析(1)由题表可知，检查结果不正常者有200人，检查 结果不正常者中患有该疾病的有180人， 所以由样本估计总体得p=288-0.9。 (2)零假设H。:超声波检查结果与是否患该疾病无关。[每日格言]坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得 作业（十四） 离散型随机变量的均值与方 1知识整合 1.均值或数学期望 (1)定义：设离散型随机变量X的分布列 如下表所示 X ò Pn 则称EX=x11十x2p2十…十xnpm= 之x,为随机变量X的均值或数学期望 (简称期望) (2)意义：它刻画了X的平均取值. (3)性质：若X与Y都是随机变量，且Y= aX十b(a≠0)，则EY=aEX+b. 2.离散型随机变量的方差与标准差 (1)定义：若离散型随机变量X的分布列 如下表所示 X P P Pi P. 则DX=(x1-EX)2p1+（x2-EX)2p2十 +z,-EXA=2(-EX),称为 离散型随机变量X的方差；√DX称为离散 型随机变量X的标准差，记作σx (2)意义：方差和标准差均刻画一个离散型 随机变量的离散程度（或波动大小）. (3)性质：若X与Y都是随机变量，且Y= aX十b(a≠0)，则DY=a2DX. 3.两点分布、二项分布及超几何分布的均值、 方差 (1)若随机变量X服从参数为p的两点分 布，则EX=p;DX=p(1一p) (2)若X服从参数为n,p的二项分布， 即X~B(n,p),则EX=np;DX= np(1-), 35 坚强。 高二数学（配BSD版） 今 月 日 星期 差、正态分布 天气 (3)若X服从参数为N,,M的超几何分 布，即X~H(N,,MD,则EX=nM 4.正态曲线及其性质 (1)正态曲线的定义 一般地，函数9(x）=1 e产对应的 0√2π 图象称为正态曲线，其中μ=EX, 6=√DX, (2)正态曲线的性质 ①正态曲线关于x=4对称（即4决定正 态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边 低的特点； ②正态曲线与x轴所围成的图形面积为1； ③。决定正态曲线的“胖瘦”：。越大，说明 标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲 线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据 的集中程度越强，所以曲线越“瘦”. 5.正态分布 (1)一般地，如果随机变量X落在区间[a,b] 内的概率，总是等于P（x)对应的正态曲 线与x轴在区间[a,b]内围成的面积，则称 X服从参数为4与。的正态分布，记作 X~N(μ，o2).此时g.(x)称为X的概率 密度函数， (2)正态分布在三个特殊区间内取值的概 率值 P(μ-o≤X≤μ十σ)≈68.3%. P(4-2o≤X≤十2o)≈95.4%. P(4-3≤X≤μ十3o)≈99.7%. 6.标准正态分布 μ=0且σ=1的正态分布称为标准正态分 布，记作X~N(0,1). 寒假作业当一个人用工作去迎接光明，光明很快京 2基础演练 1.(多选)(2025·如皋部分学校诊断测试)已 知随机变量X,Y,其中Y=3X+1,随机变 量X的分布列如下表： X 3 4 5 1 1 P m 10 5 n 10 若EX=3,则 Am一是 Ra=目 C.EY=10 D.DY=21 2.关于正态曲线函数(x)=。e#,下 G√2元 列说法错误的是 ( ) A.曲线关于直线x=:对称，峰值为1 √/2π B.曲线都在x轴的上方，左、右两侧与x轴 无限接近，最终可与x轴相交 C.σ越大，曲线越“矮胖” D.对任意σ>0，曲线与x轴围成的面积总 为1 3.已知随机变量￡服从正态分布N(0,σ2)， 且P(<1)=0.6,则P(>-1)=() A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 4.若随机事件A在1次试验中发生的概率 为(0<p<1),用随机变量X表示A在1 次试验中发生的次数，则方差DX的最大 值为 ,此时= 3综合演练 1.若X是离散型随机变量，P(X=)=号， P(X=x,)=},且<，又已知E(X)= 专DX)号，则十：的值为 A. C.3 n号 3 会来照耀着他。 [每日格言] 2.一个口袋中有大小相同的5个球，编号分 别为1,2,3,4,5，从中任取2个球，用X表 示取出球的较大号码，则EX=() A.4 B.5 C.3 D.4.5 3.(多选)(2025·重庆调研)在实际生产中， 通常认为服从正态分布N(4,o)的随机变量 X只取[μ一3o,μ十3o]中的值，这在统计学中 称为3o原则，若X在[4一3o,十3o]外，可以 认为生产线是不正常的.已知P(4一3σ≤ X≤4十3)≈0.9973，某生产线上生产的 零件长度X(单位：cm)服从正态分布 N(1,0.0001),则下列说法正确的是 ( A.P(X=I)=司 B.P(X<0.99)=P(X≥1.01) C.若抽检的10个样本的长度均在[0.99， 1.02]内，可以认为生产线正常 D.若抽检的10个样本中有一个零件的长 度为0.95，则应对生产线进行检修 4.（多选)一块高尔顿板的示意图如图所示， 在一块木板上钉着若干排互相平行但相互 错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适 当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将 小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次 碰到小木钉后都等可能地向左或向右落 下，最后落入底部的格子中.格子从左到右 分别编号为1,2,3，…，6，用X表示小球最 后落入格子的号码，则 ) A.P(X=1)=P(X=6)= 64 B.P(X=2)=P(X=5)= 5 32 C.P(X=3)=P(X=4)= 5 16 D.DX- [每日格言]最重要的就是不要去看远方模糊的，而要 5.一盒中有8个乒乓球，其中6个未使用过， 2个已使用过.现从盒中任取3个球用， 用完后再装回盒中.记盒中已使用过的球 的个数为X,则EX= DX= 6.某高校设计了一个实验学科的考查方案： 考生从6道备选题中一次性随机抽取 3题，按照题目要求独立完成全部实验操 作，规定至少正确完成其中2题才可提交 通过.已知6道备选题中考生甲有4道题 能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题 正确完成的概率都是号，且每题正确完成 与否互不影响。 (1)分别写出甲、乙两位考生正确完成实验 操作的题数的分布列，并计算均值； (2)试从甲、乙两位考生正确完成实验操作 的题数的均值、方差及至少正确完成2题 的概率方面比较两位考生的实验操作 能力. 4真题体验 1.(多选)(2024·新课标I卷)随着“一带一 路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并 举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩 收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样 本，得到推动出口后亩收入的样本均值 x=2.1,样本方差2=0.01.已知该种植 区以往的亩收入X服从正态分布 N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收人 Y服从正态分布N(x,s2),则（若随机变量 Z服从正态分布N(μ，o),则P(Z<十o)≈ 0.8413) A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 3 做手边清楚的事。 高二数学（配BSD版） 2.(2025·全国一卷)有5个相同的球，分别 标有数字1,2,3,4,5，从中有放回地随机 取3次，每次取1个球.记X为这5个球 中至少被取出1次的球的个数，则X的数 学期望EX= 5易误警示 易错一 忽视u,o对正态曲线的影响 [示例1]已知三个随机变量的概率密度函数 9(x)=1 红4)2 ·e(x∈R,i=1,2,3)的 0:√2π 图象如图所示，则 ( y =p1(x) 1=92(x) =p3(x) 0 A.41<42=43,01=02>03 B.h1>42=43,01=02<03 C.h1=2<43,01<02=03 D.41<2=43,01=02<03 名师叮嘱 μ决定正态曲线在坐标轴上的位置；。决定 正态曲线的“胖瘦”，。越大，图象越“胖”；。越小， 图象越“瘦” 易错二不能正确计算分布列致误 [示例2]已知在某公司年会上，甲、乙等 6人分别要进行节目表演，若采用抽签的 方式确定每个人的演出顺序（序号为1， 2,…,6),求： (1)甲、乙两人的演出序号至少有一个为奇 数的概率； (2)甲、乙两人之间的演出节目的个数的 分布列、数学期望、方差、标准差。 名师叮嘱 对于非典型分布列，概率计算准确，分布列 正确，这是正确求得随机变量数字特征的基础.