作业(十三)离散型随机变量及其分布列、二项分布与超几何分布-【假期作业】2026年高二数学寒假假期作业（北师大版·新教材）

[每日格言]共同的事业，共同的斗争，可以使人们产生忍受一切的力量。 高二数学（配BSD版） 作业（三） 月 日 离散型随机变量及其分布列、 台 星期 项分布与超几何分布 天气 1知识整合 (3)离散型随机变量的分布列必须满足： ①p:>0(i=1,2,…,n,…)； 1.离散型随机变量 (1)随机变量与事件的联系 ②22，=A+十十p.十…=1. 一般地，如果X是一个随机变量，a,b都是 3.两点分布 任意实数，那么X=a,X≤b,X>b等都表 一般地，如果随机变量X的分布列能写成 示事件，而且： 如下表格的形式： ①当a≠b时，事件X=a与X=b互斥； 中 1 0 ②事件X≤a与X>a相互对立，因此 P 1-p P(X≤a)+P(X>a)=1. (2)随机变量之间的关系 则称这个随机变量服从参数为力的两点分布. 如果X是一个随机变量，a,b都是实数且 4.n次独立重复试验 a≠0，则Y=aX+b也是一个随机变量， (1)在相同条件下重复n次伯努利试验时， 且P(X=t)=P(Y=at+b): 人们总是约定这n次试验是相互独立的， 2.离散型随机变量的分布列 此时这n次伯努利试验也常称为n次独立 (1)若离散型随机变量X的取值为x1, 重复试验 x2,…,xn,…,随机变量X取x:的概率为 (2)各次试验结果互不影响. :（i=1,2,…,n,…),记作P(X=x:)= (3)每次试验结果只有两种，这两种结果是 p(i=1,2,…,n,…)①.该式也可以列成 对立的 表，如下 5.二项分布 Xi 一般地，如果一次伯努利试验中，出现 P(X=x;) P2 “成功”的概率为p,记q=1一p,且n次独 上表或①式称为离散型随机变量X的分 立重复试验中出现“成功”的次数为X, 布列，简称为X的分布列： 则X的取值范围是{0,1，…，，…，n}, (2)离散型随机变量X的概率分布还可以 而且P{X=k}=Cpg”,k=0,1,…,n, 用图(1)或图(2)来直观表示，其中，图(1) 因此X的分布列如下表所示 中，xk上的矩形宽为1、高为p,因此每个 矩形的面积也恰为p6;图(2)中，x上的线 0 1 k 段长为p: P C%b°gCp'g-1 Cipig"-k Cnp"g 注意到上述X的分布列第二行中的概率 值都是二项展开式(g十p)”=Cp°g”+ Cb'g-1十…十C晚pg”-十…十C%”g°中 对应项的值，因此称X服从参数为n,力的 1X2… x2, 图(1) 图(2) 二项分布，记作X~B(n,p). 31 寒假作业若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。 [每日格言] 6.超几何分布 3.已知随机变量X~B(4,号)，则P(X-3)= (1)定义：一般地，若有总数为N件的甲 乙两类物品，其中甲类有M件(M<N), 从所有物品中随机取出n件(n≤N),则这 A.3 n件中所含甲类物品数X是一个离散型随 机变量，X能取不小于t且不大于s的所 c 有自然数，其中s是M与n中的较小者， 4.若随机变量？的分布列为 t在n不大于乙类物品件数（即n≤N -1 0 1 3 )时取0，否则t取n减乙类物品件数之 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 差（即t=n一(N-M)),而且P(X=)= 则当P(7<x)=0.8时，实数x的取值范 CC,k=1,十1，…，5这里的X称为 围是 ( ) CN A.x≤2 B.1≤x≤2 服从参数为N,n,M的超几何分布 C.1<x≤2 D.1<x<2 (2)记法：X~H(N,n,). (3)分布列：如果X~H(N,n,M)且n十 3综合演练 M一N≤0，则X能取所有不大于s的自然 1.(多选)已知随机变量￡的分布列为 数，此时X的分布列如下表所示. P() =ak(k=1,2,3,4,5),则（) 0 1 k CM CN-M CM CNM CMCNM CM CN'M Aa=品 CN C C C BP(合<×)=号 2基础演练 CP(0<)-是 1.(2025·上饶月考)某县有7个自然村，其 中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅 D.P≥)- 游，被评为“旅游示范村”.现要从该县7个 2.若在15个村庄中有7个村庄需要对口资 自然村里选出3个进行宣传，则恰有2个 金支持，现从中任意选5个村庄，用X表 村是“旅游示范村”的概率为 示这5个村庄中需要对口资金支持的村庄 12 A.35 B8 数，则下列概率中等于C的是 () c D A.P(X=2) B.P(X≤2) C.P(X=4) D.P(X≤4) 2.设X是一个离散型随机变量，其分布列为 3.甲、乙两人进行羽毛球比赛，采用5局3胜 X -1 0 制，胜1局得1分，败1局得0分，无论哪 一方胜3局比赛都结束.假设每局比赛甲 P 2 1 -q g-g 胜的概率是号，各局比赛是相互独立的，那 则g等于 ( 么乙以3：1的比分获胜的概率为() A.1 B或一 2 2 .7 D.2 C. D器 32 [每日格言]积累不是目的，目的是要学会如何运用积累的知识。 高二数学（配BSD版） 4.已知某10件产品中含有次品，且次品率不 4真题体验 超过40%，从这10件产品中抽取2件进 行检查，其次品数为，若P(=1)=碧则 1.(2025·天津卷)小桐操场跑圈，一周2次， 一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的 这10件产品的次品率为 概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次 A.10% B.20% 跑5圈的概率为0.4，跑6圈的概率为 C.30% D.40% 0.6.若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的 5.(多选)已知随机变量X~B(20,号)，若使 概率为0.6，跑6圈的概率为0.4.小桐一 周跑11圈的概率为 ;若一周至少 P(X=)的值最大，则k等于 跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记 A.5 B.6 C.7 D.8 达标周数为X,则期望EX= 6.(2025·重庆南开中学月考)某科技公司研 2.(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体 发了一种新型的AI模型，用于图象识别 育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方 任务.为了测试该模型的性能，对其进行了 得10分，负方得0分，没有平局.三个项目 500次试验，并记录了每次试验中模型正 比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已 确识别图象的数量，得到如下的样本数据 知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 频率分布直方图 0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互 频率 组距 独立. 0.03 0.025 (1)求甲学校获得冠军的概率； 0.02 0.015 (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分 0.01 布列与期望， 01020304050正确识别图象的数量 (1)估计这500次试验中该A1模型正确识 别图象数量的均值（同一组中的数据用该 组区间的中点值作代表)； (2)以频率估计概率，随机对该模型进行3 次试验，用X表示这3次试验中正确识别 图象数量不少于20个的次数，求X的分 布列和数学期望」 33 寒假作业即使爬到最高的山上，一次也只能脚踏实地地迈一步。 [每日格言] 5易误警示 (2)若从这10件产品中随机连续抽取 3次，每次抽取1件，每次抽取后都放回， 易错一不理解离散型随机变量概念 设抽取到一等品的件数为刀，求？的分 [示例1]（多选）下列各量是离散型随机变 布列； 量的是 A.将一枚质地均匀的正方体骰子掷两次， 所得点数之和 B.某篮球运动员6次罚球投中的次数 C.某同学离开自己学校的距离 D.变量= 10(71000) (其中？为电视机 1(≥1000) 的使用寿命，单位：h) 名师叮嘱 在一定条件下，连续型随机变量可转化为离 散型随机变量.例如本题中的D选项，电视机的 使用寿命？是连续型随机变量，而专是离散型随 机变量 易错二忽略“放回”与“不放回”而致误 (3)若从这10件产品中随机连续抽取 [示例2]在10件产品中，有3件一等品、 3次，每次抽取1件，每次抽取后都不放 4件二等品、3件三等品. 回，设抽取到一等品的件数为X,求： (1)若从这10件产品中任意抽取1件，设 ①X的分布列： 抽取到一等品的件数为，求的分布列； ②抽取到的3件产品中一等品件数多于二 等品件数的概率。 名师叮嘱 一般地，若样本中含有n类个体，“有放回” 是二次分布，“无放回”是超几何分布 34寒假作业一个有坚强心志的人，财产可以被人 故P(D+}1-P(D)=0.8,即p1+号×(1-)= 0.8,故p1=15’ 11 同理有0.85A,十×1-p,)=0.75,故A,=号， 故p1<P2 【易误警示】 [示例1][解析]记两个球都是红球为事件A,至少有一 CC 个红球为事件B,则(AB)=PCAB) C 1 P(B) CC+CC=6· C 故选A [答案]A [示例2][解析]令A1=“每天玩手机时间超过1h的学 生”，A2=“每天玩手机时间不超过1h的学生”，B=“任意 调查一名学生，此人近视”，则2=AUA2,且A1,A2互斥， P(A1)=0.2,P(A2)=0.8,P(BA1)=0.5,P(B)=0.4. 依题意，P(B)=P(A,)P(B|A,)+P(A2)P(B|A2)= 0.2X0.5+0.8XP(BA,)=0,4,解得P(BlA,)=日，所 以所求概率为令，故选B [答案]B 作业（十三）离散型随机变量及其分布列、 二项分布与超几何分布 【基础演练】 1.B2.D3.D4.C 【综合演练】 1.AB 2.C 3.B 4.B 5.BC 6.解析(1)0.01×10×5+0.02×10×15+0.015×10× 25+0.03×10×35+0.025×10×45=29, 故估计这500次试验中该AI模型正确识别图象数量的均 值为29. (2)设1次试验中正确识别图象数量不少于20个的概率 为p,则p=0.015×10+0.03×10+0.025×10=0.7, 则XB(3,0.7),X=0,1,2,3, P(X=0)=C3X0.7°X0.3=0.027;P(X=1)=C8× 0.7×0.32=0.189;P(X=2)=C×0.72×0.3=0.441; P(X=3)=C3×0.73X0.3°=0.343. X的分布列为 X 0 1 2 P0.0270.1890.4410.343 EX=3×0.7=2.1. 【真题体验】 1.解析小桐一周跑11圈的概率p=0.5×0.6+0.5× 0.6=0.6.小桐一周运动量达标的概率p=1一0.5×0.4= 0.8,显然X服从二项分布B(4,0.8),故EX=4×0.8=3. 答案0.63.2 2.解析(1)记甲学校获得冠军为事件A, 则P(A)=0.5×0.4×(1-0.8)+0.5×(1-0.4)×0.8+ (1-0.5)×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8=0.6, 所以甲学校获得冠军的概率是0.6. (2)X的可能取值为0,10,20,30， 则P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16, P(X=10)=0.5×0.4×(1-0.8)+0.5×(1-0.4)× 0.8+(1-0.5)×0.4×0.8=0.44, P(X=20)=0.5×(1-0.4)×(1-0.8)+(1-0.5)× (1-0.4)×0.8+(1-0.5)×0.4×(1-0.8)=0.34, P(X=30)=(1-0.5)×(1-0.4)×(1-0.8)=0.06, 故X的分布列为 X0102030 P(X)0.160.440.340.06 X的期望值为EX=0×0.16+10×0.44+20×0.34+ 30×0.06=13, 【易误警示】 [示例1][解析]符合离散型随机变量的定义，C符合连 续型随机变量的定义，故选ABD. [答案]ABD 掠夺，勇气却不会被人剥夺的。 [每日格言] [示例2][解析](1)由题意知的取值范围为{0,1}，所 以服从两点分布. 3 7 P(=1)=0,则P(=0)=1-P(=1)=10 因此的分布列为 0 1 P 3 10 10 (2)若每次抽取后都放回，则每次抽到一等品的概率均为 号，3次抽取可以看成3次独主重复试验，国此刀 B(,品)，它的会布列为P(=)=C(品)广()。 =0,1,2,3,如表： 7 0 3 343 441 189 27 1000 1000 1000 1000 (3)①若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可看成随 机抽取1次，且1次抽取了3件，因此一等品件数X服从 超几何分布，所以从10件产品中任意抽取3件，其中恰有 m件一等品的概率为P(X=m)= CC ,m=0,1,2,3, 所以X的分布列为 0 1 2 3 P 7 21 7 24 40 40 120 ②设事件A为“抽取到的3件产品中一等品件数多于二等 品件数”，A1为“抽取到的3件产品中恰好有1件一等品 和2件三等品”，A2为“抽取到的3件产品中恰好有2件一 等品”，A,为“抽取到的3件产品均为一等品”，则事件A1, A2,A3彼此互斥，且A=A1UA2UA3 7 因为P(A1)= 9=3,P(A)=P(X=2)=40' C。 P(A3)=P(X=3)=120' 31 所以P(A)=P(A1)+P(A,)+P(A)=20,即抽取到 的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为0： 作业（十四） 离散型随机变量的均值与方差、 正态分布 【基础演练】 1.AC2.B3A4子号 【综合演练】 1.C 2.A 3.BCD 4.BC 5.解折X的取值范国为3,4,5)，且P(X=3)=CC- pcX=)-等-是px=5)-答-品 3 Cg141 :EX=3×是+4X员+5×品=([另解]设专为取出 的未使用过的乒乓球，则的取值范围为{1,2,3}，则X +2,Bx=E+2)=3+2=).Dx=(3)× 景+(4-)×祭+(6-)×-品（另解]Ex =3×亮×崇+5×音-器DX=Bx-(Ex0= 器) 答案 1745 4112 6.解析(1)设考生甲正确完成实验操作的题数为，则￡的 取值范围是{1,2,3}， P(=1)==5,P(=2)=4=3 5 01 P(=3)=