作业(九)空间向量在立体儿何中的应用(二)-【假期作业】2026年高二数学寒假假期作业（北师大版·新教材）

[每日格言】节制使快乐增加并使享受加强。 作业（九） 空间向量在立体几何中的 1知识整合 1.利用空间向量求空间角 设直线l,m的方向向量分别为u,v,平面 a,3的法向量分别为n1,n2,则 线线 夹角 L,m的夹角为9∈[0，]cos0=可 u·v 线面 l,a 夹角 的夹角为0∈[0]，sin0- lun 面面 夹角 e0的夹角为cp引oas= 2.直线外一点到直线的距离 若点P是直线1外一点，l。是直线1的单位 方向向量，点A是直线1上任意一点，则点P 到直线1的距离为d=PA2-PA.,. 3.平面外一点到平面的距离 点到平面a的距离，等于点P与平面a内 任意一点A连线所得向量PA,在平面α的 单位法向量。方向上所作投影向量的长 度，即d=|PA·nol. 2基础演练 1.若平面a的一个法向量为n1=(1,0,1),平 面B的一个法向量为n2=(一3,1,3)，则平 面α与平面B的夹角等于 A.30° B.45° C.60° D.90° 2.(多选)(2025·安徽名校联考)在空间直角 坐标系Oxyz中，A(2,0,0),B(1,1,-2), C(2,3,1),则 21 高二数学（配BSD版） 今 月 日 应用（二） 台 星期 天气 A.Ai·BC=-5 B.|AC=2√3 C.异面直线OB与AC所成角的余弦值 为 D.点O到直线BC的距离是3Y42 14 3.在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2,AC= 2√2，PB⊥平面ABC,点M,N分别为 AC,PB的中点，MN=√6，Q为线段AB 上的点（不包括端点A,B),若异面直线 PM与CQ所成角的余弦值为，则 BQ ( BA A.}或4 c号 D 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为 BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD 夹角的余弦值为 3综合演练 1.(2025·苏州八校联考)已知正四棱台 ABCD-A1B1C1D1,AB=4,A1B1=2,二面 角A1-BCA的正切值为2，则正四棱台 ABCD-A1B1C1D1的体积为 ( ) A. B.56 C.12W5+20 D.125 2.(多选)在正三棱柱A1B1C1-ABC中， AA1=√3AB,则 () 寒假作业成功不是将来才有的，而是从决定去做的那 A.直线AA1与CB1所成的角为30° B.直线AC,与CB,所成的角为60° C.AC与平面ABC所成角的正弦值为 D.AC,与侧面AA,B,B所成角的正弦值 为 3.(2025·浙江高二名校联考)在空间直角坐 标系中，定义：平面α的一般方程为Ax十 By+Cz+D=0(A,B,C,D∈R,且A,B,C 不同时为零)，点P(xo,yo,之)到平面a的 距离d=1A,十B+C,+D,则在底面 √JA2+B2+C2 边长与高都为2的正四棱锥P-ABCD中， 底面中心O到侧面PAB的距离d等于 ( &9 C.2 D.5 4.已知在正四棱柱ABCD-A1B,C,D1中， AB=2,CC=2√2，E为CC的中点，则直线 AC与平面BED的距离为 5.《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、 下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为 邪.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为 邪田，两畔CD,AB的长分别为1,3，正广 AD长为2√3，PD⊥平面ABCD,则邪田 ABCD的邪长为 ;邪所 在直线与平面PAD所成角的大小为 6.（2025·重庆部分学校 调研)如图，在五棱锥 P-ABCDE中，已知 PA⊥底面ABCDE, PA=AB=2,AE=3, 22 一刻起，持续累积而成。 [每日格言] BC=2E,BC=Ai+号A正，D心=号A店 3迹 (1)证明：平面PAE⊥平面PDE; (2)求侧面PBC与侧面PDE所成二面角 的余弦值. 4真题体验 1.（2025·全国一卷)如图，在四棱锥 P-ABCD中，PA⊥底面ABCD, AB⊥AD,BC∥AD. (1)证明：平面PAB⊥平面PAD; (2)PA=AB=J2,BC=2,AD=1+ √3，且点P,B,C,D均在球O的球面上. (1)证明：点O在平面ABCD内； (ⅱ)求直线AC与PO所成角的余弦值. [每日格言]有志者自有千计万计，无志者只感千难 2.(2025·全国二卷)如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD,∠DAB=90°，F为CD的中 点，点E在AB上，EF∥AD,AB=3AD, CD=2AD,将四边形EFDA沿EF翻折 至四边形EFD'A',使得面EFDA'与面 EFCB所成的二面角为60°. E B (1)证明：A'B∥平面CD'F; (2)求面BCD与面EFD'A'所成的二面角 的正弦值. 难。 高二数学（配BSD版） 5易误警示 易错一忽视所求角的三角函数名称 [示例1]如图所示，在三棱锥 O-ABC中，OA,OB,OC两两 0 互相垂直，OA=OC=3,OB=2, 则直线OB与平面ABC所成角的正弦 值为 名师叮嘱 设直线l与平面Y形成的线面角等于a,平 面Y的法向量与直线1的方向向量的夹角等于B, 则a十B=90°或a十(180°-)=90°，所以sina= cosB或sina=一cos3,故sina=|cosB|.解题时 要注意两者之间的联系，并注意区分要求的三角 函数名称。 易错二忽视空间角的范围 [示例2]如图所示，四棱锥 S-ABCD的底面是正方形， 每条侧棱的长都是底面边 长的√2倍，SD⊥平面PAC, P为侧棱SD上的点，则二面角PACB 的大小为 ,平面PAC与平面 ABC的夹角的大小为 名师叮嘱 空间角的取值范围：①两条直线夹角的取值 范围是[0，受]，②异面直线的夹角的取值范围是 (0,]:③直线与平面所成角的取值范围是 [0,]:④二面角的取值范围是[0，]：⑤两个平 面夹角的取值范国是[0，受]， 注意区分两条直线的方向向量的夹角、直线 的方向向量与平面的法向量的夹角、两个平面的 法向量的夹角跟上述空间角的关系，避免出错. 23[每日格言]生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼 故不满足平面MAC⊥平面SCD. 综上可知，在线段SD上存在一点M,使得平面MAC⊥平 面SCD,此时S-5 SD 6 作业（九）空间向量在立体几何中的应用（二） 【基础演练】 1.D2.AC3.D 4.解析以A为坐标原点建立如图所示的空 间直角坐标系，设棱长为1，则A1(0,0,1), E(10,)D0,10, B AD=01,-10A正-(（10，-) 设平面AED的一个法向量为n=(x,y,2), 则·AD=0即 |y-2=0, (n1·A1E=0, -2=0,令x= 2:m=(12,2》. 又平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1), 2 2 六cos(nm)=3X=3 即平面AED与平面ABCD夹角的余孩值为号 答案3 2 【综合演练】 1.B 2.ACD 3.B 4.解析以D为原，点，DA,DC,DD1所 在直线分别为x轴，y轴，之轴建立空 间直角坐标系（如图），则D(0,0,0), A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0), C(0,2,22),E(0,2,V2),则DB= (2,2,0),DE=(0,2,√2)，易知AC1∥ 平面BDE. 设n=(x,y之)是平面BDE的法向量. 则/n·D5=2z+2y=0, (n·DE=2y+√2x=0. 取y=1,则n=(-1,1,一√2)为平面BDE的一个法向量. 又DA=(2,0,0), 所以点A到平面BDE的距离是 d=n·DA 1-1×2+0+01 =1. n W(-1)2+1+(-√2)2 故直线AC1到平面BED的距离为1. 答案1 5.解析如图，过点C作CE⊥AB,交 AB于点E,则CE=AD=2√3，BE= AB-CD=2,.邪田ABCD的邪长 BC=√CE+BE=√(2√3)2+22 =4. 以D为原，点，DA,DC,DP所在直线分 A E B 别为x轴，y轴，之轴，建立空间直角坐标x 系，平面PAD的一个法向量为n=(0,1,0).又C(0,1,0), B(2√3,3,0)，则CB=(23,2,0). 设邪所在直线与平面PAD所成角为日， wa-爱月-分汉所o]0音 “邪所在直线与平面PAD所成角的大小为石 答案4 6.解析(1)证明因为PA=AB=2,AE=3,BC=2√2， 由B心=A+号A范，得B心-A+号A+号A店·A应， 即8=4+号×9+号店·应，即应：应=0，所以ABLAE. 因为PA⊥底面ABCDE,ABC平面ABCDE,所以 AB⊥PA, 搏而前行。 高二数学（配BSD版） 因为AE∩PA=A,AE,PAC平面PAE,所以AB⊥平 面PAE. 又D苑=D心+C+BA+A花=(2A-}A)- (+号A）-A+应--是成 所以AB∥DE,所以DE⊥平面PAE, 因为DEC平面PDE,所以平面PAE⊥平面PDE. (2)因为PA⊥底面ABCDE,AB⊥AE, 所以以，点A为坐标原点，AB,AE,AP所在直线分别为x, y,之轴建立如图所示的空间直角坐标系， P E Y B 则P(0,0,2),B(2,0,0),E(0,3,0),A(0,0,0), t-A+号A应=(2,0,0)+号03,0)=(2,2,0，前- (-2,0,2). 设平面PBC的法向量为m=(x1,y1,之1)， 取x1=1,则y=-1,之1=1，所以m=(1,-1,1). 励=号Ai=号20,0)=(80,0，肺=0，-3,2， 设平面，PDE的法向量为n=（x2,y2,2), 部 取y2=2,则x2=0,22=3,所以n=(0,2,3), 所以cos(m,m》=m·n3X√ m·t 1 -v39 39 因为侧面PBC与侧面PDE所成二面角为钝二面角， 故侧面PBC与侧面PDE所成二面角的余弦值为- 39 【真题体验】 1.解析(1)证明因为PA⊥平面ABCD,ADC平面 ABCD,所以PA⊥AD, 又AD⊥AB,PA∩AB=A,PA,ABC面PAB 所以AD⊥平面PAB, 又ADC平面PAD,所以平面PAD⊥平面PAB. (2)(i)证明以A为坐标原点，AB,AD,AP所在的直线 分别为x轴、y轴、之轴，建立空间直角坐标系Axyz,如图 所示， 2 B“A D 则B(2,0,0),C(w2,2,0),D(0,1十√3,0)，P(0,0,2),设 O(a,b,c),因为点P,B,C,D均在球O的球面上，所以 1OB1=1OC1=1OD1=1OP1, 则(a-√2)2+b62+c2=(a-√2)2+(b-2)2+c2=a2+(b- 1-3)2+c2=a2+b2+(c-√2)2， 得a=0,b=1,c=0,即0(0,1,0)， 所以点O在AD上，即点O在平面ABCD内. （i)AC=(2,2,0),P0=(0,1,-√2)， 设直线AC与PO所成角为0， 则cos0=1cos(Ad,Pd1=1AC·P0 22 1AC1Pδ1√6×53’ 所以直线AC与PO所成角的余弦值为 3 寒假作业人的大脑和肢体一样，多用则灵，不用贝 2.解析(1)证明因为EF∥AD,AB∥CD,所以AEFD是 平行四边形，所以AE∥DF,所以A'E∥DF, 因为DFC平面CDF,A'E中平面CDF,所以A'E∥平 面CD'F, 因为FC∥EB,FCC平面CD'F,EB屯平面CDF,所以 EB∥平面CDF, 又EB∩A'E=E,EB,A'EC平面A'EB,所以平面A'EB∥ 平面CD'F, 又A'BC平面A'EB,所以A'B∥平面CDF. (2)因为∠DAB=90°，所以AD⊥AB,文因为AB∥FC, EF∥AD,所以EF⊥FC, 以F为原点，FE,FC所在直线以及垂直于平面BEFC的 直线分别为x,y,之轴，建立空间直角坐标系. C A E 因为D'F⊥EF,CF⊥EF,平面EFD'A'与平面EFCB所 成二面角为60°， 所以∠D'FC=60°. 设AD=1,所以AB=3,CD=2, 因为F为CD中，点，所以DF=1， 则B1,2.0,c(0,1,0,D(0,号，号)E(1,0,0 F(0,0,0), 所以成=（-1，-10.市-(0，-号号)，成=10.0， F币=(，2,9)月 设平面BCD的法向量为n=(x,y,z),则 BC·n=0, lCd·n=0, -x-y=0, 所以 1 令y=√3，则x=1,x=一√3，则n=(一√3，√3,1). 设平面EFDA'的法向量为m=(x1,y1,之1)， /x1=0, 则盛m=0,所以 F币·m=0, 以{分+=0， 令y1=√3，则1=-1，x1=0,所以m=(0,W3,-1). 令面BCD'与面EFD'A'夹角为0， 所以cos0=cos(m,n)1=mm 0+3-11 mn√3+3+1×√1+3 √7 所以平面BCD与平面EFD'A'夹角的正弦值为 7 【易误警示】 [示例1][解析]以O为坐标原点，OB,OC,OA所在的直 线分别为x轴、y轴、之轴，建立空间直角坐标系Oxyz(图 略)，则O(0,0,0),A(0,0,3),B(2,0,0),C(0,3,0),故 OB=(2,0,0),AB=(2,0,-3),AC=(0,3,-3), 设平面ABC的法向量为m=(x,y,z), 则店：m=8-3=0:取=1，则x=是y=1,故m (AC·m=3y-3z=0, (号，1,1)是平面ABC的-个法向量，cos(O成，m= OB·m 3 10BlIml 2X7 3Y厘，故直线OB与平面ABC 17 2 所成角的正弦值为37 17 [答案]31☑ 17 5 废。 [每日格言] 「示例2]「解析门连接BD,设AC交BD于 点O,则SO⊥平面ABCD.以O为坐标原 点，OB,OC,OS所在的直线分别为x轴、y 轴、之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设底面边长为a,则SO= 2, B C -号a0,-a.显然n=00,1是平面ABC的-个 法向量，5市=(-号。，0，-)是平面PAC的-个法向 量.设二面角PACB为0，则cos0=cos〈n,SD》= √6 n·SD 2 、3 nSDI 1x-)+(-) ,又0e [0,],所以0=吾，故二面角PACB的大小为晋，平面 6 PAC与平西ABC的夹角的大小为x一要=晋 [答案] 5π 6 6 作业（十） 排列与组合 【基础演练】 1.AB 2.C 3.B4.C 【综合演练】 1.C2.B3.C4.B5.A 6.解析将5名党员志愿者分成3组，各组人数为1,1,3或 1,2,2.当各组人数为1,1,3时，共有CCC×A A ccc x 60(种)安排方法；当各组人数为1,2,2时，共有A A=90(种)安排方法.所以不同的安排方法种数为60十 90=150. 答案150 【真题体验】 1.B先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有C种方 式；再从余下的4人中选2人分别安排到星期六、星期日， 有A匠种安排方式.所以不同的安排方式共有C·A?= 60(种).故选B. 2.解析先选两位家长排在首尾有A2=12种排法；再排队 中的四人有A4=24种排法，故有12×24=288种排法. 故答案为288. 答案288 3.解析分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论 具体选修课的分配，结合组合数运算求解， (1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有 CC=16种； (2)当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有CC2 24种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有C2C= 24种； 综上所述，不同的选课方案共有16十24十24=64种， 故答案为64。 答案64 4.解析第一步，从第一行任选一个数，共有4种不同的选法； 第二步，从第二行选一个与第一个数不同列的数，共有3种不 同的选法；第三步，从第三行选一个与第一、二个数均不同列 的数，共有2种不同的选法；第四步，从第四行选一个与第一、 二、三个数均不同列的数，只有1种选法. 由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为4×3×2× 1=24. 先按列分析，每列必选出一个数，故所选4个数的十位上 的数字分别为1,2,3,4.再按行分析，第一、 二、三、四行个 位上的数字的最大值分别为1,3,3,5，故从第一行选21， 从第二行选33，从第三行选43，从第4行选15，此时个位 上的数字之和最大.故选中方格中的4个数之和的最大值 为21+33+43+15=112. 答案24112