作业(五)双曲线-【假期作业】2026年高二数学寒假假期作业（北师大版·新教材）

[每日格言]生活就是斗争，就是热情地克服危险和障碍。 (4-2）+2y=4, 整理得，(2x号十4y)y2-16yy十16-4x6=0①， 又至+号=1，所以22+46=8,16-4=88， 2 故①式可化简为8y2-16y0y十8y=0,即(y-y)2=0,所 以y=yo， 所以直线xx十2yy一4=0与椭圆相切，M为切点. 设A(x11),B(x2y2),易知，当x1=x2时，由对称性可 SOA 58 OB 故设工2<x<x1, x0-x2 联立{xox十2y-40, y=2, 解得x1= 4-4y ,y1=2. 联立zx十2y-4=0, y=-2, 解得西=4十4 y2=-2, 所以9=一西 4-4业-，4-4y一马 x0一x2 _4+4yx后-4y。-4 2y-4y。 2一y0 -2y6-4y62+ 4-4如）+4 2 √4(1-y)2+ OB (4牛4必）+4√41+%)+ Wx。 -√4(1-%)+4-2亚=58-4+4_2-4 W/4(1+y)2+4-2y√+4y+4 2+yo 2 1y=-2 B 【易误警示】 [示例1][解析]因为a+1≥2a(当且仅当a=1时，等 号成立)，所以IPF1|+|PF2|≥FF2.当a≠1时， IPF|+|PF2|>|FF2,此时动点P的轨迹是椭圆；当 a=1时，PF1十PF2=F1F2|,此时动点P的轨迹是 线段F,F2,故选C. [答案]C [示例2】[解析]若焦点在x轴上，则公=品，：=子 厂吾-√一受=竖#预=2若兔点在y轴上，则 a=8=a m=2或m=8. [答案]2或8 作业（五） 双曲线 【基础演练】 1.ABD 2.B 3.A 4.A 【综合演练】 1.D 2.ACD 3.ABC 4.AC 5.2 折由侣，得-2》2+2x十2=0 依题意，直线L与双曲线C的右支交于不同的两点， 5 高二数学（配BSD版） (k2-2≠0， △=(2k)2-8(k2-2)>0, 2k 所以 解得一2<k<-√2， 2g0, 所以实数的取值范围为（一2，一√2）. (2)设A(x1y1),B(x2,y2), 2k 2 则x+五=2xk2-2 假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线 C的右焦点F(o)，小则FALFB, 所以F:成=0即（云-9）(-号）+y=0, 所以（名-9）(-）+(x+1D,+1)=0, 即1+正+(e-）✉+)+号-0， 即1+)22+(k-9·2%+-0 化简得52+2√6k-6=0, 解得k=-6+5或=6-5（舍去）， 5 5 故存在飞= 6十5，使得以线段AB为直径的圆经过双曲 5 线C的右焦点F 【真题体验】 1.A 根据题意可设，（号，0），双曲线的半焦距为， P(x0yo),则p=2c, 过F作x轴的垂线1，过P作1的垂线，垂足为A,显然直 线AF1为抛物线的准线，则|PA=|PF2I, PF|-PFI=2a, 由双曲线的定义及已知条件可知{PR+PFl=6c, (P阴+8IPA, 由勾股定理可知AF1|2=y=|PF2-|PA|2=12ac, 易知y6=4cx0,.x0=3a, 整理得2c2-3ac-2a2=0=(2c十a)(c-2a), ∴c=2a,则离心率e=￡=2.故选A. a 2.ACD不妨设渐近线为y= 合，M在第-象限，N在第 三象限， 对于A,由双曲线的对称性可得A1MA2N为平行四边形， 故∠AMA:=-否=若，故A正确： 对于B,因为M在以F1F2为直径的圆上，故F1M⊥F2M, 且IMO=c, x6+y=c2, 设M(x0y%),则=b, To a' 故{西=a:故MA2⊥A1A2, （yo=b, 由选项A得∠AMA,=晋，故MA,=MA,×,即 1MA,=21MA1,故B错误； 寒假作业卓越的人一大优点是：在不利与艰难的 2 42F2x 对于C,尚高项B如=6，黑-会-后，子 2,尉e=后+g-什8-瓜，故c 正确 对于D,当a=√2时，由C可知e=√13，故c=√26，故b= 26,故四边形NA,MA:的面积为2SaMm,4=2×号× 26X2√2=8√3， 故D正确，故选ACD. 3.A设曲线上一点为(a,b),则a2-b2=1,则a=√b2+1, 。-1,AB方程为：y-1=x,即x一y十1=0，根据 kAB-1-0 点到直线的距离公式，(a,b)到AB的距离为la-b+1 √2 LB+1-b+1_√6+1-b+1 w② √2 设f(b)=√6+1一b= W62+1+b 由于b>0,显然f(b)关于b单调递减，f(b)mx=f(0),无 最小值， 即△ABC中，AB边上的高有最大值，无最小值， 又AB一定，故面积有最大值，无最小值. 故选A. 【易误警示】 [示例1][解析]根据双曲线定义可得||PFI一|PF2||= 2a=6,又|PF1|=7,所以|PF2|=1或PF2=13.因为P 在双曲线上，所以|PF2|∈[c-a,十o∞)，即|PF2|∈ [2,+∞)，所以PF2=13. [答案]13 [示例2][解析]当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的 标准方程为 y a =1(a1>0,b1>0), 2 由题意知a=3’解得a=18 a+b=26, b=8, 此时风由战的桥准方起为后一苦=1 当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为兰 -=1(a2>0,b2>0), |a2=2 由题意知公专，解得好-18， /a=8, a+b2=26, 此时双曲线的标准方程为片一高二1 等上，所求双南线的标方短为后一苦-1成苦后一1 作业（六）抛物线 【基础演练】 1.A2.B3.C4.B 【综合演练】 1.A 2.D 3.ABD 4.2(不小于2的实数均正确)5.√6 6.解析1)若选①，根据焦半径公式可知P℉=x十号= x十1，解得p=2,所以抛物线方程是y2=4x. 若选②，由%=2=2，得P(1,2),代入抛物线方程y=2x, 得2=2印×1，解得p=2,所以抛物线方程是y=4红. 5 遭遇里百折不挠。 [每日格言] (2)由(1)知抛物线的焦，点为F(1,0), 当直线的斜率不存在时，AB=2D=4≠8， 所以直线1的斜率存在且不为0，设直线l:y=k(x一1)，与 抛物线方程联立解得2(x一1)2=4x, 化简为2x2-(2k2十4)x十2=0， 则+飞2十42十，AB=石十2+p=2十 2 是十2=8，解得=士1， 所以直线l的方程是y=x一1或y=一x十1. 【真题体验】 1.C因为l:y=-2x十2，令y=0,则x=1, 所以F(1,0),p=2,即抛物线C:y=4x,故抛物线的准线 方程为x=-1, 故B(-1,4),则yA=4,代入抛物线C:y2=4x得xA=4. 所以AF-|AB到=x+号=4+1=5. 故选C VA B 2.ACD直线1为抛物线的准线，由抛物线的定义，可知 IAD=|AF,故A正确；当AB⊥x轴时，A(号，3)，B (受，-3)，E(-0),AB1=6,AE到=3E,此时 |AE≠|AB|,故B错误；易知直线AB的斜率不为0，设 直线AB:x=my十是，A(西)，B(),由 3 x=my+立'得y2-6my-9=0,则为十2=6m,1%= y2=6x -9,x1十x2=m(y1+y2)+3=6m2+3,|AB|=x1+x2十 3=6m2十6≥6，故C正确；当m=0,即AB⊥x轴时，由B 知，AE=|BE1=3√2，|AE·|BE=18.当m≠0时， 直线EF:x=-1、 -ay+是，E(-名，3m）,1EF1 V9+9mF,Sae=AE·BEsm∠AEB=号|AB· |EF=号(6+6m)·V9+9m=9(1+m2)>9,所以 IAE·IBE> sin∠AEB>18.综上，AE·1BE≥18， 18 故D正确.故选ACD. 3.ABD(数形结合法)对于A,易知L:x=一1，故1与⊙A 相切，故A正确； 对于B,A(0,4),⊙A的半径r=1,当P,A,B三点共线时， P(4,4),所以|PA|=4,1PQ|=√TPA-r=√42-1= √/15，故B正确； 对于C,当|PB=2时，P(1,2),B(-1,2)或P(1,一2)， B(一1，一2)，易知PA与AB不垂直，故C错误； 对于D,记抛物线C的焦，点为F,连接AF,PF,易知F(1,0), 由抛物线定义可知|PF|=IPB引，因为|PA|=|PB引，所以 PA|=PF,所以点P在线段AF的中垂线上，线段AF 的中垂线方程为y=子x十吕，甲x=4y一艺，代入) 1 4x可得y2一16y十30=0，解得y=8士√34，易知满足条 件的，点P有且仅有两个，故D正确.故选ABD. 【易误警示】 [示例1][解析]因为，点(2,3)在直线x+2y一8=0上，所以所 求，点的轨迹是过，点(2,3)且与直线x十2y一8=0垂直的直线. [答案]A [示例2][解析]点P(4,-2)在第四象限，∴设所求的 抛物线方程为y2=2px(p>0)或x2=一2py(p>0),寒假作业你希望别人怎样对待你，你就应该怎样对待 作业（五） 双曲线 1知识整合 1.双曲线的定义 平面内到两个定点F1,F2的距离之差的 绝对值等于常数（大于零且小于|FF2I) 定义 的点的集合（或轨迹）叫作双曲线.这两 个定点F1,F2叫作双曲线的焦点，两个 焦点间的距离|FF2|叫作双曲线的焦距 集合P={M|IIMF1I-IMF2||=2a, 符号 0<2a<|F1F2},|FF2|=2c,其中a,c 语言 为常数，且a>0,c>0 点M的轨迹为双曲线（不含绝对 a<c 值时为双曲线的一支) 轨迹 类型 点M的轨迹为两条射线（不含绝 a=c 对值时为一条射线) a>c 点M的轨迹不存在 2.双曲线的标准方程及其几何性质 z y_x2 标准方程 a2- 1 (a>0,b>0) (a>0,b>0) y B2 图形 B B2 B x≤-a或x≥a,x∈R,y≤一a或 范围 y∈R y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 性 A(一a,0), A1(0,-a), 质 顶点 A2(a,0) A2(0,a) 渐近线 b 方程 y= 10 别人。 [每日格言] 今 月 日 星期 历 天气 续表 y x2 标准方程 (a>0,b>0) (a>0,b>0) 离心率 e=c ,e∈(1，+∞) 性 a 质 实轴A1A2的长为2a,a为实半轴长； 轴 虚轴B1B2的长为2b,b为虚半轴长 a,b,c c2=a2+62 的关系 2基础演练 1.(多选)已知双曲线的方程为x2一8y2=32, 则其 () A.实轴长为8√2 B.虚轴长为4 C.焦距为6 D.离心率为3y2 4 2.(2025·长沙-中模拟)设双曲线C, a 1(a>0,b>0)的两条渐近线的倾斜角 分别为a,3,若α=5B,则C的离心率为 () A.√3 B.23 3 C.2 D.4 3.(2025·南开中学模拟)已知椭圆亡十 苦-1(m>0)与双面线若-y=1m>0) 有共同的焦点，则直线mx+ny=1必过 定点 ( A.(后，-号) B(日，3) C.(1,-1) D.(3,-3) [每日格言]成功与不成功之间有时距离很短一只要 4已知RR分别为双曲线C等-苦-1 (a>0,b>0)的左、右焦点，A,B是C右支 上的两点，且直线AB经过点F2,若 |AF2|=2BF2,以FF2为直径的圆经 过点B,则C的离心率为 A.①7 B.√2 3 C.5 D.1+5 2 3综合演练 1.过P(1,2)作直线，使其与双曲线-y-1 有且仅有一个公共点，这样的直线有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 2.（多选)(2025·青岛二中模拟)已知双曲线 C:3mm十61，则 ) A.m的取值范围是（一6,3） Bm=1时，C的渐近线方程为y=土 C.C的焦点坐标为(-3,0)，(3,0) D.C可以是等轴双曲线 8(多选)已知双值线C的方程为后苦=1， 则下列说法正确的是 () A.双曲线C的实轴长为8 R双曲线C的渐近线方程为)=士 C.双曲线C的焦点到渐近线的距离为3 D.双曲线C上的点到焦点距离的最小值 为是 4.(多选)(2025·烟台高二期末)已知F1,F2 分别是双曲线x2-兰-1的左、右焦点，M 是左支上一点，且在x轴上方，过F2作 后者再向前几步。 高二数学（配BSD版） ∠FMF2的平分线的垂线，垂足为N,O 是坐标原点，则下列说法正确的是() A.若∠Mr,F,=受，则直线MN的斜率为 -√3 B若∠MFF,=,则Fi.FN=2 C.若∠MFF2=a,则|ON|=1 D.若∠MFF2=a,则|ON|=cosa 5.已知F为双黄线c号芳-1a>0,6>0) 的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的 点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3， 则C的离心率为 6.直线l:y=kx十1与双曲线C:2x2-y2=1 的右支交于不同的两点A,B. (1)求实数k的取值范围； (2)是否存在实数k,使得以线段AB为直 径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存 在，求出k的值；若不存在，请说明理由. 4真题体险 1.(2025·天津卷)双曲线号芳=1(e>0, b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以右焦 点F2为焦点的抛物线y2=2px(p>0)与 双曲线在第一象限的交点为P,若 PF十|PF2|=3|FF2|,则双曲线的离 心率e= ) A.2 B.5 C.2+1 2 D.5+1 2 寒假作业你永远都无法借别人的翅膀，飞上自己的天空。 [每日格言] 2.(多选)(2025·全国二卷)双曲线C 易错二忽视双曲线焦点的位置 a [示例2]已知双曲线的渐近线方程是y= 茶-1(a>0,6>0)的左右焦点分别是 士号，焦距为2√历，求双曲线的标准方程 F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,以FF2 为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N 两点，且∠NA,M-,则 ( A.∠A,MA:=8 B.MA=2MA, C.C的离心率为√13 D.当a=√2时，四边形NA,MA2的面积为 8√3 3.(2025·上海卷)已知A(0,1),B(1,2),C 在T:x2-y2=1(x≥1，y≥0)上，则△ABC 的面积 ( A.有最大值，但没有最小值 B.没有最大值，但有最小值 C.既有最大值，也有最小值 D.既没有最大值，也没有最小值 5易误警示 易错一忽视焦半径的范围 [示例1]已知双曲线号一苦-1的左、右 焦点分别为F1,F2,P是双曲线上一点， |PF=7,则|PF2|= 名师叮嘱 名师叮嘱 对于椭圆，其焦半径|PF|∈[a一c,a十c]. 此类题错解的原因是误认为椭圆或双曲线 对于双曲线，若点P在双曲线的右支上，当F为 的焦点一定在x轴上，从而导致漏解.当题目条 左焦点时，|PF|∈[a+c,十o∞)；当F为右焦点 件没有明确椭圆或双曲线的焦点所在的坐标轴 时，lPFl∈[c-a,十oo): 时，应当分两种情况讨论 一 12