作业(七)空间向量及其运算-【假期作业】2026年高二数学寒假假期作业（北师大版·新教材）

[每日格言]平凡的脚步也可以走完伟大的行程。 作业（七） 空间向量及其 1知识整合 1.共线向量定理、共面向量定理 (1)共线向量定理：如果a≠0且b∥a,则 存在唯一的实数入，使得b=a. (2)共面向量定理：如果两个向量a,b不共 线，则向量a,b,c共面的充要条件是，存在 唯一的实数对(x,y),使c=xa十yb. 2.空间向量基本定理 如果向量a,b,c是空间三个不共面的向 量，p是空间任意一个向量，那么存在唯一 的三元有序实数组(x,y,z),使得p=xa十 yb+zc. 3.空间向量的运算 (1)空间向量的运算、运算律及其几何意义 与平面向量的运算类似。 (2)空间向量运算的坐标表示 ①空间向量运算的坐标表示 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3）. 运算 坐标表示 加法 a+b=(a1十b1,a2十b2,a3十b3) 减法 a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3) 数乘 a=(aa1,λa2,a3),∈R 数量积 a·b=a1b1+a2b2+a3b3 ②空间向量常用结论的坐标表示 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). 结论 坐标表示 a∥b(b≠0)台a=b台a1=λb1,a2=λb2, 共线 a3=λb3(a∈R) 高二数学（配BSD版） 今 月 日 星期 运算 台 历 天气 续表 结论 坐标表示 垂直 a⊥b台a·b=0台a1b1十a2b2十a3b3=0 |a=√a·a=√/ai+a+a3; 模 |b|=√b·b=√/b所+b+b cos(a,b)-Jallb[ a·b 夹角 a1b1十a2b2+a3b3 √a+a+ag·√+b+b ③空间两点间的距离公式 设P1(x1y1,之1)，P2(x2y2,之2)是空间中 任意两点，则PP2=PP2|= √(x2-x1)2+(y2-y1)2十(22-21)7. 4.空间向量共线、共面的结论 (1)证明空间三点A,B,P共线：①AP= λAB;②OP=OA+λAB;③OP=xOA+ yOB,其中x+y=1.(O为空间中不与A, B,P重合的任意一点) (2)证明空间四点A,B,P,M共面：①MP= xMA+yMB;②OP=OM+xMA+ yMB;③OP=xOA+yOB+xOM,其中 x十y+之=1；④PM∥AB(或PA∥MB或 PB∥AM.(O为空间中不与A,B,P,M 重合的任意一点) 2基础演练 1.(2025·青岛二中高二期末)已知a= (2,1,一3)，b=(-1,2,3),c=（7,6,),若 a,b,c三向量共面，则λ= () A.9 B.-9 C.-3 D.3 寒假作业勤奋学习，善于思考，不断总结是成功 2.设x,y∈R,向量a=(x,1,1),b= (1,y,1),c=(3,-6,3),且a⊥c,b∥c,则 a+b= ( A.2√2 B.2√3 C.4 D.3 3.(2025·湖南师大附中 模拟)如图，在四面体 P ABCD中，点O为底 面△BCD的重心，P为 B 0 AO的中点，设AB=a, AC=b,AD=c,则B产= A名ab B.-5 1 a+ , b 6 6c C.ao 1 1 3c D.-2a+1 1 3a+3b+3c 4.（多选)已知向量a=（1,-1,m),b=(-2, m一1,2)，则下列结论正确的是（) A.若|a|=2,则m=土√2 B.若a⊥b,则m=-1 C.不存在实数λ，使得a=b D.若a·b=-1,则a+b=(-1,-2,-2) 3综合演练 1.(2025·广东佛山南海中学月考)已知空间 向量a=(2,一1,2)，b=(1,一2,1)，则向 量b在向量a上的投影向量是 () A合-号) B.(2,-1,2) c(层引 D.(1,-2,1) 2.(多选)如图所示，四个棱长为1的正方体 排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱， P:(i=1,2,3,…,16)是上、下底面上除A, B两点以外其余的十六个点，则AB·AP 的值可能是 的法宝。 [每日格言] P2 P P P P P P P P Pio P12 P A.0 B.1 C.2 D.3 3.(多选)(2025·四川广元苍溪中学月考)在 四面体PABC中，有以下四个结论，其中 正确的是 () A.若AD-}AC+号A店，则B心-3BD B.若四面体PABC的各棱长都相等，则 P克·A心=0 C.若PA·B心=0，P心·A方=0，则P克· AC=o D.若四面体PABC的各棱长都为2，M, N分别为PA,BC的中点，则|MN|=1 4.（多选)在三维空间中，定义a×b叫作向量 a与b的外积，它是一个向量，满足下列两 个条件： ①a⊥(a×b),b⊥(a×b), 且a,b和a×b构成右手 系（即三个向量的方向依 axb-a 次与右手的拇指、食指、中指的指向一致， 如图所示)； ②aXb的模|a×b=a|bsin(a,b>(a,b) 表示向量a,b的夹角) 在正方体ABCD-A1BC1D1中，有以下四 个结论，其中正确的有 () A.|AB×AC1=|AD,×Di B.AC×A方与BD共线 C.AB×A方=A方XAB D.6|BC×AC1与正方体表面积的数值 相等 5.(2025·山西大学附属中学期末)如图，在 平面角大小为60°的二面角AEF-D中，四 边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方 形，则B,D两点间的距离是 [每日格言]量变的积累产生质变，积累要学会利用点 R 6.如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底 面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB 的中点，A=号Ai,A店=2G,AC与 平面EFG交于点M,则AM AC D E B 4真题体验 1.(2024·上海卷)定义一个集合，其元素 是空间内的点，任取P,P2,P3∈Q,存在 不全为0的实数入1，入2，入3，使得入OP十 λ2OP2+λ3OP3=0(其中O为坐标原点). 已知(1,0,0)∈2，则(0,0,1)2的充分 条件是 ) A.(0,0,0)∈2 B.(-1,0,0)∈2 C.(0,1,0)∈2 D.(0,0,-1)∈2 2.（多选)(2021·新高考全国卷I)在正三棱 柱ABCA1B1C1中，AB=AA1=1,点P满 足BP=λBC+uBB1,其中λ∈[0,1]，u∈ [0,1],则 A.当λ=1时，△AB1P的周长为定值 B.当4=1时，三棱锥P-A1BC的体积为 定值 C.当入=2时，有且仅有一个点P,使得 AP⊥BP D当u=时，有且仅有一个点P,使得 A1B⊥平面AB1P 滴时间。 高二数学（配BSD版） 3.(2024·上海卷改编)如图，已知四棱柱 ABCD-A1B,C1D1,底面ABCD为平行四 边形，AA,=3,BD=4且AB1·BC- AD·DC=5,则异面直线AA1与BD的 夹角的余弦值为 D B 5易误警示 易错一 忽略向量共线情形而致误 [示例1]已知向量a=(-2,1,4)与向量 b=(一4,2，t)的夹角为锐角，则实数t的 取值范围为 名师叮嘱 两向量a,b的夹角为锐角时，a·b>0,但 a·b>0时，a,b的夹角为锐角或零角；两向量 a,b的夹角为钝角时，a·b<0,但a·b<0时， a,b的夹角为钝角或平角，故在解题时应注意排 除向量a,b共线的情况. 易错二混淆向量夹角与异面直线所成角的 范围而致误 [示例2]如图所示，在三棱锥O-ABC中， ∠AOB=∠AOC=60°，OA=OB=OC, BC=√2OA,则异面直线OB与AC所成角 的大小是 A.30° B.60° C.90° D.120° 名师叮嘱 异面直线所成角的取值范围为(0，]，因此 当对应向量的夹角为钝角时，应取其补角为异面 直线所成的角：[每日格言]一切节省，归根到底都归结为时间的节 ,过点P(4,-2),.4=2p·4或16=-2p·(-2). .2p=1或2p=8. 故所求的抛物线方程为y=x或x2=一8y.故选AC. [答案]AC 作业（七） 空间向量及其运算 【基础演练】 1.B2.D3.B4.AC 【综合演练】 1.A 2.AB 3.ABC 4.ABD 5.解析，四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形， ∴AE⊥EF,DE⊥EF,BF⊥EF,CF⊥EF,又平面ABFEO 平面CDEF=EF,∴.平面ABFE与平面CDEF的二面角 为∠AED=∠BFC=6O°，易得BD=BF十FE+ED, :.BD2=(BF+FE+ED)2=BF2+FE2+ED2 +2BF·FE+2BF·ED+2FE·ED=1+1+1+0+ 2×1×1×c0s120°+0=2，.|BD=√2，故B,D两，点间的 距离是√2. 答案√2 6.解析由题图，设AM=λAC1(0<A<1), 由巴知AG=AB+A市+AA=2A+3A+多AG, 所以A成=2xA正+3A正+a花， 因为M,E,F,G四点共面， 所以2以十3以+登-1，将得X品即把合 AC,-13 答案13 【真题体验】 1.C因为存在不全为0的实数入入2，使得入OP十 λ2OP。十λ？OP,=0,所以OP,,OP,,OP。共面.只要三点对 应的向量共面就有(0,0,1)∈2，否则就能得到(0,0,1)庄2.对 于选项A,(0,0,0)对应的向量是零向量，零向量与任意向 量共线，故三点对应的向量共面，不能推出(0,0,1)年Ω，故 A错误；对于选项B,若(1,0,0)，（一1,0,0）∈2，且(1,0， 0),(一1,0,0)两点对应的向量共线，所以(0,0,1)可以属 于2，故B错误；对于选项C,显然，(1,0,0)，(0,1,0)，(0， 0,1)三点对应的向量不共面，故可以推出(0,0,1)止，故 C正确；对于选项D,(0,0,一1)与(0,0,1)两点对应的向量 共线，(1,0,0)，(0,0，一1)，(0,0,1)三点对应的向量共面， 故不能推出(0,0,1)庄2，故D错误，故选C. 2.BD易知，点P在矩形BCC1B1内部（含边界）. 对于A,当A=1时，BP=BC十HBB1=BC十uCC1,即此时 P∈线段CC1,△AB,P周长不是定值，故A错误； 对于B,当=1时，BP=λBC+BB1=BB,+入B,C1,故此 时P点轨迹为线段BC,而BC∥BC,BC1∥平面ABC, 则有P到平面A1BC的距离为定值，所以其体积为定值，故B 正确； 对于C,当入=是时，B驴=C+nB丽，取BC,B,G中点 2 分别为Q,H,则BP=BQ十μQi,所以P点轨迹为线段 QH,不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，则 A(停01)p(0,0,B(0,70),所以A市= (-0,-1),=(o,-合)g-1D=0,所以 μ=0或μ=1.故H,Q均满足，故C错误； N y 对于D,当A=合时，B萨-AB心+合B6,取BB,CG中 点为M,N.BP=BM+aMN,所以P点轨迹为线段MN. 设P(0%号)，因为A(0,0小，所以萨- (-9%）A店=（-，，-1所以是+ 5 省。 高二数学（配BSD版） 1 1 -2=0→= 2,此时P与N重合，故D正确」 故选BD. 3.解析、令AB=a,AD=b,AA1=c,并将其作为一组基底， 则AB,·BC-AD·DC=(AB+BB)·BC-(AD+ DD)·DC=(a十c)·b-(b+c)·a=c:(b-a)= AA,·BD=|AA1·|Bi1·cos〈AA,BD)=5,所以 os(AA,B市=2，即异面直线AA与BD的夹角的余 5 弦值为2 5 答案2 【易误警示】 [示例1][解析]：向量a=(-2,1,4),b=(-4,2,t)的 夹角为锐角， a…b=8+2+4>0,解得>-号 当a6时，号日兰每得8， t 实数t的取值范周为(-号，8)U(8,十∞)》。 [答案] (←号，8)u8,+∞) [示例2][解析]OA=OB=OC,BC=√2OA, .∠BOC=90°.：OA=OC,∠AOC=60°，.AC=OA. 又OB·AC=OB·(OC-OA)=OB·OC-OB.OA -0i.oi=-号oi, .cos(B,AC)=O店·Ad =-1 IOBIIACI 29 又(OB,AC∈[0°，180]，∴.(OB,AC)=120°， ∴.异面直线OB与AC所成的角为60°. [答案]B 作业（八）空间向量在立体几何中的应用（一） 【基础演练】 1.B 2.B 3.ABC 4.解析由题意知，OA⊥a,直线OA的一个方向向量为 OA=(1,1,1).因为P∈a,所以OA⊥AP,所以(1,1,1)· (x-1,y-1,z-1)=0,所以x十y十z=3. 答案(1,1,1)（答案不唯一）x+y十x=3 【综合演练】 1.B 2.BC 3.ABD 4.解析设M(x,y,z). AB=(1,-1,0),AC=(2,1,-4),BM=(x,y,之-1)， CM=(x-1,y-2,z+3), x-1-y+2=0, 由题意，得{x=一y, （x-1=0, 1 1 .= :点M的丝标为（-合，合，） 设平面ABC的法向量为n三(x,y,之)， 则n·AB=x-y=0,n·AC=2x十y-4z=0. 令x=1,则y=1,=是n=（1,1,是) .3 设点N的坐标为(a,b,c),则BN=(a,b,c-1). 由题：酥/a,即兰=- 1 3 A .点N的坐标满足(4k,4k,3k十1)，其中k≠0. 答案（一子：2,1)(44,40[（只需写出满足(4,4， 3k十1)(k≠0)形式的一个坐标即可] 5.证明PA⊥平面ABCD,ADC平面ABCD, .PA⊥AD. ,PAI平面ABCD,ABC平面ABCD,.PA⊥AB. 又：∠BAD=吾AB⊥AD,则AB,AD,AP两两套直.