作业(四)椭圆-【假期作业】2026年高二数学寒假假期作业（北师大版·新教材）

寒假作业人生的价值，并不是用时间，而是用深度去 作亚（四） 椭圆 1知识整合 1.椭圆的定义 平面内到两个定点F,F2的距离之和等 于常数（大于|F,F,|)的点的集合（或轨 定义迹)叫作椭圆.这两个定点F,F2叫作椭 圆的焦点，两个焦点间的距离|FF2|叫作 椭圆的焦距 集合P={M|IMF|+|MF2|=2a}, 符号 |FF2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为 语言 常数 a>c 点M的轨迹为椭圆 轨迹 a=c 点M的轨迹为线段 类型 a<c 点M的轨迹不存在 2.椭圆的标准方程及其几何性质 标准方程 621 + 21 (a>b>0) (a>b>0) y F b a 图形 AcA Bb0B2 B F A 一axa, -asysa, 范围 -b≤y≤b -b≤x≤b 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 A1(-a,0),A2(a,0),A1(0,-a),A2(0,a) 性 顶点 B1(0,-b),B2(0,b) B1(-b,0),B2(b,0) 质 长轴A1A2的长为2a,a为长半轴长； 轴 短轴B1B2的长为2b,b为短半轴长 焦距 |F1F2=2c 离心率 e-1) a,b,c的关系 a2=b2+c2 衡量的。 [每日格言] 今 月 日 台 星期 历 天气 2基础演练 1.(2025·合州一模)椭圆E:号+苦=1与 椭圆E:g二十产 =1(0<k<4)的() A.长轴长相等 B.短轴长相等 C离心率相等 D.焦距相等 2.已知椭圆乙m3 =1的长轴在y轴 上，且焦距为4，则m= A.5 B.6 C.9 D.10 3已知点R,R分别为椭圆C苦+苦-1 3 的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且 ∠FPF2=60°，则|PF|·|PF2|=() A.4 B.6 C.8 D.12 4.(2025·安徽江南十校模拟)已知椭圆C 的中心为坐标原点O,点F,B分别为椭圆 C的右焦点和短轴端点.点O到直线BF 的距离为√3，过F垂直于椭圆长轴的弦长 为2，则椭圆C的方程是 （) A+号- 2 c+-1 3绵合演练 1.如图所示，把椭圆 5 若-1的长轴AB分成 A 8等份，过每个分点作 x轴的垂线交椭圆的上 半部分于点P,P2,…,P2,F是椭圆的左焦 点，则|PF十|P2F十+|P,F=() A.35 B.30 C.25 D.20 [每日格言]为别人鼓掌的人也是在给自己的生命加油 2.(2025·河南名校期未联考)已知P(1,1), P,0,1,P(-1,),卫(1，)四点中恰 有三点在椭圆二+若=1(a>b>0)上，则 32 a= ( A.8 B.6 C.4 D.2 .已知椭圆C:2十为=1(Q>6>0),过5 a (-a,0)且方向向量为n=(1,一1)的光 线，经直线y=一b反射后过C的右焦点， 则C的离心率为 () A号 B. c D 4.(2025·无锡三校联考)已知椭圆兰十2=1， P为椭圆上任意一点，过点P分别作与直 线l1:y=2x和l2:y=-2x平行的直线， 分别与2，l1交于M,N两点，则|MN|最 小值为 ( A.1 B.2 C.3 D.4 5.一动圆过定点A(2,0),且与定圆B:x2+ 4x+y2一32=0内切，则动圆圆心M的轨 迹方程是 6.2025·上海卷)已知椭圆：+等 a 1(a<√5)，M(0,m)(m>0),A是T的右顶点， (1)若Γ的一个焦点是(2,0)，求T的离心率e; (2)若a=4,且T上存在一点P,满足 PA=2MP,求m的值； (3)若线段AM的垂直平分线1的斜率为 2,l与T交于C,D两点，∠CMD为钝角， 求a的取值范围. 4真题体验 y 1(2025·全国三卷)已知椭圆C:+3三 a>>0)的离心率为号长轴长为4. 高二数学（配BSD版） (1)求C的方程 (2)过点(0，一2)的直线1与C交于A,B 两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为 √2，求|AB|. 尼(2025·北京卷已知E:十=1(Q空 6>0)的离心率为号，椭圆上的点到两焦 点距离之和为4. (1)求椭圆方程； (2)设O为原点，M(xy)(x≠0)为椭圆上 一点，直线xx十2yy-4=0与直线y=2, y=-2交于A,B.△OAM与△OBM的面积 为88，比较袋与8的大小 5易误警示 易错一 忽略椭圆定义中的限制条件 [示例1]已知F,F2是两个定点，且|FF2|= 2a(a是大于0的常数)，动点P满足|PF|+ |PF2=a2+1,则动点P的轨迹是( A.椭圆 B.线段 C.椭圆或线段 D.直线 名师叮嘱 对于椭圆的定义，不能忽略隐含条件：PF|+ PF>FFL. 易错二忽略椭圆的焦点位置 [示例2]已知椭圆mx2+4y2=1的离心率 为，则实数m等于 名师可嘱 若椭圆方程中含有参数，常需分焦点在 x轴、焦点在y轴两种情况分别求解寒假作业任何的限制，都是从自己的内心开始的。 (B,C,D,点)到直线y=√3x十2的距离等于1； 当则r的取值范围为(1,3)时， 圆x2+(y十2)2=r2(r>0)上有且仅有两个，点到直线y= √3x十2的距离等于1.故选B. 3.解析因为直线l1:x-y十6=0与x轴交于A(-6,0), 与y轴交于B(0,6),所以|AB|=√6+62=6√2，所以 ICD=2√2， 圆(x十1)2十(y-3)2=2的半径为r,圆心(-1,3)到直线 4:x-y十6=0的距离为d=-1-3+6l=2,故 √2 1CDl=2√-d=22-(W2)2=2√2，解得r=2. 故答案为2. A 0 答案2 4.解析设C到AB的距离为d,AB=2√4一d严， ∴Se=合·2M-d·d= 5, g,则m=士24若 、，25或45，若d=三=2√5 5 √m2+1 2 d= √m+1 5,则m=生会 1 2,m=2或-2或- 或2（填共中一个即可）. 答案m=2或-2或-号或？（填其中-个即可） 【易误警示】 [示例1][解析]解法一因为直线1和圆C有公共，点， 所以直线L与圆C相切或相交.又圆C:x2+y2=4的圆心 为(0,0)，半径为2，所以m≤2，解得-22≤m≤22. √2 解法三由位”4，得22+2mx十m-4=0.周为 直线l和圆C有公共点，所以△=4m2-8(m2-4)=-4m2+ 32≥0，得-2√2≤m2√2.故选D. [答案]D [示例2][解析]圆C:(x-3)2+(y+2)2=1的圆心为 C(3,-2),半径n=1,圆C2:(x-7)2+(y-1)2=50-a的圆心 为C(7,1),半径r2=√50-a,1CC1=√(3-7)2+(-2-1)2= 5.因为圆C与圆C2有且仅有一个公共点，故圆G与圆C2 内切或外切，故1一r2=5或r2十1=5，从而r2=6或r2=4, 所以√50一a=6或√/50一a=4,解得a=14或34. [答案]14或34 作业（四）椭圆 【基础演练】 1.D2.C3.A4.C 【综合演练】 1.A2.D3.A4.A 6.解析(1)由已知得a2一5=2，所以a2=9. 所以a=3,又c=2, 所以=号 (2②当a=4时，n需+苦-1，则A,0, 因为PA=2M亚，所以OA-O=2(ō市-O,其中0为 坐标原点， 则0市=号O耐+号0成=号(4,0)+号(0，m) =(停，号m 故p(告，号m) 忘掉失败，不过要牢记失败中的教训。 [每日格言] 4)2 又P在T上，所以 3 =1, 16 5 又m>0,所以m=√/10. (3)设C(x1y1),D(x2,y2),由题知A(a,0),M(0,m),则 kM=-,故k,=2=2,即a=2m 直线1过线段AM的中点（受，受），即(m,受)，则1：y =2x-m),即14y=2x-2m, 2 联主得 +苦-1， 消去y得(5+16m2)x2-24m3x+9m-20m2=0, 消去x得4(5+16m2)y2+60my-275m2=0, 由∠CMD为钝角知，M花·MD=(x,y-m)·(x2,y2 m)=x1x2十（y1-m)(y2-m)=x1x2+y1y2-m(y1+y2) +m2-9m-20m2 -275m2 -60m 5+16m2 4(5+16m)-m·45+16m)+m 100m-275m<0, 4(5+16m2) 即25(4m-11m)<0,又m>0,所以0<m< 2 又a=2m,且a>√5，所以5<a<√1I, 故a的取值范围为(5，√T). 【真题体验】 1.解析(1)因为长轴长为4，故a=2,而离心率为，故c= 2 厄，故6-巨，故箱围C的方复为写+号-1。 (2)由题知直线AB的斜率不为0，故设直线1：x= t(y十2)，A(x1,y),B(x2y2), 0 A (x=t0时2)：可得(+2)y2+4r2y+4-4=0, 由2+2y2=4: 故△=16t-4(t2+2)(4t2-4)=16(2-t2)>0, 即一√2<t√2，且y1+y2=一 + 4t 故5s=合×2X1-%l=√+)-4 =l32162=2, t2+2 新释写。 故|AB|=√1十t1y-y2 -√+号x0+)-4y 号+2 =5. 2解析由题老可为，2如=4，所以a=2,又-台=竖， 所以c=√2，b2=a2-c2=2, 故描国方程为号+号-1. (x0x+2y0y-4=0, 8公立+-1， 消去x得， [每日格言]生活就是斗争，就是热情地克服危险和障碍。 (4-2）+2y=4, 整理得，(2x号十4y)y2-16yy十16-4x6=0①， 又至+号=1，所以22+46=8,16-4=88， 2 故①式可化简为8y2-16y0y十8y=0,即(y-y)2=0,所 以y=yo， 所以直线xx十2yy一4=0与椭圆相切，M为切点. 设A(x11),B(x2y2),易知，当x1=x2时，由对称性可 SOA 58 OB 故设工2<x<x1, x0-x2 联立{xox十2y-40, y=2, 解得x1= 4-4y ,y1=2. 联立zx十2y-4=0, y=-2, 解得西=4十4 y2=-2, 所以9=一西 4-4业-，4-4y一马 x0一x2 _4+4yx后-4y。-4 2y-4y。 2一y0 -2y6-4y62+ 4-4如）+4 2 √4(1-y)2+ OB (4牛4必）+4√41+%)+ Wx。 -√4(1-%)+4-2亚=58-4+4_2-4 W/4(1+y)2+4-2y√+4y+4 2+yo 2 1y=-2 B 【易误警示】 [示例1][解析]因为a+1≥2a(当且仅当a=1时，等 号成立)，所以IPF1|+|PF2|≥FF2.当a≠1时， IPF|+|PF2|>|FF2,此时动点P的轨迹是椭圆；当 a=1时，PF1十PF2=F1F2|,此时动点P的轨迹是 线段F,F2,故选C. [答案]C [示例2】[解析]若焦点在x轴上，则公=品，：=子 厂吾-√一受=竖#预=2若兔点在y轴上，则 a=8=a m=2或m=8. [答案]2或8 作业（五） 双曲线 【基础演练】 1.ABD 2.B 3.A 4.A 【综合演练】 1.D 2.ACD 3.ABC 4.AC 5.2 折由侣，得-2》2+2x十2=0 依题意，直线L与双曲线C的右支交于不同的两点， 5 高二数学（配BSD版） (k2-2≠0， △=(2k)2-8(k2-2)>0, 2k 所以 解得一2<k<-√2， 2g0, 所以实数的取值范围为（一2，一√2）. (2)设A(x1y1),B(x2,y2), 2k 2 则x+五=2xk2-2 假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线 C的右焦点F(o)，小则FALFB, 所以F:成=0即（云-9）(-号）+y=0, 所以（名-9）(-）+(x+1D,+1)=0, 即1+正+(e-）✉+)+号-0， 即1+)22+(k-9·2%+-0 化简得52+2√6k-6=0, 解得k=-6+5或=6-5（舍去）， 5 5 故存在飞= 6十5，使得以线段AB为直径的圆经过双曲 5 线C的右焦点F 【真题体验】 1.A 根据题意可设，（号，0），双曲线的半焦距为， P(x0yo),则p=2c, 过F作x轴的垂线1，过P作1的垂线，垂足为A,显然直 线AF1为抛物线的准线，则|PA=|PF2I, PF|-PFI=2a, 由双曲线的定义及已知条件可知{PR+PFl=6c, (P阴+8IPA, 由勾股定理可知AF1|2=y=|PF2-|PA|2=12ac, 易知y6=4cx0,.x0=3a, 整理得2c2-3ac-2a2=0=(2c十a)(c-2a), ∴c=2a,则离心率e=￡=2.故选A. a 2.ACD不妨设渐近线为y= 合，M在第-象限，N在第 三象限， 对于A,由双曲线的对称性可得A1MA2N为平行四边形， 故∠AMA:=-否=若，故A正确： 对于B,因为M在以F1F2为直径的圆上，故F1M⊥F2M, 且IMO=c, x6+y=c2, 设M(x0y%),则=b, To a' 故{西=a:故MA2⊥A1A2, （yo=b, 由选项A得∠AMA,=晋，故MA,=MA,×,即 1MA,=21MA1,故B错误；