作业(十)排列与组合-【假期作业】2026年高二数学寒假假期作业（北师大版·新教材）

寒假作业伟人之所以伟大，是因为他与别人共处逆境时， 作业（十） 排列与组合 1知识整合 1.排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n, 且m,n∈N+)个元素，按照一定的顺序排 成一列，叫作从n个不同元素中取出m个 元素的一个排列. 特别地，m=n时的排列（即取出所有元素 的排列)称为全排列. 2.排列数及排列数公式 (1)排列数 把从n个不同元素中取出m(m≤n,且 m,n∈N+)个元素的所有不同排列的个 数，叫作从n个不同元素中取出m个元素 的排列数，记作A. (2)排列数公式 A=n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)]= (nm)A=n!. n！ 3.关于组合与组合数的理解 (1)同“排列”与“排列数”是两个不同概念 一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的 概念.“组合”是指“从n个不同元素中取出 m(m≤n,且m,n∈N+)个元素并成一组”， 它不是一个数，而是具体的一件事；“组合 数”是指“从n个不同元素中取出m个元 素的所有组合的个数”，它是一个数 (2)可以从集合的角度来理解组合数的概 念.从n个不同元素中取出m个元素并成 一组是一个组合，任取m个元素组成的组 合的全体构成一个集合，例如，从3个不同 元素a,b,c中任取2个的所有组合构成的 集合为A={ab,ac,bc}.所谓组合数就是 这个集合的元素的个数 4.组合数公式的应用 (1)公式Cw= n(n-1)(m-2)··[n-(m-1)],一般 m! 用于求值计算. 2 别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。[每日格言] 今 月 日 台 星期 历 天气 (2)公式C n! ml(n-m(m,n∈N+, 且m≤n),一般用于化简证明 2基础演练 1.(多选)给出下列几个问题，其中是组合问 题的是 () A.求由1,2,3,4构成的含有两个元素的 集合的个数 B.求5个队进行单循环比赛的分组情况 的种数 C.3人去做5种不同的工作，每人做1种， 求不同的安排种数 D.求由1,2,3组成无重复数字的两位数 的个数 2.89×90×91×…×100可以表示为() A.A8。 B.A100 C.A6。D.A180 3.若C=C,则C= () A.17 B.153C.306D.969 4.(2025·江西学情检测二)某大学开设篮 球、足球等5门球类选修课，要求每个学生 都必须选择其中的一门课程.现有小明、 小强、小豆3位同学进行选课，其中小明 不选篮球和足球，则不同的选课方案共有 () A.36种 B.60种 C.75种 D.85种 3综合演练 1.有5名同学合影留念站两排，前排2人， 后排3人，则不同的排法种数为() A.60 B.90 C.120 D.240 2.6名同学到某博物馆里面的书画、青铜、瓷 器三个场馆做志愿者，每名同学只去1个 场馆，则每个场馆恰好有2名志愿者的不 同安排方法有 () A.270种 B.90种 C.45种 D.15种 [每日格言]再长的路，一步步也能走完；再短的路， 3.(2025·东莞外国语月考)学校组织同学参加 社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同 学.现从该小组中选出3名同学分别到A,B, C三地进行社会调查，若选出的同学中男女 均有，则不同的安排方法有 ( A.70种 B.140种 C.420种 D.840种 4.学校教师运动会设置有跳绳、立定跳远、定 点投篮、沙包掷准4个比赛项目，每个项目 各需要一位裁判，现有甲、乙、丙、丁4位体 育老师，每人仅做一项裁判工作，因为时间 问题，甲不能做跳绳裁判，乙不能做定点投 篮裁判，则不同的安排方法共有 ( A.12种 B.14种 C.7种 D.9种 5.花灯又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时 代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如 图，现有悬挂着的8盏不同的花灯需要取下， 每次取1盏，则不同的取法种数为 A.2520 B.5040 C.7560 D.10080 6.(2025·抚顺六校协作体联考)将5名党员 志愿者分到3个不同的社区进行知识宣 讲，要求每个社区都要有党员志愿者前往， 且每个党员志愿者都只安排去1个社区， 则不同的安排方法种数为 4真题体验 1.(2023·全国甲卷)现有5名志愿者报名参 加公益活动，在某一星期的星期六、星期日 两天，每天从这5人中安排2人参加公益 活动，则恰有1人在这两天都参加的不同 安排方式共有 A.120种 B.60种 C.30种 D.20种 2.（2025·上海卷)4个家长和2个儿童去爬 山，6个人需要排成一条队列，要求队列的 头和尾均是家长，则不同的排列种数为 2 不迈开双脚也无法到达。 高二数学（配BSD版） 3.(2023·新课标I卷)某学校开设了4门体 育类选修课和4门艺术类选修课，学生需 从这8门课中选修2门或3门课，并且每 类选修课至少选修1门，则不同的选课方 案共有 种（用数字作答）. 4.(2024·新课标Ⅱ卷)在如图的4×4的方 格表中选4个方格，要求每行和每列均恰 有一个方格被选中，则共有 种选 法，在所有符合上述要求的选法中，选中方 格中的4个数之和的最大值是 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 5易误警示 易错一 重复计数或遗漏计数 [示例1]某车间有11名工人，其中5名是 钳工，4名是车工，另外2名既能当车工又 能当钳工.现要在这11名工人里选派4名 钳工和4名车工修理一台机床，则不同的 选派方法有 种 名师叮嘱 复杂的排列、组合应用题经常运用到两个计 数原理解决，一定要明确分类标准，才能避免计 算重复或遗漏。 易错二对定序问题考虑不全面 [示例2]某工程队有6项工程需要单独完 成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进 行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工 程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安 排这6项工程的不同排法种数是 名师叮嘱 如果一个问题中部分元素相对顺序固定，可 以用排列、组合和合理分步来解决这类“定序排 列问题”.审题时要弄清哪些元素之间无序，哪些 元素之间有序寒假作业人的大脑和肢体一样，多用则灵，不用贝 2.解析(1)证明因为EF∥AD,AB∥CD,所以AEFD是 平行四边形，所以AE∥DF,所以A'E∥DF, 因为DFC平面CDF,A'E中平面CDF,所以A'E∥平 面CD'F, 因为FC∥EB,FCC平面CD'F,EB屯平面CDF,所以 EB∥平面CDF, 又EB∩A'E=E,EB,A'EC平面A'EB,所以平面A'EB∥ 平面CD'F, 又A'BC平面A'EB,所以A'B∥平面CDF. (2)因为∠DAB=90°，所以AD⊥AB,文因为AB∥FC, EF∥AD,所以EF⊥FC, 以F为原点，FE,FC所在直线以及垂直于平面BEFC的 直线分别为x,y,之轴，建立空间直角坐标系. C A E 因为D'F⊥EF,CF⊥EF,平面EFD'A'与平面EFCB所 成二面角为60°， 所以∠D'FC=60°. 设AD=1,所以AB=3,CD=2, 因为F为CD中，点，所以DF=1， 则B1,2.0,c(0,1,0,D(0,号，号)E(1,0,0 F(0,0,0), 所以成=（-1，-10.市-(0，-号号)，成=10.0， F币=(，2,9)月 设平面BCD的法向量为n=(x,y,z),则 BC·n=0, lCd·n=0, -x-y=0, 所以 1 令y=√3，则x=1,x=一√3，则n=(一√3，√3,1). 设平面EFDA'的法向量为m=(x1,y1,之1)， /x1=0, 则盛m=0,所以 F币·m=0, 以{分+=0， 令y1=√3，则1=-1，x1=0,所以m=(0,W3,-1). 令面BCD'与面EFD'A'夹角为0， 所以cos0=cos(m,n)1=mm 0+3-11 mn√3+3+1×√1+3 √7 所以平面BCD与平面EFD'A'夹角的正弦值为 7 【易误警示】 [示例1][解析]以O为坐标原点，OB,OC,OA所在的直 线分别为x轴、y轴、之轴，建立空间直角坐标系Oxyz(图 略)，则O(0,0,0),A(0,0,3),B(2,0,0),C(0,3,0),故 OB=(2,0,0),AB=(2,0,-3),AC=(0,3,-3), 设平面ABC的法向量为m=(x,y,z), 则店：m=8-3=0:取=1，则x=是y=1,故m (AC·m=3y-3z=0, (号，1,1)是平面ABC的-个法向量，cos(O成，m= OB·m 3 10BlIml 2X7 3Y厘，故直线OB与平面ABC 17 2 所成角的正弦值为37 17 [答案]31☑ 17 5 废。 [每日格言] 「示例2]「解析门连接BD,设AC交BD于 点O,则SO⊥平面ABCD.以O为坐标原 点，OB,OC,OS所在的直线分别为x轴、y 轴、之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设底面边长为a,则SO= 2, B C -号a0,-a.显然n=00,1是平面ABC的-个 法向量，5市=(-号。，0，-)是平面PAC的-个法向 量.设二面角PACB为0，则cos0=cos〈n,SD》= √6 n·SD 2 、3 nSDI 1x-)+(-) ,又0e [0,],所以0=吾，故二面角PACB的大小为晋，平面 6 PAC与平西ABC的夹角的大小为x一要=晋 [答案] 5π 6 6 作业（十） 排列与组合 【基础演练】 1.AB 2.C 3.B4.C 【综合演练】 1.C2.B3.C4.B5.A 6.解析将5名党员志愿者分成3组，各组人数为1,1,3或 1,2,2.当各组人数为1,1,3时，共有CCC×A A ccc x 60(种)安排方法；当各组人数为1,2,2时，共有A A=90(种)安排方法.所以不同的安排方法种数为60十 90=150. 答案150 【真题体验】 1.B先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有C种方 式；再从余下的4人中选2人分别安排到星期六、星期日， 有A匠种安排方式.所以不同的安排方式共有C·A?= 60(种).故选B. 2.解析先选两位家长排在首尾有A2=12种排法；再排队 中的四人有A4=24种排法，故有12×24=288种排法. 故答案为288. 答案288 3.解析分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论 具体选修课的分配，结合组合数运算求解， (1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有 CC=16种； (2)当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有CC2 24种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有C2C= 24种； 综上所述，不同的选课方案共有16十24十24=64种， 故答案为64。 答案64 4.解析第一步，从第一行任选一个数，共有4种不同的选法； 第二步，从第二行选一个与第一个数不同列的数，共有3种不 同的选法；第三步，从第三行选一个与第一、二个数均不同列 的数，共有2种不同的选法；第四步，从第四行选一个与第一、 二、三个数均不同列的数，只有1种选法. 由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为4×3×2× 1=24. 先按列分析，每列必选出一个数，故所选4个数的十位上 的数字分别为1,2,3,4.再按行分析，第一、 二、三、四行个 位上的数字的最大值分别为1,3,3,5，故从第一行选21， 从第二行选33，从第三行选43，从第4行选15，此时个位 上的数字之和最大.故选中方格中的4个数之和的最大值 为21+33+43+15=112. 答案24112 [每日格言]盛年不再来，一日难再晨。及时当勉励 【易误警示】 [示例1][解析]设既能当车工又能当钳工的2名工人为 A,B.A,B都不在内的选派方法有CC4=5(种)；A,B都 在内且当钳工的选派方法有C2CC=10(种)；A,B都在 内且当车工的选派方法有CCC=30(种)；A,B都在内， 且一人当钳工，另一人当车工的选派方法有A2CC= 80(种)；A,B有一人在内且当钳工的选派方法有C2CsC4 20(种)；A,B有一人在内且当车工的选派方法有CCC= 40(种).所以不同的选派方法共有5十10十30十80十20十 40=185(种). [答案]185 [示例2][解析]解法一（特殊元素优先法）丙、丁相邻 且顺序固定，故将其视为1个元素，记为丙丁，则6项工程 可视为5个元素.分成两步来完成：第一步，从5个位置中 选择3个位置排列甲、乙、丙丁这3个特殊元素，义甲、乙、 丙丁的相对顺序固定，故不同的排法有C=10(种)；第二 步，将余下的2项工程任意排列到剩下的2个空位置上， 不同的排法有A经=2（种）.由分步乘法计数原理，可知共 有10×2=20种不同排法. 解法二（插空法）分成两步来完成：第一步，将相对顺序 固定的甲、乙、丙、丁排列好，丙、丁相邻且顺序固定，从而 形成3个特殊元素（丙、丁视为1个元素），共有1种排法； 第二步，将余下的2项工程逐个插入3个特殊元素所形成 的空隙中，共有CC5=20种排法.根据分步乘法计数原 理，安排这6项工程共有1×20=20种不同排法. 「答案720 作业（十一）二项式定理 【基础演练】 1.D2.D3.C 4.解析1-3C1。+9C。-27C。+…-3C9。+310= C。(-1)10×3°+C。(-1)9X3+C。(-1)8×32+ C。(-1)7×33+…+C。(-1)1×3+C8(-1)°× 30=(-1+3)10=210,即1024. 答案1024 【综合演练】 1.BC 2.ABD 3.C 4.ABD 5.D 6.证明当n≥3，n∈N+时，3”=(1+2)"=C0×2°十C1X 2+C2×22+…+C×2m>C%×2°+C.×2+C×22= n！ 1+2m+21m-2X4=1+2m+2m(n-1)=2m+1,所 以原不等式成立 【真题体验】 1.B当x=1时，1=a4+a3十a2+a1十ao①；当x=-1时， 81=a4-a3十a2-a1+ao②；①十②，得a0十a2十a4=41. 故选B. 2.解析由通项公式T+1=C·25-*·x5-·（-1)=C· (-1)·25-x5-,k=0,1,2,3,4,5. 令5一k=3,得k=2, 可得x3项的系数为C8·(-1)2·25-2=80. 故答案为80. 答案80 3.解析x的系数为a.=Co02023十C2023100-· (-1)=C102023*[1+202310-4(-1)],k=0,1, 2,,100,要使a<0,则k必为奇数，且2023100-2张>1， ∴.100-2k>0,即k<50,.k的最大值为49. 答案49 4.解析令x=0,则a。=1, 又(1-2x)=a-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x, 故(1-2x)4=a0+a1(-2x)+a2（-2x)2+ag(-2x)3+ a4(-2x)4, 令t=-2x,则(1十t)4=ao十a1t十a2t十a3t十a4t, 令t=1,则a。十a1十a2十a3+a4=2, 故a1十a2十a3十a4=15. 故答案为：1,15. 答案115 【易误警示】 示例1门[解析](2+)的展开式的通项为T+1 C()-t·（2)=2C2-,0≤k≤8，k∈N4令16- 3=4,解得k=4,所以含x的项是第5项.故选C [答案]C ,岁月不待人。 高二数学（配BSD版） [示例2][解析]由题意，知(2一x)”的展开式中所有项 的系数的绝对值之和等价于(2十x)”的展开式中所有项 的系数之和，所以a=3,又易知6=2，所以合十8= (号)广+（受）广设1=（号）广，固为nEN,所以0<≤ 号又西最y=十}在区间(0，号]上单调递流，所以当 =号，即=1时，名+号取得最小值，为吕 [答案]吕 作业（十二） 随机事件的条件概率 【基础演练】 1.D2.C3.C4.A 【综合演练】 1.A 2.C 3.AB 4.C 5.BD 6.解析(1)设事件A表示“零件是次品”，B表示“自动检测 判断零件为次品”，事件A1,A2分别表示零件是一等品、二 等品， P(B)=P(A)P(BA)+P(A,)P(BA,)+P(AP(B A) =0.1×0.9+0.2×0.05+0.7×0=0.1, P(AIB)-P(AB)_P(A)P(BIA)0.1X0.9_9 P(B) P(B) 0.1 10 所以在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是 次品的抵率为品 (2)设事件C表示“零件需要进行人工抽检”，D表示“人工 抽检的零件为一等品”，则P(C)=0.7十0.2×0.15= 0.73,P(CD)=0.7, 所以人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率为 P(D1C)=PCD)=0.Z'70 P(C)-0.7373 【真题体验】 1.B因为A,B相互独立，故P(AnB)=P(A)P(B)=号× =1 2 ,故选B 2.解析设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5n,4n, 6n,所以总数为15n, 所以甲盒中黑球个数为40%X5n=2n,白球个数为3n; 乙盒中黑球个数为25%×4n=n,白球个数为3n; 丙盒中黑球个数为50%×6n=3n,白球个数为3n; 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件 A,所以，P(A)=0.4×0.25×0.5=0.05; 记“三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件B, 黑球总共有2n十n十3n=6n个，白球共有9n个， 所以，P(B)= 册号故答案为0.05；号 答案0.05 3 5 3.解析(1)用频率估计概率，从甲校随机抽取1人，做对题 目的燕率为品二合 (2)设A为“从甲校抽取1人做对”，则P(A)=0.8,则 P(A)=0.2; 设B为“从乙校抽取1人做对”，则P(B)=0.75,则 P(B)=0.25, 设C为“恰有1人做对”，故P(C)=P(AB)十P(AB)= P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.35, 而X可取0,1,2， P(X=0)=P(AB)=0.05,P(X=1)=0.35,P(X=2)= 0.8×0.75=0.6 故X的分布列如下表： X 0 1 P 0.05 0.35 0.6 故EX=0×0.05+1×0.35十2×0.6=1.55. (3)设D为“甲校掌握该知识的学生”， 因为甲校掌握这个知识，点则有100%的概率做对该题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择 一个，