作业(六)抛物线-【假期作业】2026年高二数学寒假假期作业（北师大版·新教材）

[每日格言]成功呈概率分布，关健是你能不能坚持到 作业（六） 抛物线 1知识整合 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线 (不经过点F)的距离相等的点的集合 定义 (或轨迹)叫作抛物线.这个定点F叫作 抛物线的焦点，这条定直线L叫作抛物 线的准线 符号 集合P={M|IMF|=d}(d为点M到 语言 准线L的距离) 当F∈l时，动点M的轨迹是过F点且 特例 垂直于l的直线 2.抛物线的标准方程及其几何性质 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 标准 (p>0) (p>0) (p>0) (p>0) 方程 p的几何意义：焦点F到准线！的距离 图形 顶点 0(0,0) 对称轴 直线y=0(即x轴) 直线x=O(即y轴) 焦点 F(多o)(-0r(o,多) 性离心率 e=1 准线 x= 卫 2 =号 y=- 方程 2 范围 x≥0，y∈R x0,y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口 向右 向左 向上 向下 方向 2基础演练 1.设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切，与直线 y=一2相切，则圆C的圆心的轨迹为 A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆 成功开始呈现的那一刻 高二数学（配BSD版） 今 月 台 星期 历 天气 2.(2025·泰州中学高二期末)若抛物线y= mx2(m>0)上一点(t,2)到其焦点的距离 等于4，则 ) A.m Bm=日 C.m=4 D.m=8 3.已知P是抛物线y2=4x上的一动点，F 是抛物线的焦点，点A(3,1),则|PA|+ |PF的最小值为 () A.3 B.23 C.4 D.4√2 4.(2025·汕头期末)已知O为坐标原点，F为 抛物线C:y=2px(p>0)的焦点，点M(x,4) 在C上，且|MF=2OF,则C的方程为 ( A.y=4x B.y=8x C.y=2x D.y=x 3综合演练 1.(2025·长沙一中模拟)已知过坐标原点O的 直线PO与焦点为F的抛物线C:y=2x (p>0)在第一象限交于点P,与C的准线1 交于点Q,若Pδ=4O反，则直线PF的斜率为 () A号 C.1 2.(2025·苏州八校联考)已知P为抛物线C: y2=4x上的一动点，过P作y轴的垂线，垂 足为B,点Q是圆A:x2+(y-4√3)2=1上的 一动点，则|PQ+PB的最小值为() A.8 B.7 C.6 D.5 3.(多选)(2025·华中师大一附中检测)已知抛 物线C:y2=2x(p>0),过C的焦点F作直 线l:x=ty十1，若C与l交于A,B两点， A=2可克，则下列结论正确的有 () 寒假作业读书之法，在循序而渐进，熟读而精 A.p=2 B.AF=3 C.t=2√2或t=-2√2 D.线段AB中点的横坐标为号 4.已知抛物线y2=2px(p>0),若过点(1,2) 的直线1与抛物线恒有公共点，则p的值 可以是 .(写出一个符合题意的答 案即可) 5.已知抛物线C:y2=4x,圆C2:(x-2)2+ y2=2,直线l:y=k(x一1)与C1交于A,B 两点，与C2交于M,N两点，若|AB|=8, 则MN|= 6.在①|PF=x十1，②=2x=2这两个条 件中任选一个，补充在下面的问题中，并 解答 问题：已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦 点为F,点P(xo,yo)在抛物线C上， 且 (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线1过抛物线C的焦点F,与抛物 线C相交于A,B两点，且|AB=8,求直 线1的方程， 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个 解答计分. 4真题体验 1.（2025·全国二卷)设抛物线C:y2=2px (p>0)的焦点为F,点A在C上，过A作 C的准线的垂线，垂足为B,若直线BF的 方程为y=一2x十2，则|AF|=() A.3 B.4 C.5 D.6 思 [每日格言] 2.(多选)(2025·全国一卷)已知抛物线C: y2=6x的焦点为F,过F的一条直线交C 于A,B两点，过A作直线L:x=一 的垂 线，垂足为D,过F且与直线AB垂直的直 线交1于点E,则 A.ADI=AF B.AE=AB C.|AB|≥6 D.AE·BE≥18 3.(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)抛物线C: y2=4x的准线为l,P为C上动点.过P作 ⊙A:x2+(y一4)2=1的一条切线，Q为切 点.过P作l的垂线，垂足为B.则() A.L与⊙A相切 B.当P,A,B三点共线时，|PQ|=15 C.当|PB=2时，PA⊥AB D.满足PA=-|PB的点P有且仅有2个 5易误警示 易错一忽视抛物线定义的隐含条件 [示例1]在平面直角坐标系中，与点(2,3) 之间的距离和其到直线x十2y一8=0的 距离相等的点的轨迹是 () A.直线 B.抛物线 C.圆 D.双曲线 名师叮嘱 定点不在定直线上时，平面内到该定点和到 该定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线；定点 在定直线上时，平面内到该定点和到该定直线的 距离相等的点的轨迹是直线， 易错二忽视抛物线的焦点位置 [示例2]（多选）经过点P(4,一2)的抛物 线的标准方程为 ( A.y2=x B.x2=8y C.x2=-8y D.y2=-8x 名师叮嘱 求过某点的抛物线标准方程时，要分类讨论 抛物线的焦点位置.寒假作业卓越的人一大优点是：在不利与艰难的 2 42F2x 对于C,尚高项B如=6，黑-会-后，子 2,尉e=后+g-什8-瓜，故c 正确 对于D,当a=√2时，由C可知e=√13，故c=√26，故b= 26,故四边形NA,MA:的面积为2SaMm,4=2×号× 26X2√2=8√3， 故D正确，故选ACD. 3.A设曲线上一点为(a,b),则a2-b2=1,则a=√b2+1, 。-1,AB方程为：y-1=x,即x一y十1=0，根据 kAB-1-0 点到直线的距离公式，(a,b)到AB的距离为la-b+1 √2 LB+1-b+1_√6+1-b+1 w② √2 设f(b)=√6+1一b= W62+1+b 由于b>0,显然f(b)关于b单调递减，f(b)mx=f(0),无 最小值， 即△ABC中，AB边上的高有最大值，无最小值， 又AB一定，故面积有最大值，无最小值. 故选A. 【易误警示】 [示例1][解析]根据双曲线定义可得||PFI一|PF2||= 2a=6,又|PF1|=7,所以|PF2|=1或PF2=13.因为P 在双曲线上，所以|PF2|∈[c-a,十o∞)，即|PF2|∈ [2,+∞)，所以PF2=13. [答案]13 [示例2][解析]当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的 标准方程为 y a =1(a1>0,b1>0), 2 由题意知a=3’解得a=18 a+b=26, b=8, 此时风由战的桥准方起为后一苦=1 当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为兰 -=1(a2>0,b2>0), |a2=2 由题意知公专，解得好-18， /a=8, a+b2=26, 此时双曲线的标准方程为片一高二1 等上，所求双南线的标方短为后一苦-1成苦后一1 作业（六）抛物线 【基础演练】 1.A2.B3.C4.B 【综合演练】 1.A 2.D 3.ABD 4.2(不小于2的实数均正确)5.√6 6.解析1)若选①，根据焦半径公式可知P℉=x十号= x十1，解得p=2,所以抛物线方程是y2=4x. 若选②，由%=2=2，得P(1,2),代入抛物线方程y=2x, 得2=2印×1，解得p=2,所以抛物线方程是y=4红. 5 遭遇里百折不挠。 [每日格言] (2)由(1)知抛物线的焦，点为F(1,0), 当直线的斜率不存在时，AB=2D=4≠8， 所以直线1的斜率存在且不为0，设直线l:y=k(x一1)，与 抛物线方程联立解得2(x一1)2=4x, 化简为2x2-(2k2十4)x十2=0， 则+飞2十42十，AB=石十2+p=2十 2 是十2=8，解得=士1， 所以直线l的方程是y=x一1或y=一x十1. 【真题体验】 1.C因为l:y=-2x十2，令y=0,则x=1, 所以F(1,0),p=2,即抛物线C:y=4x,故抛物线的准线 方程为x=-1, 故B(-1,4),则yA=4,代入抛物线C:y2=4x得xA=4. 所以AF-|AB到=x+号=4+1=5. 故选C VA B 2.ACD直线1为抛物线的准线，由抛物线的定义，可知 IAD=|AF,故A正确；当AB⊥x轴时，A(号，3)，B (受，-3)，E(-0),AB1=6,AE到=3E,此时 |AE≠|AB|,故B错误；易知直线AB的斜率不为0，设 直线AB:x=my十是，A(西)，B(),由 3 x=my+立'得y2-6my-9=0,则为十2=6m,1%= y2=6x -9,x1十x2=m(y1+y2)+3=6m2+3,|AB|=x1+x2十 3=6m2十6≥6，故C正确；当m=0,即AB⊥x轴时，由B 知，AE=|BE1=3√2，|AE·|BE=18.当m≠0时， 直线EF:x=-1、 -ay+是，E(-名，3m）,1EF1 V9+9mF,Sae=AE·BEsm∠AEB=号|AB· |EF=号(6+6m)·V9+9m=9(1+m2)>9,所以 IAE·IBE> sin∠AEB>18.综上，AE·1BE≥18， 18 故D正确.故选ACD. 3.ABD(数形结合法)对于A,易知L:x=一1，故1与⊙A 相切，故A正确； 对于B,A(0,4),⊙A的半径r=1,当P,A,B三点共线时， P(4,4),所以|PA|=4,1PQ|=√TPA-r=√42-1= √/15，故B正确； 对于C,当|PB=2时，P(1,2),B(-1,2)或P(1,一2)， B(一1，一2)，易知PA与AB不垂直，故C错误； 对于D,记抛物线C的焦，点为F,连接AF,PF,易知F(1,0), 由抛物线定义可知|PF|=IPB引，因为|PA|=|PB引，所以 PA|=PF,所以点P在线段AF的中垂线上，线段AF 的中垂线方程为y=子x十吕，甲x=4y一艺，代入) 1 4x可得y2一16y十30=0，解得y=8士√34，易知满足条 件的，点P有且仅有两个，故D正确.故选ABD. 【易误警示】 [示例1][解析]因为，点(2,3)在直线x+2y一8=0上，所以所 求，点的轨迹是过，点(2,3)且与直线x十2y一8=0垂直的直线. [答案]A [示例2][解析]点P(4,-2)在第四象限，∴设所求的 抛物线方程为y2=2px(p>0)或x2=一2py(p>0), [每日格言]一切节省，归根到底都归结为时间的节 ,过点P(4,-2),.4=2p·4或16=-2p·(-2). .2p=1或2p=8. 故所求的抛物线方程为y=x或x2=一8y.故选AC. [答案]AC 作业（七） 空间向量及其运算 【基础演练】 1.B2.D3.B4.AC 【综合演练】 1.A 2.AB 3.ABC 4.ABD 5.解析，四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形， ∴AE⊥EF,DE⊥EF,BF⊥EF,CF⊥EF,又平面ABFEO 平面CDEF=EF,∴.平面ABFE与平面CDEF的二面角 为∠AED=∠BFC=6O°，易得BD=BF十FE+ED, :.BD2=(BF+FE+ED)2=BF2+FE2+ED2 +2BF·FE+2BF·ED+2FE·ED=1+1+1+0+ 2×1×1×c0s120°+0=2，.|BD=√2，故B,D两，点间的 距离是√2. 答案√2 6.解析由题图，设AM=λAC1(0<A<1), 由巴知AG=AB+A市+AA=2A+3A+多AG, 所以A成=2xA正+3A正+a花， 因为M,E,F,G四点共面， 所以2以十3以+登-1，将得X品即把合 AC,-13 答案13 【真题体验】 1.C因为存在不全为0的实数入入2，使得入OP十 λ2OP。十λ？OP,=0,所以OP,,OP,,OP。共面.只要三点对 应的向量共面就有(0,0,1)∈2，否则就能得到(0,0,1)庄2.对 于选项A,(0,0,0)对应的向量是零向量，零向量与任意向 量共线，故三点对应的向量共面，不能推出(0,0,1)年Ω，故 A错误；对于选项B,若(1,0,0)，（一1,0,0）∈2，且(1,0， 0),(一1,0,0)两点对应的向量共线，所以(0,0,1)可以属 于2，故B错误；对于选项C,显然，(1,0,0)，(0,1,0)，(0， 0,1)三点对应的向量不共面，故可以推出(0,0,1)止，故 C正确；对于选项D,(0,0,一1)与(0,0,1)两点对应的向量 共线，(1,0,0)，(0,0，一1)，(0,0,1)三点对应的向量共面， 故不能推出(0,0,1)庄2，故D错误，故选C. 2.BD易知，点P在矩形BCC1B1内部（含边界）. 对于A,当A=1时，BP=BC十HBB1=BC十uCC1,即此时 P∈线段CC1,△AB,P周长不是定值，故A错误； 对于B,当=1时，BP=λBC+BB1=BB,+入B,C1,故此 时P点轨迹为线段BC,而BC∥BC,BC1∥平面ABC, 则有P到平面A1BC的距离为定值，所以其体积为定值，故B 正确； 对于C,当入=是时，B驴=C+nB丽，取BC,B,G中点 2 分别为Q,H,则BP=BQ十μQi,所以P点轨迹为线段 QH,不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，则 A(停01)p(0,0,B(0,70),所以A市= (-0,-1),=(o,-合)g-1D=0,所以 μ=0或μ=1.故H,Q均满足，故C错误； N y 对于D,当A=合时，B萨-AB心+合B6,取BB,CG中 点为M,N.BP=BM+aMN,所以P点轨迹为线段MN. 设P(0%号)，因为A(0,0小，所以萨- (-9%）A店=（-，，-1所以是+ 5 省。 高二数学（配BSD版） 1 1 -2=0→= 2,此时P与N重合，故D正确」 故选BD. 3.解析、令AB=a,AD=b,AA1=c,并将其作为一组基底， 则AB,·BC-AD·DC=(AB+BB)·BC-(AD+ DD)·DC=(a十c)·b-(b+c)·a=c:(b-a)= AA,·BD=|AA1·|Bi1·cos〈AA,BD)=5,所以 os(AA,B市=2，即异面直线AA与BD的夹角的余 5 弦值为2 5 答案2 【易误警示】 [示例1][解析]：向量a=(-2,1,4),b=(-4,2,t)的 夹角为锐角， a…b=8+2+4>0,解得>-号 当a6时，号日兰每得8， t 实数t的取值范周为(-号，8)U(8,十∞)》。 [答案] (←号，8)u8,+∞) [示例2][解析]OA=OB=OC,BC=√2OA, .∠BOC=90°.：OA=OC,∠AOC=60°，.AC=OA. 又OB·AC=OB·(OC-OA)=OB·OC-OB.OA -0i.oi=-号oi, .cos(B,AC)=O店·Ad =-1 IOBIIACI 29 又(OB,AC∈[0°，180]，∴.(OB,AC)=120°， ∴.异面直线OB与AC所成的角为60°. [答案]B 作业（八）空间向量在立体几何中的应用（一） 【基础演练】 1.B 2.B 3.ABC 4.解析由题意知，OA⊥a,直线OA的一个方向向量为 OA=(1,1,1).因为P∈a,所以OA⊥AP,所以(1,1,1)· (x-1,y-1,z-1)=0,所以x十y十z=3. 答案(1,1,1)（答案不唯一）x+y十x=3 【综合演练】 1.B 2.BC 3.ABD 4.解析设M(x,y,z). AB=(1,-1,0),AC=(2,1,-4),BM=(x,y,之-1)， CM=(x-1,y-2,z+3), x-1-y+2=0, 由题意，得{x=一y, （x-1=0, 1 1 .= :点M的丝标为（-合，合，） 设平面ABC的法向量为n三(x,y,之)， 则n·AB=x-y=0,n·AC=2x十y-4z=0. 令x=1,则y=1,=是n=（1,1,是) .3 设点N的坐标为(a,b,c),则BN=(a,b,c-1). 由题：酥/a,即兰=- 1 3 A .点N的坐标满足(4k,4k,3k十1)，其中k≠0. 答案（一子：2,1)(44,40[（只需写出满足(4,4， 3k十1)(k≠0)形式的一个坐标即可] 5.证明PA⊥平面ABCD,ADC平面ABCD, .PA⊥AD. ,PAI平面ABCD,ABC平面ABCD,.PA⊥AB. 又：∠BAD=吾AB⊥AD,则AB,AD,AP两两套直.