第22章 二次函数（1） 寒假作业 2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025-2026学年9年级数学寒假作业（2）二次函数（1） 一．选择题（每小题4分，共40分） 1．下列函数中，一定是二次函数的是（　　） A．y＝ax+1 B．y＝ax2+1 C．y＝（a2+1）x2 D．y＝（ax+1）2 2．抛物线y＝﹣（x+3）2﹣1的顶点坐标是（　　） A．（﹣3，﹣1） B．（3，﹣1） C．（3，1） D．（﹣3，1） 3．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，那么下列说法中，正确的是（　　） A．a＞0 B．b＞0 C．b＜0 D．c＜0 4．关于抛物线y＝﹣3x2+12x﹣3，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣2 C．与y轴的交点坐标是（0，3） D．顶点坐标是（2，9） 5．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（2，0）和原点．该抛物线的对称轴是（　　） A．y轴 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝4 6．若将抛物线y＝2x2向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得抛物线对应的函数关系式为（　　） A．y＝2（x﹣2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2﹣3 C．y＝2（x+2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2+3 7．若抛物线y＝x2﹣2x+m﹣1（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m≥1 C．1≤m＜2 D．m≤2 8．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+3的图象不经过三、四象限，且当时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+b的图象可能为（　　） A． B． C． D． 10．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示， 对称轴为直线x＝﹣2．下列说法：①abc＞0； ②4a﹣2b≥at2+bt（t为实数）；③c＞3a； ④若A（m，y1）和B（m+1，y2）为图象上两点， 且y1＜y2，则.其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（每小题4分，共24分） 11．抛物线y＝（x+3）2+1的顶点坐标是　 　 ． 12．二次函数y＝4x2﹣8x+7的对称轴是直线x＝　 　 ． 13．已知抛物线y＝ax2经过第二象限，那么这条抛物线的开口方向是　 　 ． 14．已知抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，当y＜3时，则x的取值范围是 　 　 ． 15．二次函数y＝﹣x2+2x﹣1，当自变量2≤x≤4时，函数的最大值为 　 　 ． 16．已知二次函数yx2的图象如图所示，线段AB∥x轴，交抛物线于A、B两点，且点A的横坐标为2，则AB的长度为　 　 ． 第14题 第16题 三．解答题（每小题6分，共36分） 17．已知二次函数y＝x2﹣4x+3． （1）求该函数图象的顶点坐标和对称轴． （2）求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标． （3）画出该函数图象的示意图． （4）当x取何值时，y随x的增大而减小？ 18．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0）． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）当0≤x≤3时，求y的最大值； （3）M为抛物线上一点，若S△MAB＝12，求此时点M的坐标． 19．二次函数y＝ax2的图象与直线y＝2x﹣1交于点P（1，m）． （1）求a、m的值； （2）写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大？ （3）指出抛物线的顶点坐标和对称轴． 20．如图，二次函数的图象的对称轴为直线x＝1，与直线y2＝x+2相交于点A和点B（3，5），其中点A在y轴上． （1）求该二次函数的顶点坐标； （2）当y1≤y2时，根据图象写出x的取值范围． 21．如图，二次函数y1＝﹣x2﹣4x+5的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C．根据图象回答问题： （1）S△ABC＝　 　 ； （2）当﹣5≤x≤0时，二次函数y1的取值范围为　 　 ； （3）若一次函数y2＝x+b的图象经过点B，当y1＞y2时，x的取值范围为　 　 ． 22．在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）上两个不同的点． （1）当y1＝y2＝c时，求x1+x2的值； （2）若对于a＜x1＜a+2，a+2＜x2＜a+3，都有y1＜y2，求a的取值范围． 参考答案 1．C． 2．A． 3．B． 4．D． 5．B． 6．C． 7．C． 8．D． 9．B． 10．D． 11．（﹣3，1）． 12．1． 13．向上． 14．x＜﹣2或x＞0． 15．﹣1． 16．4． 17．解：（1）已知二次函数y＝x2﹣4x+3化为顶点式可得： 二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴该函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x＝2； （2）将x＝0代入函数y＝x2﹣4x+3，则y＝3， ∴函数图象与y轴的交点坐标为（0，3）； 令y＝x2﹣4x+3＝0， 解得x1＝1，x2＝3， ∴函数图象与x轴的交点坐标为（1，0）或（3，0）； （3）列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 ﹣1 0 3 … 描点，连线作出图形的图象，如图： （4）当x≤2时，y随x的增大而减小． 18．解：（1）把A（﹣2，0）、B（4，0）代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，顶点坐标为（1，﹣9）； （2）∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣9）， ∴当x＝1时，函数有最小值﹣9， 当x＝0时，y＝﹣8； 当x＝3时，y＝9﹣6﹣8＝﹣5； ∴当0≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣5； （3）∵B（4，0），A（﹣2，0）， ∴AB＝4﹣（﹣2）＝6， 设P（x，y）， 则， 即， 解得y＝±4， 当（x﹣1）2﹣9＝﹣4时，此时 ， 当（x﹣1）2﹣9＝4时，此时， ∴M坐标为或或或． 19．解：（1）二次函数y＝ax2的图象与直线y＝2x﹣1交于点P（1，m）， 把P代入y＝2x﹣1中得：m＝2×1﹣1＝1， 则P（1，1）， 把P代入y＝ax2中得：1＝a×1， ∴a＝1； （2）∵a＝1＞0，对称轴为直线x＝0， ∴当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小； （3）由y＝x2可得，抛物线的顶点坐标为（0，0），对称轴为直线x＝0（或y轴）． 20．解：（1）当x＝0时，y2＝0+2＝2， ∴A（0，2）， 由条件可得c＝2， ∵该抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴， 解得b＝﹣2， ∴， ∴该二次函数的顶点坐标为（1，1）； （2）当y1≤y2时，根据图象知x的取值范围为0≤x≤3． 21．解：（1）令x＝0，则y1＝5， ∴C（0，5）， 令x＝0，则﹣x2﹣4x+5＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣5， ∴B（1，0），A（﹣5，0）， ∴OC＝5，AB＝1﹣（﹣5）＝6， ∴， 故答案为：15； （2）∵， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，9），最大值为9， 由（1）可知，当x＝0时，y1＝5，当x＝5时，y1＝0， ∴当﹣5≤x≤0时，0≤y1≤9， 故答案为：0≤y1≤9； （3）∵一次函数y2＝x+b的图象经过点B（1，0）， ∴1+b＝0，即b＝﹣1， ∴y2＝x﹣1， ， 解得x1＝1，x2＝﹣6， ∴一次函数y2＝x﹣1与二次函数的另一个交点的横坐标为﹣6， 由图象可知，当﹣6＜x＜1时，二次函数的图象在一次函数y2＝x﹣1的图象的上方， ∴当y1＞y2时，﹣6＜x＜1， 故答案为：﹣6＜x＜1． 22．解：（1）由条件可知抛物线的对称轴为直线． ∵y1＝y2＝c， ∴点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线x＝2对称． ∴x1+x2＝4． （2）若a＞0，则a+2＞2． 当x≤2时，y随着x的增大而减小；当x≥2时，y随着x的增大而增大． ∵当a＜x1＜a+2，a+2＜x2＜a+3时，y1＜y2总成立，且﹣a+4是a关于对称轴直线x＝2的对称点的横坐标， ∴﹣a+4≤a+2或a≥2． ∴a≥1． 若a＜0，则a+2＜2． 当x≤2时，y随着x的增大而增大；当x≥2时，y随着x的增大而减小． ∵当a＜x1＜a+2，a+2＜x2＜a+3时，y1＜y2总成立，且1﹣a是a+3关于对称轴直线x＝2的对称点的横坐标， ∴1﹣a≥a+2或a+3≤2． ∴． 综上，a的取值范围是a≥1或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $