作业(十二)随机事件的条件概率-【假期作业】2026年高二数学寒假假期作业（北师大版·新教材）

[每日格言]盛年不再来，一日难再晨。及时当勉励 【易误警示】 [示例1][解析]设既能当车工又能当钳工的2名工人为 A,B.A,B都不在内的选派方法有CC4=5(种)；A,B都 在内且当钳工的选派方法有C2CC=10(种)；A,B都在 内且当车工的选派方法有CCC=30(种)；A,B都在内， 且一人当钳工，另一人当车工的选派方法有A2CC= 80(种)；A,B有一人在内且当钳工的选派方法有C2CsC4 20(种)；A,B有一人在内且当车工的选派方法有CCC= 40(种).所以不同的选派方法共有5十10十30十80十20十 40=185(种). [答案]185 [示例2][解析]解法一（特殊元素优先法）丙、丁相邻 且顺序固定，故将其视为1个元素，记为丙丁，则6项工程 可视为5个元素.分成两步来完成：第一步，从5个位置中 选择3个位置排列甲、乙、丙丁这3个特殊元素，义甲、乙、 丙丁的相对顺序固定，故不同的排法有C=10(种)；第二 步，将余下的2项工程任意排列到剩下的2个空位置上， 不同的排法有A经=2（种）.由分步乘法计数原理，可知共 有10×2=20种不同排法. 解法二（插空法）分成两步来完成：第一步，将相对顺序 固定的甲、乙、丙、丁排列好，丙、丁相邻且顺序固定，从而 形成3个特殊元素（丙、丁视为1个元素），共有1种排法； 第二步，将余下的2项工程逐个插入3个特殊元素所形成 的空隙中，共有CC5=20种排法.根据分步乘法计数原 理，安排这6项工程共有1×20=20种不同排法. 「答案720 作业（十一）二项式定理 【基础演练】 1.D2.D3.C 4.解析1-3C1。+9C。-27C。+…-3C9。+310= C。(-1)10×3°+C。(-1)9X3+C。(-1)8×32+ C。(-1)7×33+…+C。(-1)1×3+C8(-1)°× 30=(-1+3)10=210,即1024. 答案1024 【综合演练】 1.BC 2.ABD 3.C 4.ABD 5.D 6.证明当n≥3，n∈N+时，3”=(1+2)"=C0×2°十C1X 2+C2×22+…+C×2m>C%×2°+C.×2+C×22= n！ 1+2m+21m-2X4=1+2m+2m(n-1)=2m+1,所 以原不等式成立 【真题体验】 1.B当x=1时，1=a4+a3十a2+a1十ao①；当x=-1时， 81=a4-a3十a2-a1+ao②；①十②，得a0十a2十a4=41. 故选B. 2.解析由通项公式T+1=C·25-*·x5-·（-1)=C· (-1)·25-x5-,k=0,1,2,3,4,5. 令5一k=3,得k=2, 可得x3项的系数为C8·(-1)2·25-2=80. 故答案为80. 答案80 3.解析x的系数为a.=Co02023十C2023100-· (-1)=C102023*[1+202310-4(-1)],k=0,1, 2,,100,要使a<0,则k必为奇数，且2023100-2张>1， ∴.100-2k>0,即k<50,.k的最大值为49. 答案49 4.解析令x=0,则a。=1, 又(1-2x)=a-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x, 故(1-2x)4=a0+a1(-2x)+a2（-2x)2+ag(-2x)3+ a4(-2x)4, 令t=-2x,则(1十t)4=ao十a1t十a2t十a3t十a4t, 令t=1,则a。十a1十a2十a3+a4=2, 故a1十a2十a3十a4=15. 故答案为：1,15. 答案115 【易误警示】 示例1门[解析](2+)的展开式的通项为T+1 C()-t·（2)=2C2-,0≤k≤8，k∈N4令16- 3=4,解得k=4,所以含x的项是第5项.故选C [答案]C ,岁月不待人。 高二数学（配BSD版） [示例2][解析]由题意，知(2一x)”的展开式中所有项 的系数的绝对值之和等价于(2十x)”的展开式中所有项 的系数之和，所以a=3,又易知6=2，所以合十8= (号)广+（受）广设1=（号）广，固为nEN,所以0<≤ 号又西最y=十}在区间(0，号]上单调递流，所以当 =号，即=1时，名+号取得最小值，为吕 [答案]吕 作业（十二） 随机事件的条件概率 【基础演练】 1.D2.C3.C4.A 【综合演练】 1.A 2.C 3.AB 4.C 5.BD 6.解析(1)设事件A表示“零件是次品”，B表示“自动检测 判断零件为次品”，事件A1,A2分别表示零件是一等品、二 等品， P(B)=P(A)P(BA)+P(A,)P(BA,)+P(AP(B A) =0.1×0.9+0.2×0.05+0.7×0=0.1, P(AIB)-P(AB)_P(A)P(BIA)0.1X0.9_9 P(B) P(B) 0.1 10 所以在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是 次品的抵率为品 (2)设事件C表示“零件需要进行人工抽检”，D表示“人工 抽检的零件为一等品”，则P(C)=0.7十0.2×0.15= 0.73,P(CD)=0.7, 所以人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率为 P(D1C)=PCD)=0.Z'70 P(C)-0.7373 【真题体验】 1.B因为A,B相互独立，故P(AnB)=P(A)P(B)=号× =1 2 ,故选B 2.解析设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5n,4n, 6n,所以总数为15n, 所以甲盒中黑球个数为40%X5n=2n,白球个数为3n; 乙盒中黑球个数为25%×4n=n,白球个数为3n; 丙盒中黑球个数为50%×6n=3n,白球个数为3n; 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件 A,所以，P(A)=0.4×0.25×0.5=0.05; 记“三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件B, 黑球总共有2n十n十3n=6n个，白球共有9n个， 所以，P(B)= 册号故答案为0.05；号 答案0.05 3 5 3.解析(1)用频率估计概率，从甲校随机抽取1人，做对题 目的燕率为品二合 (2)设A为“从甲校抽取1人做对”，则P(A)=0.8,则 P(A)=0.2; 设B为“从乙校抽取1人做对”，则P(B)=0.75,则 P(B)=0.25, 设C为“恰有1人做对”，故P(C)=P(AB)十P(AB)= P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.35, 而X可取0,1,2， P(X=0)=P(AB)=0.05,P(X=1)=0.35,P(X=2)= 0.8×0.75=0.6 故X的分布列如下表： X 0 1 P 0.05 0.35 0.6 故EX=0×0.05+1×0.35十2×0.6=1.55. (3)设D为“甲校掌握该知识的学生”， 因为甲校掌握这个知识，点则有100%的概率做对该题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择 一个， 寒假作业一个有坚强心志的人，财产可以被人 故P(D+}1-P(D)=0.8,即p1+号×(1-)= 0.8,故p1=15’ 11 同理有0.85A,十×1-p,)=0.75,故A,=号， 故p1<P2 【易误警示】 [示例1][解析]记两个球都是红球为事件A,至少有一 CC 个红球为事件B,则(AB)=PCAB) C 1 P(B) CC+CC=6· C 故选A [答案]A [示例2][解析]令A1=“每天玩手机时间超过1h的学 生”，A2=“每天玩手机时间不超过1h的学生”，B=“任意 调查一名学生，此人近视”，则2=AUA2,且A1,A2互斥， P(A1)=0.2,P(A2)=0.8,P(BA1)=0.5,P(B)=0.4. 依题意，P(B)=P(A,)P(B|A,)+P(A2)P(B|A2)= 0.2X0.5+0.8XP(BA,)=0,4,解得P(BlA,)=日，所 以所求概率为令，故选B [答案]B 作业（十三）离散型随机变量及其分布列、 二项分布与超几何分布 【基础演练】 1.B2.D3.D4.C 【综合演练】 1.AB 2.C 3.B 4.B 5.BC 6.解析(1)0.01×10×5+0.02×10×15+0.015×10× 25+0.03×10×35+0.025×10×45=29, 故估计这500次试验中该AI模型正确识别图象数量的均 值为29. (2)设1次试验中正确识别图象数量不少于20个的概率 为p,则p=0.015×10+0.03×10+0.025×10=0.7, 则XB(3,0.7),X=0,1,2,3, P(X=0)=C3X0.7°X0.3=0.027;P(X=1)=C8× 0.7×0.32=0.189;P(X=2)=C×0.72×0.3=0.441; P(X=3)=C3×0.73X0.3°=0.343. X的分布列为 X 0 1 2 P0.0270.1890.4410.343 EX=3×0.7=2.1. 【真题体验】 1.解析小桐一周跑11圈的概率p=0.5×0.6+0.5× 0.6=0.6.小桐一周运动量达标的概率p=1一0.5×0.4= 0.8,显然X服从二项分布B(4,0.8),故EX=4×0.8=3. 答案0.63.2 2.解析(1)记甲学校获得冠军为事件A, 则P(A)=0.5×0.4×(1-0.8)+0.5×(1-0.4)×0.8+ (1-0.5)×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8=0.6, 所以甲学校获得冠军的概率是0.6. (2)X的可能取值为0,10,20,30， 则P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16, P(X=10)=0.5×0.4×(1-0.8)+0.5×(1-0.4)× 0.8+(1-0.5)×0.4×0.8=0.44, P(X=20)=0.5×(1-0.4)×(1-0.8)+(1-0.5)× (1-0.4)×0.8+(1-0.5)×0.4×(1-0.8)=0.34, P(X=30)=(1-0.5)×(1-0.4)×(1-0.8)=0.06, 故X的分布列为 X0102030 P(X)0.160.440.340.06 X的期望值为EX=0×0.16+10×0.44+20×0.34+ 30×0.06=13, 【易误警示】 [示例1][解析]符合离散型随机变量的定义，C符合连 续型随机变量的定义，故选ABD. [答案]ABD 掠夺，勇气却不会被人剥夺的。 [每日格言] [示例2][解析](1)由题意知的取值范围为{0,1}，所 以服从两点分布. 3 7 P(=1)=0,则P(=0)=1-P(=1)=10 因此的分布列为 0 1 P 3 10 10 (2)若每次抽取后都放回，则每次抽到一等品的概率均为 号，3次抽取可以看成3次独主重复试验，国此刀 B(,品)，它的会布列为P(=)=C(品)广()。 =0,1,2,3,如表： 7 0 3 343 441 189 27 1000 1000 1000 1000 (3)①若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可看成随 机抽取1次，且1次抽取了3件，因此一等品件数X服从 超几何分布，所以从10件产品中任意抽取3件，其中恰有 m件一等品的概率为P(X=m)= CC ,m=0,1,2,3, 所以X的分布列为 0 1 2 3 P 7 21 7 24 40 40 120 ②设事件A为“抽取到的3件产品中一等品件数多于二等 品件数”，A1为“抽取到的3件产品中恰好有1件一等品 和2件三等品”，A2为“抽取到的3件产品中恰好有2件一 等品”，A,为“抽取到的3件产品均为一等品”，则事件A1, A2,A3彼此互斥，且A=A1UA2UA3 7 因为P(A1)= 9=3,P(A)=P(X=2)=40' C。 P(A3)=P(X=3)=120' 31 所以P(A)=P(A1)+P(A,)+P(A)=20,即抽取到 的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为0： 作业（十四） 离散型随机变量的均值与方差、 正态分布 【基础演练】 1.AC2.B3A4子号 【综合演练】 1.C 2.A 3.BCD 4.BC 5.解折X的取值范国为3,4,5)，且P(X=3)=CC- pcX=)-等-是px=5)-答-品 3 Cg141 :EX=3×是+4X员+5×品=([另解]设专为取出 的未使用过的乒乓球，则的取值范围为{1,2,3}，则X +2,Bx=E+2)=3+2=).Dx=(3)× 景+(4-)×祭+(6-)×-品（另解]Ex =3×亮×崇+5×音-器DX=Bx-(Ex0= 器) 答案 1745 4112 6.解析(1)设考生甲正确完成实验操作的题数为，则￡的 取值范围是{1,2,3}， P(=1)==5,P(=2)=4=3 5 01 P(=3)=寒假作业每一个成功者都有一个开始。勇于开始 作业（十二） 随机事件的条件 1知识整合 1.条件概率 设A,B是两个事件，且P(A)>0,则称 P(B1A)=票》为在事件A发生的条 件下事件B发生的条件概率 2.条件概率的性质 (1)0≤P(B|A)≤1. (2)P(A|A)=1. (3)如果B与C互斥，则P(BUCA)= P(B A)+P(CA) 3.乘法公式及其推广 (1)乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A) P(B)P(A|B),其中P(A)>0,P(B)>0. (2)乘法公式的推广： 设A:表示事件，i=1,2,3,且P(A:)>0, P(A1A2)>0,则P(A1A2A3)=P(A1)· P(A2A1)P(A3A1A2),其中P(A3|A1A2)表 示已知A1与A2都发生时A3发生的概率， P(A1A2A3)表示A1A2A3同时发生的概率. 4.全概率公式 (1)设2是试验E的样本空间，B1,B2,…, Bn为样本空间2的一组事件，若 ①B,B=必，其中i≠j(i,j=1,2,…,n), ②B1UB2U…UBn=2, 则称B1,B2,…,Bn为样本空间2的一个 划分. 条件①表示每次试验B1,B2,…,Bn中只 能发生一个； 条件②表示试验B1,B2,…,Bn必有一个 发生. (2)设B1,B2,…,Bn为样本空间2的一个 划分，若P(B)>0(i=1,2,…,n),则对任 意一个事件A有P(A)=2P(B)P(AB,), 称上式为全概率公式： ,才能找到成功的路。 [每日格言】 今 月 日 星期 概率 历 天气 5.事件的独立性 (1)事件A与B相互独立的充要条件是 P(AB)=P(A)P(B). (2)当P(B)>0时，A与B独立的充要条 件是P(AB)=P(A) 2基础演练 1.若0<P(A)<1,且P(B|A)=P(B), P(A)=0.6,P(BA)=0.2,则P(AB) 等于 A.0.12 B.0.8 C.0.32 D.0.08 2.设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分 别为0.6,0.4，汽车和火车正点到达目的地 的概率分别为0.9,0.8.则甲正点到达目 的地的概率为 A.0.72 B.0.96 C.0.86 D.0.84 3.(2025·潍坊检测)盒中有5个红球，3个 黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色 后放回，并放人同色球2个，再从盒中任取 一球，则第二次取出的是黑球的概率是 3 A.10 R号 c n司 4.现有一种检验方法，对患X疾病的人化 验，结果99%呈阳性.对未患X疾病的人 化验，结果99.9%呈阴性.我们称检验结 果呈阳性的人中未患病比例为误诊率.已 知一地区X疾病的患病率为0.0004，则 估计这种检验方法在该地区的误诊率为 ( A.0.716 B.0.618 C.0.112 D.0.067 28 [每日格言]真正的人生，只有在经过艰苦卓绝的斗争之后才 3综合演练 1.(2025·喀什二中月考)在某电路上有M, N两个独立工作的元件，每次通电后，需 要更换M元件的概率为0.3，需要更换N 元件的概率为0.2，则在某次通电后，M,N 有且只有一个需要更换的条件下，M需要 更换的概率是 A号 R吕 c D号 2.已知某品牌新能源汽车的车载动力蓄电池 充放电次数达到800次的概率为0.9，充 放电次数达到1000次的概率为0.36.若 某用户的该品牌新能源汽车已经达到了 800次的充放电，那么该用户的车充放电 次数能够达到1000次的概率为 ( A.0.32 B.0.36 C.0.4 D.0.54 3.(多选)某校举行了一次航天知识竞赛活 动，共5道题(3道选择题和2道填空题)， 参赛者不放回地依次随机抽取2道题作 答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事 件B为“第2次抽到选择题”，则 ( APA)-号 B.P(BIA)- C.P(B到A)- D.P(BA)- 4.已知1号箱中有2个白球和4个红球， 2号箱中有5个白球和3个红球（白球与 红球大小、形状、质地相同)，现从1号箱中 随机取出一球放入2号箱，再从2号箱中 随机取出一球，则两次都取到红球的概 率是 11 A.27 R品 c品 D 5.(多选)甲箱中有5个红球、2个白球和3 个黑球，乙箱中有4个红球、3个白球和3 个黑球.先从甲箱中随机取出一球放人乙 29 能实现。 高二数学（配BSD版） 箱，分别以A1,A2,A3表示由甲箱取出的 球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中 随机取出一个球，以B表示由乙箱取出的 球是红球的事件.则 ) A.事件B与事件A,(i=1,2,3)相互独立 B.P(A1B)=22 CP(B)=号 D.P(A:B) 6.(2025·肇庆联考)某工厂生产一种零件， 该零件的质量分为三个等级：一等品、二等 品和次品.根据历史数据，该工厂生产一等 品、二等品和次品的概率分别为0.7,0.2 和0.1.现对一批刚生产出来的零件进行 质量检测，检测方式分为两种：自动检测和 人工抽检.自动检测能将一等品全部正确 识别，但有5%的概率将二等品误判为次 品，有15%的概率将二等品误判为一等 品，也有10%的概率将次品误判为二 等品 (1)求在自动检测下，一个被判断为次品的 零件实际上就是次品的概率 (2)假设零件先经过自动检测，若判断为一 等品，则进行人工抽检；若判断为二等品或 次品，则直接淘汰.求人工抽检一个零件， 该零件恰好是一等品的概率. 寒假作业如果人生没有目标，犹如船在茫茫大海 4真题体脸 1.(2025·上海卷)已知事件A,B相互独立， 事件A发生的概率为P(A)=号，事件B 发生的概率为P(B)=?,则事件AnB发 生的概率P(A∩B)为 () 号 c D.0 2.(2023·天津卷)甲、乙、丙三个盒子中装有 一定数量的黑球和白球，其总数之比为 5：4：6.这三个盒子中黑球占总数的比例 分别为40%，25%，50%.现从三个盒子中 各取一个球，取到的三个球都是黑球的概 率为 ;将三个盒子中的球混合后 任取一个球，是白球的概率为 3.(2025·北京卷)有一道选择题考查了一个 知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲 校有80人答对，乙校有75人答对，用频率 估计概率， (1)从甲校随机抽取1人，求这个人做对该 题目的概率； (2)从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为 做对的人数，求恰有1人做对的概率以及 X的数学期望； (3)若甲校同学掌握这个知识点则有 100%的概率做对该题目，乙校同学掌握这 个知识点则有85%的概率做对该题目，未 掌握该知识点的同学都是从四个选项里面 随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点 中迷失了方向。 [每日格言] 的概率为1，乙校学生掌握该知识点的概 率为2，试比较1与2的大小（结论不 要求证明). 5易误警示 易错一理解错题意致误 [示例1]一个盒子中有5个白球、3个红 球，从中任取2个球，则在所取的球中有一 个是红球的情况下，另一个也是红球的概 率为 () A日 c号 n 名师叮嘱 准确理解事件：本题意思是一次性取2个 球，而不是连续的两次， 易错二混淆条件概率P(B|A)与积事件 的概率P(AB)致误 [示例2]长时间玩手机可能影响视力， 据调查，某校学生大约40%的人近视， 而该校大约有20%的学生每天玩手机超 过1h,这些人的近视率约为50%.现从每 天玩手机不超过1h的学生中任意调查一 名学生，则他近视的概率为 ( 2 A B.3 C.8 n 名师叮嘱 解题时，先要正确理解并能区分条件概率和 积事件的概率，P(AB)表示事件A与B同时发 生的概率，而P(BA)表示在已知事件A发生的 条件下，事件B发生的概率，然后正确选择相应 的计算公式求解即可，