作业(十一)二项式定理-【假期作业】2026年高二数学寒假假期作业（北师大版·新教材）

寒假作业海不辞水，故能成其大；山不辞土石，故 作业（十一 二项式定理 1知识整合 1.(a+b)”的展开式的结构特征 (1)它有n十1项， (2)各项的次数都等于二项式的次数n. (3)字母a按降幂排列，次数由n递减到0； 字母b按升幂排列，次数由0递增到n. (4)二项展开式中，C(k=0,1,2,…n)称 为第k十1项的二项式系数，它们依次为 C,Ch,C,…,C%,这是一组仅与二项式的 次数n有关的(n+1)个组合数，而与a,b 无关 2.正确理解二项式定理 (1)系数 注意二项式系数C与展开式中对应项的 系数不一定相等，二项式系数一定为正，而 项的系数有可能为负. (2)通项 通项公式Ts+1=Ca”-b,它是(a十b)”的 展开式的第k十1项，这里k=0,1,…,n. 它反映出展开式在指数、项数、系数等方面 的内在联系，因此能运用二项展开式的通 项公式求特定项、待定项系数， (3)二项式定理是一恒等式 对任意的a,b,该等式均成立，通过对a,b 取不同的特值，常可得到一些给解决某些 问题带来方便的特殊等式 3.二项式系数的性质 二项式系数的性质 在(a十b)”展开式中，与首、末两端等 对称性距离的两个二项式系数相等，即 Cm=Cn-m 26 能成其高。 [每日格言] 今 月 日 日 星期 历 天气 续表 二项式系数的性质 增减性：当<”士时，二项式系数是 逐渐增大的；当k>”时，二项式系 2 增减性 数是逐渐减小的 与最 最大值：当n为偶数时，中间一项的二 大值 项式系数C?最大；当n为奇数时，中间 两项的二项式系数C子，C相等，且 同时取得最大值 各二项 ①C+C+C2+…十Cm=2"; 式系数②C+C2+C十…=C+C+C+… 的和 =2-1 2基础演练 1.C3025·长郑中学调研-)-名 的 展开式中的常数项是 ( ) A.第673项 B.第674项 C.第675项 D.第676项 2.在(2+x)的展开式中二项式系数最大的 项是 ( A.第3项和第4项B.第4项和第5项 C.第3项 D.第4项 3.已知当n=1,2,3,4,5,6时，(a+b)"展开 式的二项式系数表示形式如下图， (a+b) 1 (a+b)2 21 (a+b)3---------1331 (a+b)1-------14入41 (a+b)5- --151051 (a+b).---1 6152015 6 则图中入与：的值分别是 ( A.5,9 B.5,10 C.6,10 D.6,9 [每日格言]内外相应，言行相称。 4.计算：1-3C。+9C。-27C。+…-3C0+ 310= 3综合演练 1.(多选)若(x-1)》”的展开式中存在常 数项，则n的可能取值为 A.16 B.10 C.5 D.2 2.(多选)在二项式(2x一√2)°的展开式中， 系数为有理数的项有 () A.第1项 B.第3项 C.第4项 D.第5项 3.（2025· 山东师大附中检测)在 (红+兰)(x+5的展开式中，产y的系 数为 () A.5 B.10 C.15 D.20 4.(多选)(2025·重庆名校联考)已知（5x一 ”的展开式中，二项式系数之和为4， 则下列说法正确的是 A.n=6 B.各项系数之和为64 C.展开式中二项式系数量大的项是第 3项 D.展开式中第5项为常数项 5.已知(2x-3)7=a十a1(1-x)+a2(1-x)2+ …十a2(1-x)7,则a3= ) A.280 B.35 C.-35 D.-280 6.利用二项式定理，证明：3”>2m十1(n≥3， n∈N+). 高二数学（配BSD版） 4真题体验 1.(2022·北京卷)若(2x一1)4=a4x4十a3x3十 a2x2十a1x十a0,则a。十a2十a4=( A.40 B.41 C.-40 D.-41 2.(2025·上海卷)在二项式(2x一1)5的展 开式中，x3的系数为 3.(2023·上海卷)已知(1十2023x)100十 (2023-x)10=a0十a1x+a2x2+…+ a1o0x10,其中a0,a1,a2,…,a1oo∈R,若0≤ k≤100且k∈N,当a<0时，k的最大 值为 4.(2025·北京卷)已知(1-2x)4=a 2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x,则a0= ;a1十a2十a3十a4 5易误警示 易错一 二项展开式通项的项数 8 [示例1] (e+2° 的展开式中含x4的 项是 ( A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 名师叮嘱 此类题易将“T+1=Cab”与“展开式中 的第飞项”相混淆.T+1=Ca”-*b是指展开式中 的第k十1项，而展开式中的第k项的表达式是 江=Ca+61 易错二混淆二项展开式中项的系数与 二项式系数 [示例2](2一x)”(n∈N)的展开式中所有项 的系数的绝对值之和是a,所有项的二项式系 数之和是6，则名+号的最小值为 名师叮嘱 二项展开式中的二项式系数与项的系数是 两个不同的概念，前者指C,而后者指该项除字 母外的部分[每日格言]盛年不再来，一日难再晨。及时当勉励 【易误警示】 [示例1][解析]设既能当车工又能当钳工的2名工人为 A,B.A,B都不在内的选派方法有CC4=5(种)；A,B都 在内且当钳工的选派方法有C2CC=10(种)；A,B都在 内且当车工的选派方法有CCC=30(种)；A,B都在内， 且一人当钳工，另一人当车工的选派方法有A2CC= 80(种)；A,B有一人在内且当钳工的选派方法有C2CsC4 20(种)；A,B有一人在内且当车工的选派方法有CCC= 40(种).所以不同的选派方法共有5十10十30十80十20十 40=185(种). [答案]185 [示例2][解析]解法一（特殊元素优先法）丙、丁相邻 且顺序固定，故将其视为1个元素，记为丙丁，则6项工程 可视为5个元素.分成两步来完成：第一步，从5个位置中 选择3个位置排列甲、乙、丙丁这3个特殊元素，义甲、乙、 丙丁的相对顺序固定，故不同的排法有C=10(种)；第二 步，将余下的2项工程任意排列到剩下的2个空位置上， 不同的排法有A经=2（种）.由分步乘法计数原理，可知共 有10×2=20种不同排法. 解法二（插空法）分成两步来完成：第一步，将相对顺序 固定的甲、乙、丙、丁排列好，丙、丁相邻且顺序固定，从而 形成3个特殊元素（丙、丁视为1个元素），共有1种排法； 第二步，将余下的2项工程逐个插入3个特殊元素所形成 的空隙中，共有CC5=20种排法.根据分步乘法计数原 理，安排这6项工程共有1×20=20种不同排法. 「答案720 作业（十一）二项式定理 【基础演练】 1.D2.D3.C 4.解析1-3C1。+9C。-27C。+…-3C9。+310= C。(-1)10×3°+C。(-1)9X3+C。(-1)8×32+ C。(-1)7×33+…+C。(-1)1×3+C8(-1)°× 30=(-1+3)10=210,即1024. 答案1024 【综合演练】 1.BC 2.ABD 3.C 4.ABD 5.D 6.证明当n≥3，n∈N+时，3”=(1+2)"=C0×2°十C1X 2+C2×22+…+C×2m>C%×2°+C.×2+C×22= n！ 1+2m+21m-2X4=1+2m+2m(n-1)=2m+1,所 以原不等式成立 【真题体验】 1.B当x=1时，1=a4+a3十a2+a1十ao①；当x=-1时， 81=a4-a3十a2-a1+ao②；①十②，得a0十a2十a4=41. 故选B. 2.解析由通项公式T+1=C·25-*·x5-·（-1)=C· (-1)·25-x5-,k=0,1,2,3,4,5. 令5一k=3,得k=2, 可得x3项的系数为C8·(-1)2·25-2=80. 故答案为80. 答案80 3.解析x的系数为a.=Co02023十C2023100-· (-1)=C102023*[1+202310-4(-1)],k=0,1, 2,,100,要使a<0,则k必为奇数，且2023100-2张>1， ∴.100-2k>0,即k<50,.k的最大值为49. 答案49 4.解析令x=0,则a。=1, 又(1-2x)=a-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x, 故(1-2x)4=a0+a1(-2x)+a2（-2x)2+ag(-2x)3+ a4(-2x)4, 令t=-2x,则(1十t)4=ao十a1t十a2t十a3t十a4t, 令t=1,则a。十a1十a2十a3+a4=2, 故a1十a2十a3十a4=15. 故答案为：1,15. 答案115 【易误警示】 示例1门[解析](2+)的展开式的通项为T+1 C()-t·（2)=2C2-,0≤k≤8，k∈N4令16- 3=4,解得k=4,所以含x的项是第5项.故选C [答案]C ,岁月不待人。 高二数学（配BSD版） [示例2][解析]由题意，知(2一x)”的展开式中所有项 的系数的绝对值之和等价于(2十x)”的展开式中所有项 的系数之和，所以a=3,又易知6=2，所以合十8= (号)广+（受）广设1=（号）广，固为nEN,所以0<≤ 号又西最y=十}在区间(0，号]上单调递流，所以当 =号，即=1时，名+号取得最小值，为吕 [答案]吕 作业（十二） 随机事件的条件概率 【基础演练】 1.D2.C3.C4.A 【综合演练】 1.A 2.C 3.AB 4.C 5.BD 6.解析(1)设事件A表示“零件是次品”，B表示“自动检测 判断零件为次品”，事件A1,A2分别表示零件是一等品、二 等品， P(B)=P(A)P(BA)+P(A,)P(BA,)+P(AP(B A) =0.1×0.9+0.2×0.05+0.7×0=0.1, P(AIB)-P(AB)_P(A)P(BIA)0.1X0.9_9 P(B) P(B) 0.1 10 所以在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是 次品的抵率为品 (2)设事件C表示“零件需要进行人工抽检”，D表示“人工 抽检的零件为一等品”，则P(C)=0.7十0.2×0.15= 0.73,P(CD)=0.7, 所以人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率为 P(D1C)=PCD)=0.Z'70 P(C)-0.7373 【真题体验】 1.B因为A,B相互独立，故P(AnB)=P(A)P(B)=号× =1 2 ,故选B 2.解析设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5n,4n, 6n,所以总数为15n, 所以甲盒中黑球个数为40%X5n=2n,白球个数为3n; 乙盒中黑球个数为25%×4n=n,白球个数为3n; 丙盒中黑球个数为50%×6n=3n,白球个数为3n; 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件 A,所以，P(A)=0.4×0.25×0.5=0.05; 记“三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件B, 黑球总共有2n十n十3n=6n个，白球共有9n个， 所以，P(B)= 册号故答案为0.05；号 答案0.05 3 5 3.解析(1)用频率估计概率，从甲校随机抽取1人，做对题 目的燕率为品二合 (2)设A为“从甲校抽取1人做对”，则P(A)=0.8,则 P(A)=0.2; 设B为“从乙校抽取1人做对”，则P(B)=0.75,则 P(B)=0.25, 设C为“恰有1人做对”，故P(C)=P(AB)十P(AB)= P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.35, 而X可取0,1,2， P(X=0)=P(AB)=0.05,P(X=1)=0.35,P(X=2)= 0.8×0.75=0.6 故X的分布列如下表： X 0 1 P 0.05 0.35 0.6 故EX=0×0.05+1×0.35十2×0.6=1.55. (3)设D为“甲校掌握该知识的学生”， 因为甲校掌握这个知识，点则有100%的概率做对该题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择 一个，